自然數(shù)與無限性思想的歷史透視

郭龍先， 胡曉飛

(昭通學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 云南 昭通 657000)

●數(shù)學(xué)研究

自然數(shù)與無限性思想的歷史透視

郭龍先， 胡曉飛

(昭通學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 云南 昭通 657000)

無窮一直是詩人、藝術(shù)家、哲學(xué)家、神學(xué)家、科學(xué)家關(guān)注的焦點(diǎn)，它有著極為豐富的內(nèi)涵，在不同的思想領(lǐng)域中有著不同的表現(xiàn)形式.自然數(shù)引出的無限多、無窮大等概念，打開了人類認(rèn)識(shí)無限性的大門.對(duì)自然數(shù)序列“不可窮盡”的不同理解，產(chǎn)生了“實(shí)無限”與“潛無限”的數(shù)學(xué)哲學(xué)爭(zhēng)論.

自然數(shù)； 有限； 無窮； 實(shí)無限； 潛無限

無窮！這是一個(gè)既使人迷惑，又令人興奮的話題.數(shù)千年來，它始終刺激著人類永不枯竭的想象力，至今依然魅力不減.無窮一直是詩人、藝術(shù)家、哲學(xué)家、神學(xué)家、科學(xué)家關(guān)注的焦點(diǎn)，它有著極為豐富的內(nèi)涵，在不同的思想領(lǐng)域中有著不同的表現(xiàn)形式.

1 生有涯，知無涯——心靈的震撼與思想的困惑

詩人抒發(fā)“人生代代無窮已，江月年年只相似”的情感；愚公堅(jiān)信：“子又生孫，孫又生子；子又有子，子又有孫.子子孫孫，無窮匱也”的信念；莊子有“吾生也有涯，而知也無涯.以有涯隨無涯，殆已”的感慨.個(gè)人的生命短暫即逝，而人類的存在則是綿延不絕.以有限的人生叩問無窮的底蘊(yùn)，古今中外不知有多少文人墨客、哲人學(xué)士為之驚嘆與恐懼、興奮和困惑.“前不見古人，后不見來者；念天地之悠悠，獨(dú)愴然而涕下.”陳子昂一曲《登幽州臺(tái)歌》，表達(dá)了人類面對(duì)無窮時(shí)空的千古浩嘆.

西方哲人畢達(dá)哥拉斯說：“無限標(biāo)志著‘惡’，它令人望而生畏.”帕斯卡感嘆道：“這些無限空間的永恒沉默使我恐懼.”康德認(rèn)為無限“有著令人恐怖的崇高”.康托爾說：“所有這些特殊類型的無限，都是永恒的，它們都具有神性.”希爾伯特指出：“無限這個(gè)概念既是我們最偉大的朋友，也是我們心靈寧靜的最大敵人……”

面對(duì)無窮，智者惠施的結(jié)論是：“至大無外，謂之大一；至小無內(nèi)，謂之小一”；希臘哲人阿拉克薩哥拉同樣認(rèn)為：“在小的當(dāng)中沒有最小的，在大的當(dāng)中沒有最大的；但是總有某個(gè)東西最小，也總有某個(gè)東西最大.”這一東西交映，合若符契的思想，正如錢鐘書先生所言：“東海西海，心理攸同；南學(xué)北學(xué)，道術(shù)未裂.”從中國先秦名家學(xué)派“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”的命題，到古希臘“芝諾悖論”所涉及的無窮大量、無限可分性、運(yùn)動(dòng)和連續(xù)性等深?yuàn)W而復(fù)雜的內(nèi)容，不知吸引了多少天才和智者的目光.

不管用什么方法考察無窮，最終都將回到數(shù)學(xué)的領(lǐng)域，因?yàn)檎窃谶@里才有無窮概念最深的根基.丹齊克寫到(著重號(hào)為原作者所加)：

無限的概念既不是實(shí)驗(yàn)的天然物，也不是邏輯的必然物；而是數(shù)學(xué)的必然物.頭腦知道它能想象出一種可能的動(dòng)作的無限次的重復(fù)，我們對(duì)頭腦的能力的這種肯定也許是一種純粹的幻想，然而它卻是一種方便的，從而就是必要的幻想了.[1]

從遠(yuǎn)古結(jié)繩記事，到19世紀(jì)末無窮大數(shù)學(xué)的建立，其間經(jīng)歷了數(shù)百代人，上萬年的探索與奮斗.外爾(Weyl，1885—1955年)認(rèn)為數(shù)學(xué)就是關(guān)于無窮的科學(xué).幾何學(xué)和微積分中面積和體積的確定；e，π和其它無理數(shù)的近似計(jì)算；三角學(xué)、微積分、半衰期、無窮集；極限、級(jí)數(shù)、動(dòng)態(tài)對(duì)稱還有無窮生成的分形、混沌理論、大素?cái)?shù)的連續(xù)搜索、超限數(shù)等等.確實(shí)，數(shù)學(xué)對(duì)無窮的認(rèn)識(shí)是人類最偉大的成就之一.因而那些思想深邃，本領(lǐng)高強(qiáng)的數(shù)學(xué)家們，為了不斷拓展人類認(rèn)識(shí)的視野，依然雄心勃勃地在“無限”問題上大做文章.

