漫談初中幾何直觀

江蘇省如皋市吳窯鎮(zhèn)吳窯初級(jí)中學(xué) 石明建

漫談初中幾何直觀

江蘇省如皋市吳窯鎮(zhèn)吳窯初級(jí)中學(xué) 石明建

幾何是初中數(shù)學(xué)的重要組成部分，建立幾何直觀是幾何教學(xué)的重要指向。幾何直觀需要從幾何與直觀兩個(gè)角度去建立理解；通過幾何直觀的培養(yǎng)，關(guān)注學(xué)生想象能力與思維能力的提升，是幾何直觀建立的關(guān)鍵；幾何直觀具有數(shù)與形的雙重特征。通過幾何直觀的建立，應(yīng)當(dāng)看到數(shù)學(xué)知識(shí)建構(gòu)背后的普遍意義。

初中幾何；幾何直觀；想象能力；思維能力；有效教學(xué)

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，強(qiáng)調(diào)幫學(xué)生建立良好的幾何直觀有著重要的意義。幾何直觀有兩個(gè)關(guān)鍵詞：一是幾何，顯然，這里所說的幾何基本上指的就是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中遇到的一些幾何圖形；二是直觀，這是一個(gè)心理學(xué)范疇的術(shù)語(yǔ)，有兩層含義——學(xué)生所能感覺到的幾何對(duì)象，以及在感覺基礎(chǔ)上對(duì)幾何對(duì)象形成的知覺結(jié)果，其中還包括一些數(shù)學(xué)思維的運(yùn)用等。由此可見，關(guān)注并培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀，其實(shí)是從表面與實(shí)質(zhì)兩個(gè)角度培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，顯然這是有效教學(xué)的重要組成部分。那么，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，如何理解并有效培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀呢？筆者對(duì)此進(jìn)行了梳理：

一、幾何直觀是培養(yǎng)學(xué)生的想象能力

提出這個(gè)觀點(diǎn)時(shí)，筆者起初也有一些遲疑。因?yàn)橹庇^更多地給人的感覺是直覺思維，其與學(xué)生的想象能力培養(yǎng)又有什么關(guān)系呢？可是在教學(xué)實(shí)踐中的一些事例，又不斷地讓筆者產(chǎn)生這樣的感覺。后來一加梳理，才發(fā)現(xiàn)幾何直觀與學(xué)生的想象能力及其培養(yǎng)之間的關(guān)系實(shí)在是十分的密切。

眾所周知，幾何研究的直接對(duì)象是“形”，而描述“形”的數(shù)學(xué)語(yǔ)言除了文字之外，其實(shí)就是數(shù)及數(shù)的關(guān)系。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，幾何內(nèi)容是怎樣呈現(xiàn)在學(xué)生的面前的呢？很簡(jiǎn)單，最直接的呈現(xiàn)就是實(shí)際物體（要演變成平面圖形），當(dāng)然也有一些不需要實(shí)體（教具）的呈現(xiàn)，因?yàn)檫@一類型的幾何特征實(shí)際上已經(jīng)為學(xué)生所熟悉，只要教師說出正方形，學(xué)生思維當(dāng)中就會(huì)迅速地出現(xiàn)正方形的表象，從而可以順利地進(jìn)行思維加工。但如果在新知識(shí)的學(xué)習(xí)中出現(xiàn)一些概念時(shí)，學(xué)生的直覺思維就跟不上，這個(gè)時(shí)候就需要想像能力的參與。

比如，在“平行線的性質(zhì)”學(xué)習(xí)中，有同位角、內(nèi)錯(cuò)角與同旁內(nèi)角等概念，由于是新學(xué)的概念，因此學(xué)生加工起來就不那么順利。這個(gè)時(shí)候如果借助于學(xué)生的想象能力，多利用平行線及這三個(gè)角的概念，讓學(xué)生不斷地重復(fù)這三個(gè)角在平行線中的某一個(gè)位置，一段時(shí)間之后就可以讓學(xué)生的思維更迅速地加工這些概念，并從中得出平行線的性質(zhì)等知識(shí)。

綜合地說，幾何直觀原本就是想象能力的產(chǎn)物，用課程標(biāo)準(zhǔn)解讀中的相關(guān)描述來說，“幾何直觀就是依托、利用圖形進(jìn)行數(shù)學(xué)的思考與想象”，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中如果時(shí)刻記住這樣的論述，會(huì)讓幾何知識(shí)的教學(xué)變得更為有序，更為科學(xué)。

二、幾何直觀是數(shù)形雙重特征的學(xué)習(xí)

在上一點(diǎn)的論述中，已經(jīng)點(diǎn)明了幾何直觀的建立實(shí)際上與數(shù)及形有著密切的關(guān)系，而這一點(diǎn)恰恰也是容易被教師所忽視的，相應(yīng)地如果教師不重視這一認(rèn)識(shí)，那學(xué)生自然就無法形成這樣的認(rèn)知，這對(duì)學(xué)生理解幾何知識(shí)的學(xué)習(xí)，對(duì)學(xué)生幾何直觀的形成是沒有好處的。

