二階切觸有理插值算子的構(gòu)造方法

馬錦錦

(安徽建筑大學(xué)數(shù)理學(xué)院，安徽　合肥　230601)

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二階切觸有理插值算子的構(gòu)造方法

馬錦錦

(安徽建筑大學(xué)數(shù)理學(xué)院，安徽合肥230601)

[摘要]通過引入二階插值算子，給出了一種較為簡便的構(gòu)造切觸有理插值的新方法和一個新型的切觸有理插值公式.如果用該方法所得到的插值函數(shù)次數(shù)較高，還可以通過引入多個參數(shù)的方法，對所構(gòu)造的有理插值函數(shù)進(jìn)行降次.該方法比常用的連分式方法更為簡便易行，具有較高的實用價值.

[關(guān)鍵詞]二階插值算子；切觸有理插值；降次；參數(shù)；連分式

已有的切觸有理插值研究方法大多是基于連分式的方法[1-3].這些方法運算量較大，并且運算也會受到特定條件的限制，不便于實際操作.因此，本文引入二階插值算子，給出一種較為簡便的構(gòu)造切觸有理插值的新方法.

首先討論切觸有理插值問題.

定義1切觸有理插值[4]

l=0,1,…,sk-1

k=0,1,…,m

切觸有理插值理論與應(yīng)用是有理逼近領(lǐng)域的核心構(gòu)成部分，是計算數(shù)學(xué)中最引人關(guān)注的課題.切觸有理插值是對一般有理插值的推廣[4]，類似多項式插值中的Hermite插值[5].盡管切觸有理插值比一般有理插值形式復(fù)雜，但應(yīng)用性更強(qiáng)，在量子力學(xué)、量子場論、原子和分子物理、控制論和數(shù)值分析等領(lǐng)域都有非常廣泛的應(yīng)用.

1構(gòu)造切觸有理插值算子

傳統(tǒng)方法構(gòu)造的切觸有理插值比一般有理插值形式復(fù)雜，在應(yīng)用過程中帶來很多不便，比如結(jié)構(gòu)繁瑣、計算量大.為了克服這些缺點，本節(jié)利用多項式插值來構(gòu)造插值基函數(shù)，引入一種新型的二階插值算子，用于構(gòu)造切觸有理插值函數(shù).如果所構(gòu)造的切觸有理插值次數(shù)較高，我們可以通過引入?yún)?shù)的方法，將所構(gòu)造的切觸有理插值函數(shù)的分子分母同時降低次數(shù).由于本節(jié)所構(gòu)造的切觸有理插值可以通過多次降次來化簡，給出形式較為簡潔的低次切觸有理插值，因而在實際應(yīng)用中可以大大地減少計算量.

步驟1：給出用于構(gòu)造插值基函數(shù)的多項式插值.

構(gòu)造多項式插值如下：

對于給定的x0

wk(x)=(x-x0)…(x-xk-1)(x-xk+1)

…(x-xm),

(1)

以上所構(gòu)造的多項式插值wk(x)滿足

1)

wk(xs)=0,

k≠s,k,s=0,1,…,m.

2)

這種多項式插值的特性有助于插值基函數(shù)的構(gòu)造.

步驟2：構(gòu)造插值基函數(shù)

(2)

其中

Q(x)=[w0(x)]2+…+[wk(x)]2+

(3)

以上所構(gòu)造的插值基函數(shù)αk(x)滿足

1)

(4)

k,s=0,1,2,…,m.

2)

(5)

k,s=0,1,2,…,m.

通過這種方法給出的插值基函數(shù)形式簡潔，規(guī)律性強(qiáng)，便于構(gòu)造切觸有理插值.

步驟3：引入二階插值算子，構(gòu)造切觸有理插值函數(shù).

給定x0

給出二階插值算子為

pk(x)=f(xk)+f′(xk)(x-xk)

+f″(xk)(x-xk)2

(6)

(k=0,1,2,…,m)

則(6)式滿足

pk(xk)=f(xk)，

p(l)(xk)=f(l)(xk)

(7)

(l=0,1,2)

用以上構(gòu)造的二階插值算子，給出插值公式如下：

(8)

(8)式即為利用二階插值算子所構(gòu)造的插值公式.

經(jīng)過驗證

R(l)(xs)=f(l)(xs)

(9)

l=0,1,2.

(8)式中所構(gòu)造的切觸有理插值函數(shù)結(jié)構(gòu)簡單，且應(yīng)用無條件制約.而傳統(tǒng)的連分式方法計算必須先假定計算中每一步的可行性，如分母是零的情況不會出現(xiàn)，而實際計算前根本無法判定.本節(jié)給出的新型切觸有理插值構(gòu)造法很好地避免了連分式方法的這一缺點.

例1給出節(jié)點以及相應(yīng)的函數(shù)值、導(dǎo)數(shù)值如下：

x0=1，f(x0)=0，f′(x0)=1，f″(x0)=2；

x1=0，f(x1)=1，f′(x1)=2，f″(x1)=3；

x2=2，f(x2)=2，f′(x2)=0，f″(x2)=1.

解由 (6) 式可求二階插值算子

p0(x)=0+(x-1)+2(x-1)2

p1(x)=1+2(x-0)+3(x-0)2

p2(x)=2+0(x-2)+1(x-2)2

由(1)、(2)、(3)式知

通過 (7) 式可求出

(10)

經(jīng)過驗證

R(l)(xs)=f(l)(xs)，l=0,1,2，s=0,1,2.