與無窮這一概念密切相關(guān)的思想方法，在許多數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中起著至關(guān)重要的作用.實(shí)數(shù)集合的無限性在現(xiàn)代科學(xué)中居于核心地位，要是我們沒有發(fā)現(xiàn)“極限”，現(xiàn)代數(shù)學(xué)和科學(xué)的發(fā)展就無從談起.有了級(jí)數(shù)、序列及其極限的概念，數(shù)學(xué)家才具備理解無理數(shù)性質(zhì)的條件.在高等數(shù)學(xué)中，我們用極限概念研究連續(xù)的變化，解開了曲線、加速度和運(yùn)動(dòng)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)奧秘.即使一個(gè)孩子學(xué)習(xí)數(shù)數(shù)，也要以每一個(gè)數(shù)都有一個(gè)后繼者，這一保證自然數(shù)列有無窮多項(xiàng)的公理為基礎(chǔ)；在幾何學(xué)中我們能夠在兩個(gè)方向上任意地延長(zhǎng)一條直線，也是與無限性密切相關(guān)的.美國數(shù)學(xué)家克勞森說：

任何討論數(shù)的話題，如果完全不涉及無窮，那將是毫無意義的，……要理解數(shù)必須涉及無窮——它們是“無窮無盡”的，因?yàn)閿?shù)學(xué)肇始于數(shù)的研究，所以，要是抓不住這個(gè)奇怪而美麗的概念，我們就別想去真正認(rèn)識(shí)和欣賞數(shù)學(xué).[2]

如果離開了無窮，那么數(shù)學(xué)家的工作將顯得微不足道.例如：公式

我們可以用任一整數(shù)來代替n，如n=2或n=5，所以這個(gè)公式顯然包含著無限多個(gè)命題，這一結(jié)論成立的證明涉及自然數(shù)的無窮性質(zhì).但對(duì)于個(gè)別數(shù)字成立的等式

則可簡(jiǎn)單地通過計(jì)算來加以驗(yàn)證，數(shù)學(xué)家對(duì)此毫無興趣.

無窮有很多面孔，外行人經(jīng)常認(rèn)為它是一種比所有數(shù)都大的“數(shù)”.多數(shù)人在思考無窮時(shí)，傾向于往大的方面考慮.其實(shí)，無窮的要義在于它與非常大(無窮大量)、非常小(無限可分或連續(xù)性問題)均有密切聯(lián)系.正如東晉學(xué)者張湛所言：

世咸知積小可以高大，而不悟損多可以至少.夫九層起于壘土，高岸遂為幽谷.茍功無廢舍，不期朝夕，則無微而不積，無大而不虧矣.今砥礪之與刀劍相磨不已，則知其將盡.二物如此，則丘壑消盈無所致疑.若以大小、遲速為惑者，未能推類也.[3]

“至大無外，至小無內(nèi).”無窮這一概念朝大的方向和小的方向分別引出了宇宙論和邏輯學(xué)、數(shù)學(xué)等方面的問題.

無窮曾經(jīng)是許多悖論中的罪魁禍?zhǔn)?，芝諾的阿基利斯追烏龜?shù)你Ｕ撘约岸终f悖論、伽利略所提出的關(guān)于線段、點(diǎn)和無窮集的悖論始終激勵(lì)著人類的好奇心.徹底弄清無窮這一概念的實(shí)質(zhì)成為維護(hù)人類智力尊嚴(yán)的一種需要.數(shù)學(xué)是“研究無限的科學(xué)”，理應(yīng)擔(dān)當(dāng)起征服無窮的重任.古希臘的著名學(xué)者中還有阿拉克薩哥拉、亞里士多德、阿波羅尼奧斯等都深思和辯論過無窮中呈現(xiàn)出來的種種難題.在數(shù)學(xué)王國中發(fā)現(xiàn)或攻克一個(gè)個(gè)無窮難關(guān)的大師還有，畢達(dá)哥拉斯、埃利亞的芝諾、安提豐、歐多克斯、歐幾里得、阿基米得、惠施、劉徽、劉洪、祖沖之、伽利略、傅立葉、柯西、黎曼、羅巴切夫斯基、高斯、波爾查諾、萊布尼茲、戴德金、魯賓遜、芒德布羅等等，他們無一不是人類創(chuàng)造的數(shù)學(xué)星空中熠熠生輝的思想明星.

