基于凸優(yōu)化的低復(fù)雜度平面陣列綜合方法

摘 要： 針對(duì)運(yùn)用凸優(yōu)化方法綜合平面陣列耗時(shí)較長(zhǎng)的問(wèn)題，提出一種基于凸優(yōu)化的低復(fù)雜度平面陣列綜合方法。該方法將基于加權(quán)?1范數(shù)最小化的平面陣列綜合模型中二維波束旁瓣約束條件轉(zhuǎn)換成橫向陣列和縱向陣列的一維波束旁瓣約束問(wèn)題，從而降低了凸優(yōu)化的約束條件數(shù)，有效加快了算法的收斂速度。仿真結(jié)果表明，該方法雖然在平面陣列綜合的稀疏程度方面要稍劣于傳統(tǒng)凸優(yōu)化方法，但是它能快速獲得具有大范圍低波束旁瓣電平以及更短孔徑的平面陣列。

關(guān)鍵詞： 平面陣列； 陣列綜合； 凸優(yōu)化； 低復(fù)雜度

中圖分類號(hào)： TN957?34 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 1004?373X（2016）03?0009?04

Low complexity planar array synthesis method based on convex optimization

CHEN Jinli， ZHONG Jiyang， CAO Huasong

（College of Electronic and Information Engineering， Nanjing University of Information Science and Technology， Nanjing 210044， China）

Abstract： Since the convex optimization method used to synthesize the planar array has long time consuming， a low complexity planar array synthesis method based on convex optimization is proposed. The two?dimensional beam sidelobe constraint condition in the planar array synthesis model based on weighted ?1 norm minimization is transformed into the one?dimensional beam sidelobe constraint condition for horizontal array and longitudinal array by the method， which can reduce the number of convex optimization constraint conditions， and effectively promote the convergence speed of the algorithm. The simulation results show that the proposed method performs slightly worse than the traditional convex optimization method in the aspect of sparsity degree of synthesis planar array， but it can fast obtain the planar array with shorter aperture and broader low?beam sidelobe level.

Keywords： planar array； array synthesis； convex optimization； low complexity

0 引 言

稀疏陣列是一種從規(guī)則的柵格中抽去天線單元或接匹配負(fù)載而形成的陣列，其具有孔徑較大、波束較窄以及空間分辨率較高等性能，已被廣泛應(yīng)用于雷達(dá)、電子通信、以及衛(wèi)星廣播電視等領(lǐng)域[1]。然而，稀疏陣列由于其陣元的稀疏布置導(dǎo)致其波束旁瓣電平抬高。稀疏陣列綜合的目的就是通過(guò)聯(lián)合優(yōu)化陣列的陣元位置和激勵(lì)方式，使得天線陣列能夠以最少的陣元數(shù)目滿足期望的波束輻射特性[2]。

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展，高效的陣列綜合方法已成為研究熱點(diǎn)。目前應(yīng)用于平面稀疏陣列綜合的算法主要有遺傳算法[3]、模擬退火算法[4]、粒子群算法[5]以及蟻群算法[6]等，這些算法從本質(zhì)上來(lái)說(shuō)都是基于隨機(jī)性的自然算法，在綜合過(guò)程中需要進(jìn)行大規(guī)模的搜索，導(dǎo)致此類算法的收斂速度慢，并容易陷入局部最優(yōu)解等問(wèn)題。稀疏陣列在空間上離散、稀疏的分布特點(diǎn)與最近發(fā)展的信號(hào)重構(gòu)理論中稀疏信號(hào)的特性相類似，可將天線陣列綜合問(wèn)題看作是空間稀疏信號(hào)重構(gòu)的問(wèn)題，因此，稀疏信號(hào)重構(gòu)技術(shù)為陣列綜合問(wèn)題的解決提供了一個(gè)新的途徑。文獻(xiàn)[7]提出了一種基于?1范數(shù)最小化的稀疏線性陣列綜合方法，該方法將稀疏信號(hào)重構(gòu)方法如凸優(yōu)化方法應(yīng)用于稀疏陣列綜合問(wèn)題的求解中。文獻(xiàn)[8]建立了基于迭代加權(quán)?1范數(shù)最小化的陣列綜合模型，利用迭代凸優(yōu)化方法實(shí)現(xiàn)線性陣列綜合，即利用上一次迭代獲得的陣列激勵(lì)向量求解當(dāng)前迭代的激勵(lì)向量，從而能獲得稀疏程度更高的稀疏陣列。

