高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的分類討論策略

安徽省懷遠(yuǎn)一中高三（2）班　張逸凡

高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的分類討論策略

安徽省懷遠(yuǎn)一中高三（2）班張逸凡

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，解題策略對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)至關(guān)重要。其中分類討論思想扮演著重要角色，分類討論是一種數(shù)學(xué)邏輯方法，也是一種重要的數(shù)學(xué)思想。有關(guān)分類討論的數(shù)學(xué)命題在高考中也占有重要地位。所謂分類討論，顧名思義就是當(dāng)問題所給的對象不能統(tǒng)一研究時(shí)，就需要按某一標(biāo)準(zhǔn)將研究對象按某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，最后結(jié)合各類結(jié)果得到一個(gè)整體的答案。

一、把握高中數(shù)學(xué)分類思想目標(biāo)

分類討論是高中數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)與難點(diǎn)，想要真正掌握分類討論思想并不容易。對于分類討論思想一定要注意以下三方面：第一，明確引起分類討論的原因。只有知道了分類討論的原因，才有了目的性，才可以做到有的放矢，才可以更有效地去解題。引起分類討論的原因有許多種，比如概念、定理、法則、性質(zhì)等。第二，掌握準(zhǔn)確分類討論的方法。想要做到合理分類，那么在分類時(shí)一定要有個(gè)統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)，做到不重不漏。第三，注意分類討論結(jié)論的整合。分類思想需要具有一定的邏輯能力，對學(xué)生的分析、理解能力要求較高。在分類得到許多種結(jié)果后，我們要學(xué)會(huì)對結(jié)果進(jìn)行整合歸類，將答案清晰、規(guī)范地寫出來。

例如：設(shè)集合C=｛0，2，4，6，8｝，找出C的兩個(gè)非空子集分別設(shè)為A和B，如果要讓集合B中最小的數(shù)大于集合A中最大的數(shù)，那么有多少種不同的選擇方法？我們可以先來分析：據(jù)題意可知，需要滿足兩點(diǎn)條件（1）子集A和B非空（2）B中最小數(shù)大于A中最大的數(shù)，那么該如何實(shí)現(xiàn)這兩個(gè)條件呢？學(xué)生一看到這種比較繞的題目就頭疼，就不知所措。解決這種題最好的方法就是分類討論。我們可以這樣寫：①如果B中最小的數(shù)是2，那么在這種情況下A只有1種選法，即A=｛0｝，而B有8種選法，就是4、6、8三個(gè)數(shù)根據(jù)排列組合可以算出來所有的情況。②如果B中最小的數(shù)是4，那么在這種情況下A有3種選法。根據(jù)這種方法繼續(xù)算下去，可以得到最終結(jié)果為49。

二、落實(shí)高中數(shù)學(xué)分類討論應(yīng)用

分類討論是數(shù)學(xué)中一種重要的思想和解題方法，旨在考察我們思維的邏輯性、周密性和全面性。此類題綜合性強(qiáng)，難度大，同學(xué)們很難學(xué)以致用，很難將它真正運(yùn)用到解題過程中，而且在歷年高考題中也以壓軸題的形式出現(xiàn)，對學(xué)生能力的要求較高，具有很強(qiáng)的選拔性。因此，我們一定要將所學(xué)知識(shí)應(yīng)用到解題過程中。應(yīng)用分類討論有以下幾點(diǎn)原則：第一，分類中每一部分都是相互獨(dú)立的；第二，一次分類按一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)；第三，分類討論應(yīng)逐級有序進(jìn)行；第四，以性質(zhì)、公式、定理為使用的條件為標(biāo)準(zhǔn)分類。我們在解題時(shí)要牢記這幾個(gè)原則，熟能生巧，一定可以掌握分類討論的方法。

例如：設(shè)k∈N，求滿足不等式|m|+|n|＜k的整數(shù)解組的（m，n）解集。先分析：一看這種題就比較復(fù)雜，我們可以把k看作參數(shù)，那么整數(shù)解的組數(shù)與k有關(guān)，設(shè)它為g（k），先討論特殊情況，探索規(guī)律，大膽作出猜想，再想辦法證明。當(dāng)k=1時(shí)，有解（0，0），即g（1）=1；當(dāng)k=2時(shí)，有解（0，0），（0，±1），（±1，0），即g（2）=1+4=5；當(dāng)k=3時(shí)，有解（0，0），（0，±1），（0，±2），（±1，0），（±1，±1），（±2，0），即g（3）=1+4+4×2；當(dāng)k=4時(shí)，有解（0，0），（0，±1），（0，±2），（0，±3），（±1，0），（±1，±1），（±2，0），（±3，0），（±1，±2），（±2，±1），即g（4）=1+4+4×2+4×3。我們猜想：g（k）=1+4×1+4×2+…+4（k－1）=1+2k（k－1）。由此也能得出遞推式g（k）=g（k－1）+4（k－1）。

三、突出高中數(shù)學(xué)分類討論簡捷

我們都知道，當(dāng)數(shù)學(xué)題中出現(xiàn)多個(gè)參數(shù)時(shí)，如果我們不用分類討論方法的話，那我們一會(huì)就把自己繞進(jìn)去了，就像走迷宮一樣，很難再出來，最后結(jié)果肯定是不了了之，解不出來這道題。所以說分類討論是一種可以把數(shù)學(xué)題簡化的方法，邏輯性很強(qiáng)，我們學(xué)生學(xué)會(huì)這種方法不僅僅是為了應(yīng)付高考，而且它會(huì)對以后生活中思考問題、處理問題的方式產(chǎn)生巨大影響。

例如：設(shè)f（a）=a10－a5+a2－a+1，求證：對于一切實(shí)數(shù)a，都有f（a）＞0。還是先進(jìn)行分析：我們很容易會(huì)聯(lián)想到指數(shù)函數(shù)（x）=ax，然后可以結(jié)合它的單調(diào)性進(jìn)行證明，而函數(shù)f（x）=ax的單調(diào)性與它的底數(shù)a有關(guān)，所以又要分類討論。①當(dāng)a＜0時(shí)，a的偶次冪為正，奇次冪為負(fù)。f（a）=a10+（－a）5+a2+（－a）+1≥1，即f（a）＞0。②當(dāng)a=0或a=1時(shí)，即f（a）=10。③當(dāng)a＞1時(shí)，指數(shù)函數(shù)f（x）=ax為增函數(shù)，顯然，a10＞a5，a2＞a，所以f（a）=（a10－a5）+（a2－a）+1＞1。④當(dāng)0＜a＜1時(shí)，指數(shù)函數(shù)f（x）=ax為減函數(shù)，顯然，a5＜a2，所以f（a）=a10+（a2－a5）+（1－a）＞0。綜上所述，對于一切實(shí)數(shù)a，都有f（a）＞0。

思想的形成，方法的掌握才能使我們真正受益，才能培養(yǎng)我們的探索能力，自我創(chuàng)新能力和綜合能力。在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，分類討論思想是一種比較重要的數(shù)學(xué)思想，通過不斷練習(xí)和總結(jié)，我們才能夠有從量變到質(zhì)變的提升。這樣，也才會(huì)不斷提高我們對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣，從而培養(yǎng)思維的縝密性，取得好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績。