2 循環(huán)之理，豈有窮乎——對(duì)大數(shù)的認(rèn)識(shí)與把握

史前的人類不可能知道真正抽象的數(shù)，更不能把計(jì)數(shù)的事物跟抽象的數(shù)相聯(lián)系，也許在原始人的心目中數(shù)都是有限的.客觀的需要和數(shù)學(xué)的發(fā)展都促使人們?nèi)フJ(rèn)識(shí)和把握越來越大的數(shù).丹齊克說：“人類在極為有限的數(shù)知覺之外，學(xué)會(huì)了另一種技巧來給他幫忙，這種技巧注定了使他們未來的生活受到巨大的影響.這技巧就是計(jì)數(shù).”他說：

正是計(jì)數(shù)，才使具體的，不同質(zhì)的表達(dá)多寡的概念結(jié)合為統(tǒng)一的抽象的數(shù)概念.前者是原始人的特點(diǎn)，后者則是數(shù)學(xué)發(fā)展的前提.[1]5

自然數(shù)引出了無窮多、無窮大等無限性的概念，正是它們的演進(jìn)，打開了人類認(rèn)識(shí)無限性的大門.的確，我們不能想象計(jì)數(shù)過程會(huì)有盡頭，每一個(gè)自然數(shù)都有一個(gè)后繼數(shù)，沒有最后一位數(shù)，存在著無限多的數(shù).對(duì)此，克勞森指出：“為了理解自然數(shù)必定要對(duì)無窮有點(diǎn)感覺”.

“數(shù)有窮乎？”無窮的概念或?qū)蝈e(cuò)地與大數(shù)相聯(lián)系.起初，對(duì)一些較大的數(shù)，人們尚能理解，還可以利用已有的記數(shù)單位去表示它.但是，隨著人們認(rèn)識(shí)的發(fā)展，這些大數(shù)也在迅速地?cái)U(kuò)張，原有的記數(shù)單位難以為用.《數(shù)術(shù)記遺》中記載了漢朝時(shí)劉洪與徐岳師生之間，就大數(shù)是否有窮這一問題所作的一次精深對(duì)話.

徐岳問曰：數(shù)有窮乎？

會(huì)稽(劉洪)答曰：吾曾游天目山中，見有隱者，世莫知其名，號(hào)曰天目先生，余亦以此意問之.先生曰：世人言三不能比兩……數(shù)不識(shí)三，妄談知十.不辨積微之為量，詎曉百億于大千？黃帝為法，數(shù)有十等.……億、兆、京、垓……從億至載，終于大衍.

會(huì)稽問曰：先生之言，上數(shù)者數(shù)窮則變，既云終于大衍，大衍有限，此何得無窮？

先生答曰：數(shù)之為用，言重則變，以小兼大，又加循環(huán).循環(huán)之理，豈有窮乎！

數(shù)有窮乎？不僅包含著有限與無窮關(guān)系的哲學(xué)思考，還涉及到如何利用有限的方法來表達(dá)無窮無盡的“大數(shù)”這一現(xiàn)實(shí)問題，這的確是數(shù)學(xué)發(fā)展中需要回答的重大課題.徐岳與其老師劉洪的對(duì)話，精彩地闡明了“數(shù)窮則變”的深刻道理：天目先生的做法是借助“以小兼大”的“循環(huán)之理”，用有限之法把握無窮之?dāng)?shù).而“言重則變”則是達(dá)到這一目的之重要思想，使用劉洪(約130—196年)所提出的“上數(shù)”重進(jìn)制(萬萬為億，億億為兆，兆兆為京……)可以得到任意大的數(shù)，直至無窮.在《孫子算經(jīng)》中也有：“萬萬曰億，萬萬億曰兆，萬萬兆曰京，萬萬京曰陔，萬萬陔曰秭，萬萬秭曰穰，萬萬穰曰溝，萬萬溝曰澗，萬萬澗曰正，萬萬正曰載”的大數(shù)之法.

我們今天仍在使用的“萬萬為億”的計(jì)數(shù)法，是20世紀(jì)40年代中期才確定下來的統(tǒng)一用法.1944年11月28日，重慶《中央日?qǐng)?bào)》對(duì)此作了說明：

我國數(shù)位系十進(jìn)位制，數(shù)字大者則以億、兆、京、垓四字代之，而此四字之含義有二：(一)以十萬為億，十億為兆，十兆為京，十京為垓.(二)以萬萬為億，萬億為兆，萬兆為京，萬京為垓.今人事進(jìn)化，數(shù)字用途亦廣，即如人口貨幣兩端而論，如以十萬為億，即有單位太小，不足敷用之虞，宜以萬萬為億；……根據(jù)上述理由提請(qǐng)大會(huì)通過，請(qǐng)建議政府明令確定數(shù)位，以萬萬為億.

歷史上印度佛教對(duì)大數(shù)也具有特殊的興趣.東漢時(shí)期翻譯的佛經(jīng)《四十二章經(jīng)》中就有百、千、萬、百萬、千萬、億、十億、百億和千億等記載.鳩摩羅什(公元344—413年)翻譯的《大智度論》卷五中共有123個(gè)大數(shù)的名稱，如：

億，億億，阿由他億，那由他億，……無量，無量無量，……一國土微塵等.