大型平面陣列可以同時(shí)測(cè)量目標(biāo)的俯仰角和方位角，從而能夠?qū)崿F(xiàn)目標(biāo)的三維空間定位，其應(yīng)用范圍要大于遠(yuǎn)線性陣列，因此研究平面陣列的綜合方法更具有實(shí)際意義。文獻(xiàn)[9]利用加權(quán)矩陣的共軛對(duì)稱性將波束約束條件轉(zhuǎn)變?yōu)橥购瘮?shù)，從而可利用凸優(yōu)化方法解決平面陣列的綜合問(wèn)題。文獻(xiàn)[10]利用凸優(yōu)化方法求解一系列基于加權(quán)?1范數(shù)最小化的平面陣列波束綜合問(wèn)題，在滿足輻射特性的條件下能獲得盡可能稀疏的平面陣列。由于平面陣列通常包含較多的陣元，而且在陣列綜合模型中其二維波束旁瓣的抑制范圍較大，從而導(dǎo)致需要相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間來(lái)綜合出滿足要求的平面陣列。為此，本文提出了一種基于凸優(yōu)化的低復(fù)雜度平面稀疏陣列綜合方法。該方法首先建立基于加權(quán)?1范數(shù)最小化的平面陣列綜合問(wèn)題，然后利用Kronecker積的性質(zhì)將整個(gè)二維觀測(cè)角度上的波形約束條件轉(zhuǎn)換為兩個(gè)一維觀測(cè)角度上的波形約束問(wèn)題，從而使得平面陣列綜合的復(fù)雜度與兩個(gè)線性陣列綜合問(wèn)題相當(dāng)。因此，本文方法在滿足期望峰值波束旁瓣電平的條件下能夠快速綜合出孔徑更短的平面陣列，由于該方法綜合后的平面陣列具有大范圍低波束旁瓣電平，使得其在平面陣列的綜合稀疏程度方面會(huì)稍劣于傳統(tǒng)凸優(yōu)化方法。

1 平面稀疏陣列模型

考慮如圖1所示的平面陣列，圖中黑點(diǎn)表示天線單元。在陣列區(qū)域內(nèi)，沿[x]軸及其平行方向各有[M]個(gè)柵格點(diǎn)，沿[y]軸及其平行方向各有[N]個(gè)柵格點(diǎn)，這些柵格點(diǎn)可布置天線單元，[dx]和[dy]分別表示[x]軸方向和[y]軸方向的相鄰陣元最小間距。[θ]和[φ]分別表示信號(hào)的俯仰角和方位角，定義域分別為[θ∈[0，π2]]和[φ∈[0，2π]]。

平面陣列的導(dǎo)向矢量[A]和激勵(lì)矢量[w]分別表示如下：

[A=a11 a12 … a1N a21 a22 … a2N … aM1 aM2 … aMNT] （1）

[w=w11 w12 … w1N w21 w22 … w2N … wM1 wM2 … wMNT] （2）

式中：[[?]T]表示矢量轉(zhuǎn)置；[amn=e-jk（mdxμ+ndyv）]是陣列單元[（m，n）]的方向圖[（m=0，1，2，…，M-1；n=0，1，2，…，N-1）；][k=2πλ，][λ]為波長(zhǎng)；[μ]和[v]是方向參數(shù)，分別表示為[μ=sinθcosφ]和[v=sinθsinφ，]其取值范圍分別為[μ∈[-1，1]]和[v∈[-1，1]]；[wmn]是第[（m，n）]個(gè)位置上天線單元的激勵(lì)值。假設(shè)陣列中的單元都是無(wú)方向性的，則平面陣列的方向圖可表示為：

[F（μ，v）=m=0M-1n=0N-1wm，nejk（mdxμ+ndyv）=AH（μ，v）w] （3）

由式（3）可知，影響平面陣列波束方向圖綜合性能的主要因素有陣元的個(gè)數(shù)、陣元的位置及其激勵(lì)。稀疏陣列綜合的本質(zhì)就是在給定的約束條件下求取上述各參數(shù)的過(guò)程。在給定的平面陣列規(guī)模和旁瓣電平約束條件下，以尋找出陣元數(shù)目最少的平面稀疏陣列為目標(biāo)對(duì)陣元位置和陣元激勵(lì)進(jìn)行綜合，則采用加權(quán)?1范數(shù)優(yōu)化的陣列模型表示如下[10]：

