領(lǐng)悟“冪的運(yùn)算”中的數(shù)學(xué)思想方法

陳蘭

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領(lǐng)悟“冪的運(yùn)算”中的數(shù)學(xué)思想方法

陳蘭

冪的運(yùn)算是整式乘除法的重要組成部分，學(xué)習(xí)冪的運(yùn)算不僅是運(yùn)用其性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，領(lǐng)悟冪的運(yùn)算過(guò)程中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想更是學(xué)習(xí)過(guò)程中不可或缺的深層認(rèn)識(shí).巧用各類數(shù)學(xué)思想對(duì)解決有關(guān)問(wèn)題常有事半功倍的效果.

一、整體代入思想

例1已知2x+5y-4=0，求4x-1·32y的值.

【解析】4x-1·32y不是簡(jiǎn)單的同底數(shù)冪的乘法，另外指數(shù)x-1和y并沒(méi)有直接的值可以代入，由2x+5y-4=0可得2x+5y=4，故而想到可逆用冪的乘法法則轉(zhuǎn)化為以2為底的冪相乘的形式，然后整體代入求值.

解：由已知2x+5y-4=0，得2x+5y=4，

所以4x-1·32y=（22）x-1·（25）y=22x-2·25y= 22x-2+5y=22x+5y·2-2=24×2-2=22=4.

【點(diǎn)評(píng)】當(dāng)無(wú)法由已知條件直接求未知數(shù)的值時(shí)，可考慮整體代入的思想方法，在解決不同底數(shù)的代數(shù)式的求值時(shí)，關(guān)鍵將不同底化為同底，通過(guò)轉(zhuǎn)化會(huì)發(fā)現(xiàn)有整體代入的結(jié)構(gòu)，故而問(wèn)題迎刃而解.

二、方程解析思想

例2根據(jù)條件，求下列各式中x的值.

（1）已知33x-3=1，求x的值；

（2）已知23·（22）x=256，求x的值.

【解析】（1）方程的右邊是1，我們知道任何不等于0的數(shù)的0次冪等于1，從而有3x-3=0，知識(shí)點(diǎn)：a0=1（a≠0）.

（2）已知方程的左右兩邊不是同底數(shù)的冪，所以先考慮將它們轉(zhuǎn)化為同底數(shù)的冪，重新構(gòu)建新的等量關(guān)系，求出未知數(shù)的值.

解：（1）因?yàn)?3x-3=1，所以33x-3=30，則3x-3=0，解得x=1.

（2）因?yàn)?3·（22）x=256，所以23·22x=28，所以23+2x=28，則3+2x=8，解得x=2.5.

【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于同底數(shù)冪的乘法中的方程，關(guān)鍵是通過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃螌で蟮攘筷P(guān)系構(gòu)建出新的方程.

三、化歸轉(zhuǎn)變思想

例3已知xm=9，xn=6，xp=2，則xm+3p-2n的值.

【解析】本題的關(guān)鍵是利用同底數(shù)冪乘除法的性質(zhì)，把要求的式子xm+3p-2n轉(zhuǎn)化為與已知條件有關(guān)的形式，再分別代入求值.

解：解法1：xm+3p-2n=xm·x3p÷x2n=xm·（xp）3÷ （xn）2=9×23÷62=2；

解法2：由xn=6，得（xn）2=62=36，（xp）3= 23=8，所以xm+3p-2n=xm·（xp）3÷（xn）2=9×8÷36=2.

【點(diǎn)評(píng)】解法1是逆用同底數(shù)冪的乘除法性質(zhì)、冪的乘方性質(zhì)，將xm+3p-2n轉(zhuǎn)化為同底數(shù)冪的乘除的混合運(yùn)算，基本思想是從所求目標(biāo)出發(fā)回歸已知條件；解法2從已知條件出發(fā)構(gòu)造出求值式中的x3p，x2n，運(yùn)用同底數(shù)冪的乘除法性質(zhì)轉(zhuǎn)化求值式xm+3p-2n為xm·（xp）3÷（xn）2，基本思想是從已知條件轉(zhuǎn)化為所求目標(biāo).

變式1已知x3=m，x5=n，用含有m、n的代數(shù)式表示x19是多少.

【解析】由同底數(shù)冪的乘法的逆運(yùn)算可得x19=x9·x10，再由冪的乘方的逆運(yùn)算可得x9=（x3）3，x10=（x5）2，最后通過(guò)轉(zhuǎn)化后的結(jié)果代入求值.

解：x19=x9·x10=（x3）3·（x5）2=m3n2.

【點(diǎn)評(píng)】本題的關(guān)鍵在于表達(dá)形式的轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化后再運(yùn)用整體代入的思想.

變式2 已知9x+1-32x=72，求x的值.

【解析】本題左右兩邊是不同的形式，首先從形式上進(jìn)行化歸統(tǒng)一，兩邊都可以向底數(shù)為9上進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再結(jié)合方程的思想尋找相等關(guān)系式，求出未知數(shù)的值.

解：由9x+1-32x=72得（32）x+1-（32）x=72，9x+1-9x=9×8，9x（9-1）=9×8，9x=9，x=1.

變式3 已知2a=4，2b=6，2c=9，求a、b、c之間有什么樣的數(shù)量關(guān)系？

【解析】觀察4、6、9之間的聯(lián)系，不難發(fā)現(xiàn)4×9=36，故而可以建立2a、2b、2c三者之間的關(guān)系，通過(guò)關(guān)系式的代入轉(zhuǎn)化可得2a×2c= （2b）2，再運(yùn)用同底數(shù)冪的乘法和冪的乘方運(yùn)算得出關(guān)系.

解：因?yàn)?×9=36，所以2a×2c=（2b）2，所以2a+c=22b，所以a+c=2b.

【點(diǎn)評(píng)】本題對(duì)同學(xué)們通過(guò)尋找數(shù)量關(guān)系發(fā)現(xiàn)等量關(guān)系方面的要求有點(diǎn)高，僅僅從獨(dú)立的各式2a=4，2b=6，2c=9求不出a、b、c的值.

四、分類討論思想

例4（2m-7）m+3=1，求m的值.

【解析】我們知道-1的偶次冪等于1，1的任何次冪都等于1，還知道非零數(shù)的零次冪等于1，從而得出此題需要分情況討論：一是指數(shù)為0且底數(shù)不為0；二是底數(shù)為1指數(shù)為任何數(shù)；三是底數(shù)為-1指數(shù)為偶數(shù).

解：①當(dāng)m+3=0且2m-7≠0時(shí)，解得m=-3；

②當(dāng)2m-7=1時(shí)，m+3為任何數(shù)，解得m=4；

③當(dāng)2m-7=-1時(shí)，m+3為偶數(shù)，解得m=3.

綜上可知，m的值為-3、4、3.

【點(diǎn)評(píng)】涉及冪的乘方值為1的問(wèn)題時(shí)，同學(xué)們往往容易漏解，另外討論時(shí)要對(duì)相應(yīng)的解進(jìn)行條件的驗(yàn)證，關(guān)于1的偶、奇次冪，0次冪的問(wèn)題要理解到位，利用分類討論的思想考慮全各種可能情況，做到不重復(fù)、不遺漏.

（作者單位：江蘇省泰州實(shí)驗(yàn)中學(xué)）