東晉《華嚴(yán)經(jīng)》中也有115個(gè)大數(shù)的名稱.據(jù)《華嚴(yán)經(jīng)》記載“自在主言：我昔曾于文殊師利童子所，修學(xué)書、數(shù)、算、印等法，即得悟入一切工巧神通智法門.……我亦能知菩薩算法.”《華嚴(yán)經(jīng)》中以一阿僧祗(大約為101032)為單位，漸次轉(zhuǎn)倍，至“不可說不可說”，即：

阿僧祗、無量、無邊、無等、不可數(shù)、不可稱、不可思、不可量、不可說、不可說不可說.

這就是佛經(jīng)中經(jīng)常提到的“十大數(shù)”，其計(jì)數(shù)法為：阿僧祗乘以阿僧祗，得阿僧祗轉(zhuǎn)；阿僧祗轉(zhuǎn)乘以阿僧祗轉(zhuǎn)，得無量，以此類推.

數(shù)學(xué)史學(xué)者李儼說：“十進(jìn)、萬進(jìn)為我國舊法，至南北朝之十進(jìn)、萬萬進(jìn)、倍進(jìn)三法及唐代之十進(jìn)、百進(jìn)、倍進(jìn)，則多少受佛典之影響.”[4]這說明在記數(shù)法方面，中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想的發(fā)展同樣受到文化交流的影響，具有一定的開放性.“恒河沙數(shù)”這一成語就是中印文化交流的結(jié)果.后秦時(shí)期翻譯的《十佳斷結(jié)經(jīng)》中更有以億為基數(shù)的進(jìn)位制：

欲知數(shù)者，從一數(shù)至億，以億為一，復(fù)從一至億，還數(shù)億為一.……

據(jù)說古代希臘人對(duì)于無窮的感覺是因?yàn)橛^察天空中的恒星，以及海灘上的沙粒而獲得的.無獨(dú)有偶，中國也有“天上星星數(shù)不清”的說法.阿基米得在《沙粒的計(jì)算》中竟然定出一種計(jì)算地球上所有海灘上的沙粒數(shù)目的記數(shù)系統(tǒng).阿基米得在他的《沙粒的計(jì)算》中寫到：

有人認(rèn)為沙子的數(shù)目是無窮的，而且我所說的沙子不僅存在于敘拉古和西西里島的其他地方，還存在于無論是否有人居住的每一地區(qū)，也有人不同意沙子的數(shù)目無窮多，但卻認(rèn)為無法給大于沙子數(shù)量的數(shù)命名.[5]

面對(duì)古希臘繁冗的數(shù)字表示方式，阿基米得首創(chuàng)了記大數(shù)的方法，突破了當(dāng)時(shí)用希臘字母計(jì)數(shù)不能超過一萬的局限.用阿基米得發(fā)明的記數(shù)法，可以表示大到1后面跟著8億億個(gè)零的“大數(shù)”，他的方法是把單位“萬”作為第一級(jí)，“萬萬”(億)為第二級(jí)，億億為第三級(jí)，……如此等等.而且他大膽提出如果把“整個(gè)宇宙”(古希臘天文學(xué)家認(rèn)為宇宙是有限的)全部用砂粒填滿，也能算出砂粒的總數(shù)；今天我們?nèi)祟惪捎^察的宇宙半徑約為130億光年，假設(shè)全部填滿質(zhì)子，其數(shù)目也不超過10125，與阿基米得的大數(shù)108×1016相比仍然是小巫見大巫.利用阿基米得的記數(shù)法，還可以繼續(xù)生成更高級(jí)的“大數(shù)”，“循環(huán)之理，豈有窮乎！”正是這一充滿智慧的靈光，引領(lǐng)人類穿透了籠罩在計(jì)數(shù)過程中“無窮”的迷霧，開辟了從有限走向無限的光輝歷程.

3 無窮之境——自然數(shù)引出的無限性難題

人類在早期計(jì)數(shù)過程中，面對(duì)自然數(shù)序列1，2，3，…就遇到了有限和無窮的關(guān)系問題.因?yàn)樵撔蛄杏罒o止盡，故而成為數(shù)學(xué)史上討論無限性問題的一個(gè)最簡(jiǎn)單最自然的例子.自然數(shù)序列沒有末尾，不會(huì)“終結(jié)”，這一事實(shí)并不神秘.正如芝諾所言：“說過一遍的話，可以永遠(yuǎn)重復(fù).”不論整數(shù)n有多大，總有下一個(gè)整數(shù)n+1，所以不存在最大的自然數(shù)，即自然數(shù)是無界的.丹齊克指出：“自然數(shù)是建筑在加一的運(yùn)算可以重復(fù)無限次的假定之上的，但它明白規(guī)定，此種過程的最后一步自身是不能當(dāng)作一個(gè)數(shù)的.”柯朗指出：從表示“沒有終結(jié)”這意思的形容詞“無限的”過渡到名詞“無限”時(shí)，我們不能把通常用特殊符號(hào)∞表示的“無限”看成像普通的數(shù)那樣.我們不可能把符號(hào)∞包括在實(shí)數(shù)系統(tǒng)中而仍然保持算術(shù)的基本規(guī)律.無窮大本身不是一個(gè)數(shù)，它只是所有自然數(shù)構(gòu)成的集合的一種性質(zhì).