[minw Qw1（4a）s.t. AH（μ0，v0）w=1 （4b） AH（μ，v）w

式中：[[?]H]表示矢量的共軛轉(zhuǎn)置；[Q]是由一組加權(quán)系數(shù)[qk]組成的1?范數(shù)加權(quán)矩陣；[μ0]和[v0]為期望波束主瓣所對(duì)應(yīng)的方向參數(shù)；[Ω]為平面陣列的波束旁瓣區(qū)域；[psl]是給定的峰值旁瓣電平。

2 平面陣列的低復(fù)雜度綜合方法

由式（4）可知，平面陣列綜合問(wèn)題的求解所需時(shí)間與平面陣列的旁瓣區(qū)域[Ω]有關(guān)，與線性陣列相比，由于平面陣列的觀測(cè)角度為二維角度，因此其在旁瓣區(qū)域[Ω]內(nèi)的采樣數(shù)會(huì)呈平方式增長(zhǎng)，從而導(dǎo)致陣列綜合問(wèn)題中約束條件較多，則利用凸優(yōu)化方法求解式（4）會(huì)耗時(shí)很長(zhǎng)。因此為了提高平面陣列綜合的速度，必須簡(jiǎn)化式（4）中的波束旁瓣約束條件。

由式（1）可知，平面陣列的導(dǎo)向矢量[A]可改寫為：

[A=Ax（μ）?Ay（v）] （5）

式中：[Ax（μ）=1 ejkdxμ… ejk（M-1）dxμT]為橫向陣列的導(dǎo)向矢量；[Ay（v）=1 ejkdyv… ejk（N-1）dyvT]為縱向陣列的導(dǎo)向矢量。[w]是平面陣列綜合問(wèn)題（4）中需要求解的陣列激勵(lì)矢量，假設(shè)矢量[w]也可以寫成如下形式：

[w=wx?wy] （6）

式中：[wx]和[wy]分別為平面陣列的橫向陣列和縱向陣列的激勵(lì)向量。將式（5）和式（6）代入式（3），根據(jù)Kronecker積的性質(zhì)可得：

[F（μ，v）=AH（μ，v）w=（Ax（μ）?Ay（v））H×（wx?wy）=（AHx（μ）×wx）?（AHy（v）×wy）=Fx（μ）×Fy（v）] （7）

式中：[Fx（μ）=AHx（μ）×wx]為橫向陣列的波束方向圖；[Fy（v）=AHy（v）×wy]為縱向陣列的波束方向圖。假設(shè)[Fx（μ）]和[Fy（v）]均為歸一化波束方向圖，即[Fx（μ）≤1，][Fy（v）≤1，]則根據(jù)式（7），式（4b）可改寫為：

[ Ax（μ0）wx=1， Ay（v0）wy=1] （8）

旁瓣電平約束條件式（4c）可等效為：

[AH（μ）w?Fy（v）

式中：[Ωx]和[Ωy]分別為方向參數(shù)[μ]和[v]在波束旁瓣區(qū)域內(nèi)的取值范圍。由于[Fx（μ）≤1，][Fy（v）≤1，]滿足式（9）的充分條件為：

[AH（μ）w

由式（8）～式（10）可知，基于加權(quán)?1范數(shù)最小化的平面陣列綜合問(wèn)題，即式（4）可改寫為如下形式：

[minw Qxwx1+Qywy1s.t. Ax（μ0）wx=1， Ay（v0）wy=1 AH（μ）w

式中[Qx]和[Qy]分別為橫向陣列和縱向陣列的1?范數(shù)加權(quán)矩陣，分別由式（12）和式（13）決定。

[Qx=diag（q（l-1）x）， q（l-1）xm=1w（l-1）xm+δ， m=0，1，2，…，M-1] （12）

[Qy=diag（q（l-1）y）， q（l-1）yn=1w（l-1）yn+δ， n=0，1，2，…，N-1] （13）

式中：[w（l-1）xm]和[w（l-1）yn]分別是第[l-1]次迭代時(shí)橫向陣列和縱向陣列的激勵(lì)向量估計(jì)值[w（l-1）x]和[w（l-1）y]中的第[m]和第[n]個(gè)元素，在第一次迭代中即（[l=0]）時(shí)，[w（l）x]和[w（l）y]均為全1向量；[δ]是一個(gè)非常小的正常量，用于避免當(dāng)激勵(lì)向量[w（l-1）x]和[w（l-1）y]中出現(xiàn)零值時(shí)導(dǎo)致算法運(yùn)行終止。