數(shù)學(xué)研究中早就有了一個(gè)共識(shí)，那就是“除了美術(shù)之外，只有數(shù)學(xué)學(xué)科，才將圖形當(dāng)成主要的研究對(duì)象”，而數(shù)學(xué)語(yǔ)言中最精確的語(yǔ)言就是數(shù)（這里的數(shù)是一個(gè)寬泛的概念，包括數(shù)字、符號(hào)以及數(shù)的運(yùn)算規(guī)則等）。事實(shí)上，如果在初中階段的幾何知識(shí)學(xué)習(xí)中建立全面的數(shù)與形的關(guān)系，對(duì)于學(xué)生將來建立向量等概念也極有好處。筆者曾經(jīng)跟高中數(shù)學(xué)教師做過交流，很多學(xué)生到了高中之后學(xué)習(xí)向量時(shí)常常手足無措，因?yàn)樵谒麄兊挠∠笾?，?shù)與形從來沒有以這樣的面目出現(xiàn)在一起。后來筆者就思考，如果在初中階段就滲透這樣的認(rèn)識(shí)，那學(xué)生在未來的數(shù)學(xué)知識(shí)建構(gòu)中就可以少一些困難。

因此，在初中幾何直觀建立的過程中，需要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到幾何圖形與數(shù)及數(shù)的運(yùn)算之間有著密切的關(guān)系，如現(xiàn)行數(shù)學(xué)教材中強(qiáng)調(diào)讓圖形動(dòng)起來，強(qiáng)調(diào)通過變換來幫學(xué)生建立幾何直觀，其實(shí)就已經(jīng)蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合的思想。至少，圖形的本身就是用數(shù)來描述的。

我們說幾何直觀具有數(shù)形的雙重特征，還有另一層思考，那就是這樣的界定對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維也有幫助。數(shù)學(xué)思維不是簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)邏輯運(yùn)算，數(shù)學(xué)思維更多的是以數(shù)學(xué)思想方法為魂，以數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容為血肉的整體。在幾何直觀建立的過程中，學(xué)生必然會(huì)借助于自己的思維去將具體事物抽象成圖形，進(jìn)而再用思維去加工圖形，并調(diào)動(dòng)原有認(rèn)知中數(shù)的關(guān)系去描述圖形。如果遇到了陌生的問題，還會(huì)嘗試去猜想、解釋等，而這又是一個(gè)運(yùn)用思維的過程?？偠灾瑤缀沃庇^由于其簡(jiǎn)潔性、直觀性，可以有效地調(diào)動(dòng)學(xué)生的思維參與到幾何數(shù)形關(guān)系的加工中來，可以培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。

三、由幾何直觀的相關(guān)論述思考教學(xué)

幾何直觀是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容，數(shù)學(xué)研究中對(duì)幾何直觀的論述可以說是相當(dāng)豐富的，這里既有數(shù)學(xué)家希爾伯特對(duì)幾何圖形的大加贊譽(yù)：圖形可以幫我們發(fā)現(xiàn)、描述研究的問題，可以幫我們尋求解決問題的思路；可以幫我們理解和記憶得到的結(jié)果。也有《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版）對(duì)幾何直觀核心地位的確定。筆者思考的是，作為一線普通數(shù)學(xué)教師，從中應(yīng)當(dāng)?shù)玫绞裁礃拥膯l(fā)呢？

細(xì)細(xì)思考后筆者至少可以確認(rèn)一點(diǎn)，那就是初中數(shù)學(xué)教學(xué)需要透過課本知識(shí)看到背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)，這個(gè)數(shù)學(xué)本質(zhì)可以是指向數(shù)學(xué)建模的，可以是指向數(shù)學(xué)邏輯的，也可以是指向數(shù)學(xué)思想方法的。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，透過數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，看到這些方面對(duì)學(xué)生成長(zhǎng)所具有的價(jià)值，可能才是借助于幾何直觀的研究以洞察數(shù)學(xué)教學(xué)本質(zhì)的應(yīng)當(dāng)具有的意義。

除此之外，對(duì)幾何直觀的認(rèn)識(shí)還讓筆者意識(shí)到，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，不僅是幾何知識(shí)的教學(xué)需要建立直觀，其實(shí)代數(shù)知識(shí)也是需要建立直觀的，盡管其沒有以一個(gè)專門的名稱出現(xiàn)，但類似于直覺思維的直觀，原本就應(yīng)當(dāng)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，只有當(dāng)學(xué)生對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用有一種直覺性的敏感時(shí)，才能較好地把握問題解決的方向。當(dāng)然，幾何本身也是運(yùn)用代數(shù)知識(shí)來解決的，將幾何與代數(shù)截然分開也沒有太大的必要，不過堅(jiān)持培養(yǎng)學(xué)生的直觀能力，肯定是數(shù)學(xué)教學(xué)的基本方向。

以上是筆者對(duì)初中數(shù)學(xué)教學(xué)中幾何直觀的有效建立的淺顯思考，不當(dāng)之處還請(qǐng)專家同行批評(píng)指正。

[1]孔凡哲，史寧中.關(guān)于幾何直觀的含義與表現(xiàn)形式——對(duì)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的一點(diǎn)認(rèn)識(shí)[J].課程.教材.教法，2012（7）：92-97.

[2]劉曉玫.對(duì)“幾何直觀”及其培養(yǎng)的認(rèn)識(shí)與分析[J]. 中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2012（z1）：23-25.