伊萊·馬奧爾說“自然數(shù)唯一的一個(gè)最重要的特性肯定是：自然數(shù)有無窮多個(gè)”[6]如果沒有最大的自然數(shù)，那么“一切自然數(shù)”的性質(zhì)又是什么？又如何去證明這種性質(zhì)呢？因?yàn)槲覀冾A(yù)先已經(jīng)知道自然數(shù)是無窮無盡的，當(dāng)然就不能挨個(gè)檢驗(yàn)，把所有的情形都窮舉完畢.丹齊克說：“就在數(shù)學(xué)的門檻上，我們遇到了關(guān)于無限的二難論證.”[1]51萊布尼茲的結(jié)論是：“所有整數(shù)的個(gè)數(shù)”這一提法自相矛盾，應(yīng)該拋棄.圍繞著無限，數(shù)學(xué)中產(chǎn)生了從芝諾悖論直到康德和康托爾的二律背反等各種矛盾.

如果只討論自然數(shù)是否有窮，問題就簡(jiǎn)單得多，假設(shè)N是一個(gè)最大的正整數(shù)，那么，顯然N+1>N，這一簡(jiǎn)單的論證蘊(yùn)含著極為重要的思想.正是用這種很普通的邏輯方法，即所謂的反證法，歐幾里得在《幾何原本》中證明了：“存在多于任何給定數(shù)的素?cái)?shù).”這一命題被稱為古希臘算術(shù)中最優(yōu)美的定理.

命題20：預(yù)先任意給定幾個(gè)質(zhì)數(shù)，則有比它們更多的質(zhì)數(shù).

設(shè)A,B,C是預(yù)先給定的質(zhì)數(shù)，則可證有比A,B,C更多的質(zhì)數(shù).為此DE是由質(zhì)數(shù)A,B,C量盡的最小數(shù).設(shè)給DE加上單位DF，那么EF或者是質(zhì)數(shù)或者不是質(zhì)數(shù).

首先，設(shè)它是質(zhì)數(shù).那么已經(jīng)找到多于A,B,C的質(zhì)數(shù)A,B,C,EF.

其次，設(shè)EF不是質(zhì)數(shù)，那么EF能被某個(gè)質(zhì)數(shù)量盡.(Ⅶ卷·命題31：任意合數(shù)可被某質(zhì)數(shù)量盡)

設(shè)它被質(zhì)數(shù)G量盡.則可證G與A,B,C任何一個(gè)都不同.因?yàn)?，如果可能，設(shè)它是如此.

現(xiàn)在A,B,C量盡DE.但它也量盡EF.所以G量盡其剩余的數(shù)，即量盡單位DF：這是不合理的.所以G.與數(shù)A,B,C任何一個(gè)都不同.

又假設(shè)它是質(zhì)數(shù).因此，已經(jīng)找到了質(zhì)數(shù)A,B,C,G.它們的個(gè)數(shù)多于預(yù)先給定的A,B,C的個(gè)數(shù).這正是本命題的結(jié)論.[7]

該證明中歐幾里得使用的構(gòu)造思想和歸謬法，至今仍然是數(shù)學(xué)推理的一個(gè)典范.在《幾何原本》中他還給出了與該命題的證明密切相關(guān)的質(zhì)數(shù)的三條基本性質(zhì)：

(1)Ⅶ卷·命題30：如果兩數(shù)相乘得某數(shù)，且一質(zhì)數(shù)量盡該乘積，則它也必量盡原來兩數(shù)之一.(p是質(zhì)數(shù)，若p|ab，則p|a或p|b)

(2)Ⅶ卷·命題31：任意合數(shù)可被某質(zhì)數(shù)量盡.

(3)Ⅸ卷·命題14：如果一個(gè)數(shù)是被一些質(zhì)數(shù)能量盡的最小者，那么，除原來量盡它的質(zhì)數(shù)外任何另外的質(zhì)數(shù)量不盡該數(shù).(若a是質(zhì)數(shù)p,q,…的乘積，則a分解為質(zhì)數(shù)之積的形式是唯一的)

上述命題(3)就是所謂的質(zhì)因數(shù)分解的唯一性定理，因?yàn)槠渲匾?，又被后人稱之為算術(shù)基本定理：每一個(gè)大于1的整數(shù)，或者是素?cái)?shù)，或者可表示為若干素?cái)?shù)的乘積，這種表示若不計(jì)素?cái)?shù)排列的次序則是唯一的：