由式（11）可知，本文利用Kronecker積的性質(zhì)將整個(gè)二維觀測(cè)角度上的旁瓣約束條件即式（4）分解成兩個(gè)一維觀測(cè)角度上的旁瓣約束問(wèn)題，大大降低了平面陣列綜合時(shí)的約束條件數(shù)，即平面陣列綜合問(wèn)題等效于橫向陣列和縱向陣列的綜合問(wèn)題，從而使得平面陣列綜合的復(fù)雜度與兩個(gè)線性陣列綜合問(wèn)題相當(dāng)。當(dāng)?shù)螖?shù)[l]達(dá)到[lmax]或者滿足終止條件（14）和（15）時(shí)平面陣列綜合完成：

[w（l）x-w（l-1）x1<ξx] （14）

[w（l）y-w（l-1）y1<ξy] （15）

式中[ξx]和[ξy]為誤差值。令：

[w=w（l）x?w（l）y] （16）

根據(jù)激勵(lì)向量估計(jì)值[w]中的非零元素所在的位置確定為綜合后平面陣列的陣元位置，而該非零元素值的大小即為該陣元的激勵(lì)幅度值。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

本文對(duì)基于凸優(yōu)化的平面陣列綜合問(wèn)題中的約束條件進(jìn)行了簡(jiǎn)化，提出一種低復(fù)雜度的平面陣列綜合方法。下面設(shè)計(jì)了運(yùn)用傳統(tǒng)凸優(yōu)化方法和本文方法進(jìn)行平面陣列綜合的對(duì)比實(shí)驗(yàn)。以下仿真實(shí)驗(yàn)均使用配置為Intel? Core[?] i5?4570處理器、主頻為3.2 GHz、內(nèi)存為4 GB的計(jì)算機(jī)。

仿真參數(shù)設(shè)置如下：平面陣列[x]軸方向的陣列孔徑為[4.5λ]，[y]軸方向的陣列孔徑為[8λ，][x]軸方向陣元間距[dx=λ4，][y]軸方向陣元間距[dy=λ4，]則初始化平面陣列的橫向陣元數(shù)[M=19，]縱向陣元數(shù)[N=33。]要求陣列綜合后波束方向圖峰值旁瓣電平小于-20 dB，設(shè)置方向參數(shù)[μ]和[v]在其取值范圍內(nèi)的采樣數(shù)分別為[Lμ=41]和[Lv=41，]誤差最小值[ξx=ξy=10-3]。

圖2（a）和圖2（b）分別是利用文獻(xiàn)[10]中的迭代凸優(yōu)化方法和本文方法進(jìn)行平面陣列綜合獲得的陣元位置分布圖。圖3（a）和圖3（b）分別為文獻(xiàn)[10]方法和本文方法綜合后的平面陣列波束方向圖。

由圖2和圖3可知，兩種方法綜合后的平面陣列的波束旁瓣電平均控制在-20 dB以下；文獻(xiàn)[10]方法需要3 168 s的綜合時(shí)間獲得陣元數(shù)為41的平面稀疏陣列，這是由于二維觀測(cè)角度所對(duì)應(yīng)的旁瓣約束條件較多，影響了平面陣列綜合的收斂速度；而本文方法僅需3 s即可快速完成平面陣列的綜合，綜合后的平面稀疏陣列陣元數(shù)為48，由于本文方法綜合后的平面陣列具有大范圍低波束旁瓣電平以及更短的陣列孔徑，這使得其在平面陣列的綜合稀疏程度方面要稍劣于文獻(xiàn)[10]中的方法。平面陣列具有大范圍低波束旁瓣電平，可以降低外界干擾信號(hào)的影響，而更短的陣列孔徑可降低平面陣列對(duì)工作環(huán)境的限制，使得布陣更具有靈活性。

4 結(jié) 語(yǔ)

由于平面陣列包含陣元數(shù)較多且其二維波束旁瓣的抑制范圍較大致使凸優(yōu)化約束條件數(shù)劇增，從而導(dǎo)致平面陣列綜合的耗時(shí)很長(zhǎng)。本文提出了一種基于凸優(yōu)化的低復(fù)雜度平面陣列綜合方法，利用Kronecker積的性質(zhì)將平面陣列綜合中的二維波束旁瓣約束條件轉(zhuǎn)化為一維波束旁瓣的約束條件，大大減少了凸優(yōu)化的約束條件數(shù)，從而加快了平面陣列綜合的速度。本文提出的平面陣列綜合方法在收斂速度、陣列孔徑長(zhǎng)度以及低波束旁瓣范圍等方面均優(yōu)于傳統(tǒng)的凸優(yōu)化方法。

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