(10)式中的切觸有理插值函數(shù)R(x)是我們通過引入二階插值算子得到的有理插值函數(shù).從上述實例中可以看出，本文給出的切觸有理插值構(gòu)造方法思路簡單、清晰，構(gòu)造的切觸有理插值函數(shù)形式較為簡潔，且其應(yīng)用并不像連分式方法一樣的約束條件，因此應(yīng)用范圍廣，具有較高的應(yīng)用價值.

我們也可以對所構(gòu)造的切觸有理插值函數(shù)進(jìn)行降階，給出普遍適用的降階方法.用這種降階方法可以靈活地引入?yún)?shù)，降低所構(gòu)造的切觸有理插值函數(shù)分子分母的次數(shù)，也可以通過該降階方法，連續(xù)多次對插值函數(shù)進(jìn)行降階，得到次數(shù)符合應(yīng)用需求的切觸有理插值函數(shù).

步驟4：引入?yún)?shù)，給出降低切觸有理插值函數(shù)分子分母次數(shù)的一般方法.

給定節(jié)點x0

(11)

滿足插值條件

R(l)(xs)=f(l)(xs)，l=0,1,2.

例2對例1中用二階插值算子構(gòu)造的有理分式函數(shù)R(x)進(jìn)行降次.

解

由(11)式知

令2β0+3β1+β2=0，將有理分式進(jìn)行降次，則β0=-2,β1=1,β2=1.

故得

(12)

上式中，分子次數(shù)為5次、分母次數(shù)為2次，而(10)式中所構(gòu)造的原始插值函數(shù)的分子次數(shù)為6次、分母次數(shù)為4次，通過該方法實現(xiàn)了降次.可以通過多次降階的途徑得到滿足應(yīng)用需求的切觸有理插值函數(shù).由于該方法可以靈活地降低切觸有理插值函數(shù)的次數(shù)，故其應(yīng)用范圍很廣.我們可以將本文所構(gòu)造的切觸有理插值用于模糊控制和估計復(fù)雜系統(tǒng)的可靠性中，利用切觸有理插值新方法建立新型插值控制算法.這種算法下的控制器具有設(shè)計簡單、不需要選擇具體隸屬函數(shù)、不需要過多的專家經(jīng)驗等好處，可以得到很好的控制效果，在實際生產(chǎn)中有更大的靈活性和更高的應(yīng)用價值.

2結(jié)論

(12)式中降階所得有理分式比(10)式中原始切觸有理插值函數(shù)的分子分母次數(shù)明顯降低.這充分說明了上述通過引入?yún)?shù)實現(xiàn)對有理函數(shù)分子、分母進(jìn)行降次的方法是十分有效和實用的，而且操作方便，計算量不大.

本文通過引入二階插值算子，給出的構(gòu)造切觸有理插值函數(shù)方法比常用的連分式方法更為簡便易行，給出的插值公式也較為實用.我們也可以將這種思想方法繼續(xù)推廣，給出高階的插值算子，用于解決更為復(fù)雜的切觸有理插值問題.本文所給出的切觸有理插值構(gòu)造的新方法由于結(jié)構(gòu)簡潔，降階規(guī)律性強(qiáng)，需要的計算量較小，因此在模糊控制論[6]、圖像壓縮與重建、有理曲線和曲面生成以及復(fù)雜系統(tǒng)性能評估等領(lǐng)域都有較高的應(yīng)用價值[7].

[參考文獻(xiàn)]

[1]王仁宏，朱功勤. 有理函數(shù)逼近及其應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社，2004.

[2]MAINAR E，PENA P M. A basis of C-Bezier splines with optimal properties[J].Computer Aided Geometric Design，2012，19(4):291-295.

[3]WANG G Z，CHEN Q Y，ZHOU M H. NUATB-spline curves[J].Computer Aided Geometric Design，2004，21 (2):193-205.

[4]朱功勤,馬錦錦.構(gòu)造切觸有理插值的一種方法[J].合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2006，29(10) :1320-1326.

[5]陳之兵. Salzer定理的二元向量形式[J]. 數(shù)學(xué)研究評論，2003，23(2):233-236.

[6]史健，黃麗，李中夫.模糊控制與插值[J].四川大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2009，12(5):646-650.

[7]楊文光，趙海良. 基于樣條插值的模糊控制算法[J]. 模糊系統(tǒng)與控制，2009，23(3):152-157.

(責(zé)任編輯穆剛)

A method of constructing bivariate osculatory rational interpolating operator

MA Jinjin

(College of Mathematics & Physics, Anhui Jianzhu University, Hefei Anhui 230601, China)

Abstract：In this paper, osculatory rational interpolating function was constructed by a new method of introducing bivariate interpolating operator. For osculatory rational interpolating function that we had constructed, we could reduce its number of times by choosing parameters. Existing methods of constructing osculatory rational interpolating function were almost related to calculation of continued fractions. But the feasibility of their algorithms was conditional and they needed a large amount of calculation. This new method in this paper was fairly simple and had immense application foreground.

Key words：bivariate interpolating operator; osculatory rational interpolation; deflation; parameter; continued fractions

[中圖分類號]O174.42

[文獻(xiàn)標(biāo)志碼]A

[文章編號]1673-8004(2016)02-0037-03

[作者簡介]馬錦錦(1981-)，女，安徽臨泉人，講師，碩士，主要從事應(yīng)用數(shù)值逼近方面的研究.

[基金項目]安徽省高等學(xué)校省級自然科學(xué)研究項目(KJ2013B067).

[收稿日期]2015-07-30