布爾巴基學(xué)派的主將迪厄多內(nèi)贊嘆道：“據(jù)我所知，在公元前5世紀(jì)以前，除了希臘文明之外，沒有任何別的文明有人想到過把一個(gè)自然數(shù)分解為它的素因數(shù)之積.”[8]我們知道,畢達(dá)哥拉斯學(xué)派主張通過數(shù)來研究宇宙的秩序與和諧，這就必然會(huì)引出具有某種結(jié)構(gòu)關(guān)系的數(shù)的理論來.與其他古代文明的數(shù)學(xué)相比，希臘數(shù)學(xué)是一種概念及其關(guān)系的學(xué)科,在這種看似理性而冷靜的體系背后蘊(yùn)藏著一種探索宇宙本性的激情與沖動(dòng).而在中國古代的算學(xué)中，數(shù)的理論主要是在應(yīng)用中加以發(fā)展，雖然有利于計(jì)算技術(shù)的改進(jìn),但人們并不關(guān)心自然數(shù)集合的性質(zhì)及其理論.

算術(shù)基本定理告訴我們，素?cái)?shù)作為構(gòu)作自然數(shù)的基本因數(shù)，所有的自然數(shù)都是由它們建造的；素?cái)?shù)在數(shù)學(xué)中的地位類似于化學(xué)里的元素或物理學(xué)中的基本粒子，掌握了任何一個(gè)數(shù)的素因子，數(shù)學(xué)家就獲得了該數(shù)的幾乎全部信息.素?cái)?shù)雖然是無窮的，但其在自然數(shù)列中的分布卻是越來越稀疏的，甚至到了：任給一個(gè)無論多大的整數(shù)N，必可以找出N個(gè)連續(xù)自然數(shù)，在它們之間沒有一個(gè)素?cái)?shù).要想證明這個(gè)驚人的定理，只要對(duì)歐幾里得關(guān)于質(zhì)數(shù)有無限多個(gè)的證明稍加推廣即可：

設(shè)P是大于N的第一個(gè)質(zhì)數(shù)(若N自己就是質(zhì)數(shù)，取P=N)，則N個(gè)相連的整數(shù)P!+2，P!+3，P!+4，…，P!+N+1全是合數(shù).

因?yàn)镻!可以用質(zhì)數(shù)P和小于P的一切質(zhì)數(shù)整除；故P!可以用小于或等于N+1的任何整數(shù)E整除，于是得P!+E在1

歐幾里得關(guān)于存在無窮多個(gè)素?cái)?shù)的證明的意義并不止于此，從數(shù)學(xué)思想的觀點(diǎn)來看，他的證明屬于有限性的構(gòu)造證明.亞里士多德認(rèn)為定義只是說明被定義事物的性質(zhì)，而不涉及其存在性，為了說明該事物的存在，就需要給出構(gòu)造它的方法.例如正十面體是可以定義的但并不存在.再如三等分一個(gè)角既是存在的也是可以定義的，因?yàn)橐恢睙o法找到三等分任意角的方法，所以《幾何原本》中沒有關(guān)于三等分角的定理.在歐幾里得時(shí)代，“存在”就是“可構(gòu)造”是數(shù)學(xué)家們的一個(gè)基本信念.希臘人不僅把數(shù)學(xué)主要限制于幾何，在幾何研究中也只限于那些能用直線和圓作出的圖形，他們認(rèn)為直線和圓是基本圖形，凡是不能用尺規(guī)作出的圖形，諸如割圓線、蚌線、螺線等，都被稱之為機(jī)械曲線(線性軌跡)，僅僅處于幾何的邊緣位置.《幾何原本》中的前三個(gè)公設(shè)就明確限制只許用尺規(guī)作圖：

1.從任意一點(diǎn)到任意一點(diǎn)可作直線.

2.一條有限直線可以繼續(xù)延長(zhǎng).

3.以任意一點(diǎn)為心及任意距離可以畫圓.[7]2

為什么希臘人要在幾何中嚴(yán)格限制只能用尺規(guī)作圖呢？主要原因是為了解決幾何圖形的存在性問題.克萊茵在《古今數(shù)學(xué)思想》一書中指出：

我們知道，希臘人特別是亞里士多德曾經(jīng)指出必須保證所引用的概念不自相矛盾；就是說必須證明它們存在.為解決這個(gè)問題，希臘人至少從原則上只承認(rèn)那些可以作圖的概念是存在的.直線和圓是在公設(shè)里承認(rèn)它們是可作的，但其它圖形則必須從直線和圓來作出.[9]

還有一種理由，據(jù)說是柏拉圖反對(duì)用其他機(jī)械工具，因?yàn)檫@樣過于依賴直觀的感覺會(huì)降低思想的境界.柏拉圖貶斥利用感性的知識(shí)取代純粹的推理，他認(rèn)為理性的思考永遠(yuǎn)是第一位的.在《國家篇》中柏拉圖提到幾何學(xué)家時(shí)說：

他們進(jìn)一步使用和談?wù)撘恍┛梢姷膱D形，但是他們真正思考的實(shí)際上不是這些圖形，而是這些圖形所模仿的那些東西，不是他們所畫的某個(gè)特殊的正方形或某條特殊的對(duì)角線，而是正方形本身，對(duì)角線本身，等等……但他們真正尋求的是只有用心靈才能“看到”的那些實(shí)在.[10]

據(jù)普魯塔克的記述，當(dāng)聽說歐多克斯和阿爾西塔斯應(yīng)用機(jī)械工具解決倍立方體的幾何作圖問題時(shí)，柏拉圖毫不留情地予以抨擊，他認(rèn)為這樣做，“只能導(dǎo)致幾何學(xué)的墮落，剝奪它的優(yōu)點(diǎn)，因而使它可恥地背棄純理智的抽象對(duì)象，倒退到感性，并求助于物質(zhì).”

希臘幾何學(xué)家發(fā)明了間接證明方法，并發(fā)現(xiàn)了這種方法的作用，他們對(duì)此深深地引以自豪.這種方法是，在可能的情形中，搜索出所有可能的假設(shè)，除正確的那個(gè)假設(shè)外，所有其他的假設(shè)都將導(dǎo)出矛盾的結(jié)論，因此就可以剔出這些錯(cuò)誤的假設(shè).這種方法的邏輯基礎(chǔ)即邏輯學(xué)家熟知的矛盾律和排中律，就是由亞里士多德形成為公式的.反證法也被古希臘數(shù)學(xué)家稱之為歸謬法.哈代對(duì)這種證明方法做過一個(gè)很好的比喻，他說：

歐幾里得特別喜歡歸謬法，這是數(shù)學(xué)家最好的武器之一.這一著比象棋中開局舍子的任何一種著數(shù)高明得多：棋手可以舍掉一個(gè)卒子甚至別的大子，而數(shù)學(xué)家舍掉是整個(gè)一局.[11]

無窮歷來是爭(zhēng)論的焦點(diǎn)，按照古希臘數(shù)學(xué)家的觀點(diǎn)，無窮是不可構(gòu)造的.歐幾里得刻意回避了這一矛盾.例如對(duì)于“質(zhì)數(shù)有無窮多個(gè)”的命題，在《幾何原本》中被表述為：“質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)比任意給定的質(zhì)數(shù)都多”；而對(duì)第五公設(shè)(平行公理)的敘述則是：

同平面內(nèi)一條直線和另外兩條直線相交，若在某一側(cè)的兩個(gè)內(nèi)角之和小于二直角，則兩直線延長(zhǎng)后必相交于該側(cè)的一點(diǎn).

歐幾里得不愿涉及無窮大，他只說一線段可按需要加以延長(zhǎng)，所有的直線實(shí)際上均被視為有限線段，目的就是為了避開直線是否可以無窮延伸的問題.第五公設(shè)的敘述與前四個(gè)公設(shè)相比，不僅文字冗長(zhǎng)，而且意思也不夠明白易懂.原因是他不想引入無窮直線，僅僅提出兩直線相交于某有限點(diǎn)處的條件.斯賓格勒認(rèn)為歐幾里得是一位與古典精神相吻合的思想家，他不會(huì)去考慮觀察者與兩個(gè)無窮遠(yuǎn)處的恒星所構(gòu)成的三角形，以證明其幾何公理是否合于現(xiàn)象真理；因?yàn)?，這些是既不能畫出來，又不能“直覺地領(lǐng)悟出來”的事象.他寫到：

他的感受正是典型的古典文化的感受，不敢面對(duì)無理數(shù)，也不敢給予空無一物的“零”這個(gè)數(shù)字以任何意義，而甚至在凝思宇宙關(guān)系時(shí)，也無視于“無窮”這個(gè)概念，而只能踁踁自囿于古典數(shù)學(xué)的基本表征——“比例”觀念之中.[12]

確實(shí)，經(jīng)驗(yàn)并沒有提供無限直線的性質(zhì)，而希臘人認(rèn)為公理是關(guān)于物理世界的自明真理.空間在無限遠(yuǎn)處的情況，超出了任何人的想象能力和理解能力！正如M·克萊因所言：

希臘人未能領(lǐng)悟無窮大、無窮小和無窮步驟.他們“對(duì)無窮的空間望而生畏”.畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把善與惡同有限與無限聯(lián)系起來.亞里士多德說無窮是不完美的、未完成的、因而是不可思議的；它是不成形的、混亂的.只有那些限定而分明的東西才有其本性可言.

雖然“無限”對(duì)于希臘數(shù)學(xué)家是一個(gè)可怕的、很難理解的東西，但是歐幾里得也確實(shí)暗示了無限直線是存在的，否則在任何情況下也不能按需要任意延長(zhǎng).

4 結(jié)語

對(duì)自然數(shù)序列“不可窮盡”的不同理解，導(dǎo)致了數(shù)學(xué)家之間長(zhǎng)期的分歧.堅(jiān)信自然數(shù)列的延伸永遠(yuǎn)不可能完成是“潛無限”論者的觀點(diǎn).另一方面，凡認(rèn)為自然數(shù)是“完成了的整體”，即為“實(shí)無限”的觀點(diǎn).自然數(shù)序列引出的無限性難題，及其在數(shù)學(xué)中的重要地位究竟如何？還是讓我們?cè)俾犅牭R克的說法吧：

無限這個(gè)概念的根源、對(duì)于計(jì)數(shù)過程是無止境的這個(gè)信念的根源，究竟是什么呢？是經(jīng)驗(yàn)嗎？當(dāng)然不是！經(jīng)驗(yàn)教給我們的是一切事物、一切人類過程的有限性.我們知道，如果我們想通過計(jì)數(shù)把一切數(shù)字窮舉完畢，其結(jié)果只是耗光了我們自己的力量.

無限的存在也不是由數(shù)學(xué)所能確定的，因?yàn)闊o限亦即計(jì)數(shù)過程的無止境，只是一種數(shù)學(xué)的假設(shè)，是算術(shù)的基本假設(shè)，全部數(shù)學(xué)就建筑在這上面.[1]51

歷史的發(fā)展確如戴維斯所言：“正當(dāng)人們?yōu)榻o大數(shù)起名字而掙扎時(shí)，希臘數(shù)學(xué)家們卻從有限一下就跳到無限.”[13]他進(jìn)一步闡釋道：對(duì)于古代人，這個(gè)概念是想象力的一個(gè)最高級(jí)的舉動(dòng)，因?yàn)樗c所有的物理實(shí)驗(yàn)和宇宙必須是有限的這一哲學(xué)信仰都是背道而馳的.他認(rèn)為：這個(gè)大膽的無限概念開啟了數(shù)學(xué)的廣闊的可能性，同時(shí)它也創(chuàng)造出悖論.它的涵義至今尚不能完全看透.

[1]丹齊克. 數(shù) 科學(xué)的語言[M]. 蘇仲湘，譯. 北京：商務(wù)印書館，1985:206.

[2]卡爾文.C.克勞森. 數(shù)學(xué)旅行家：漫游數(shù)學(xué)王國[M]. 袁向東， 袁均, 譯. 上海：上海教育出版社，2001:129.

[3]張湛. 列子注[M]//諸子集成(3). 上海：上海書店出版社，1986:55—56.

[4]郭金彬， 孔國平. 中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想史[M]. 北京：科學(xué)出版社，2005:5.

[5]阿基米得. 阿基米得全集[M]. 朱恩寬， 李文銘， 譯. 西安：陜西科學(xué)技術(shù)出版社，1998:223.

[6]伊萊.馬奧爾. 無窮之旅——關(guān)于無窮大的文化史[M]. 王前， 譯. 上海：上海教育出版社，2000:55—56.

[7]歐幾里德. 幾何原本[M]. 藍(lán)紀(jì)正， 朱恩寬， 譯. 臺(tái)北：九章出版社，2002:274.

[8]讓.迪厄多內(nèi). 當(dāng)代數(shù)學(xué) 為了人類心智的榮耀[M]. 沈永歡， 譯. 上海：上海教育出版社，1999:103.

[9]M.克萊因. 古今數(shù)學(xué)思想(第1冊(cè))[M]. 張理京， 張錦炎， 譯. 上海：上海科技出版社，1979:198.

[10]柏拉圖. 柏拉圖全集(第二卷)[M]. 王曉朝， 譯. 北京：人民出版社，2003:508—509.

[11]G.H.哈代. 一個(gè)數(shù)學(xué)家的辯白[M]. 李文林， 譯. 南京：江蘇教育出版社，1996:32.

[12]奧.斯賓格勒. 西方的沒落[M]. 陳曉林， 譯. 哈爾濱：黑龍江教育出版社，1988:64.

[13]戴維斯. 數(shù)[M]//M.克萊因. 現(xiàn)代世界中的數(shù)學(xué). 齊民友， 譯. 上海：上海教育出版社，2004：144.

Historical Perspective on the natural number and Unlimited Thought

GUO Long-xian, HU Xiao-fei

(School of Mathematics and Statistics, Zhaotong University, Zhaotong 657000, China)

The infinity, which is always the focus of poets, artists, philosophers, theologians and scientists, has a rich content and different expression forms in different mind area. Natural numbers raise some concepts, such as infinity and so on, and opened the gate of infinity of man cognition. There is the argument of mathematical philosophy between actual infinity and potential infinity, since we have different understanding on limitlessness of natural number sequence.

Natural numbers; Finite; Infinity; Actual infinity; Potential infinity

2016-08-05

郭龍先(1965— )，女，云南昭通人，教授，學(xué)士，主要從事代數(shù)學(xué)思想史研究.

O11

A

2095-7408(2016)05-0001-06