一種基于超混沌系統(tǒng)的圖像加密算法

趙亞慧，楊　有，翟　浩

(重慶師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息科學(xué)學(xué)院， 重慶　沙坪壩　401331)

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一種基于超混沌系統(tǒng)的圖像加密算法

趙亞慧，楊有，翟浩

(重慶師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息科學(xué)學(xué)院， 重慶沙坪壩401331)

[摘要]文章針對(duì)目前混沌圖像加密算法密鑰空間小的問(wèn)題，提出一種基于超混沌系統(tǒng)的圖像加密算法.該算法的主要思想是利用兩組不同的初始值產(chǎn)生兩組不同的隨機(jī)序列，然后對(duì)數(shù)字圖像進(jìn)行加密.加密算法主要分為兩部分：首先利用隨機(jī)序列對(duì)圖像像素進(jìn)行置亂，其次將置亂后的矩陣?yán)秒S機(jī)序列進(jìn)行像素值替代.實(shí)驗(yàn)結(jié)果以及安全性分析表明：該算法具有較大的密鑰空間，較低的相鄰像素相關(guān)性，并且能夠有效抵御窮舉攻擊和統(tǒng)計(jì)攻擊.

[關(guān)鍵詞]超混沌系統(tǒng)；圖像加密；像素置亂；像素值替代

信息安全越來(lái)越引起人們的注意.目前已經(jīng)有數(shù)字水印、信息加密、信息隱藏[1]等，密碼學(xué)中圖像加密領(lǐng)域也逐漸被人們關(guān)注并得到深入研究.自1989年Robert A. J. Matthews首次提出將混沌應(yīng)用于密碼學(xué)以來(lái)，由于混沌系統(tǒng)其自身對(duì)初值和系統(tǒng)參數(shù)的敏感性以及偽隨機(jī)性而廣泛應(yīng)用到圖像加密中.此后，低維混沌系統(tǒng)得到了廣泛使用[2,3].雖然這些低維混沌系統(tǒng)具有形式簡(jiǎn)單、運(yùn)行效率高的優(yōu)點(diǎn)，但密鑰空間太小，使用窮舉攻擊破解難度不大[4].高維混沌系統(tǒng)有更大的密鑰空間，實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，隨機(jī)性更好，能夠更有效地抵御相空間重構(gòu)、窮舉攻擊等破譯方法[5].同時(shí)，高維混沌中的四維混沌系統(tǒng)也就是超混沌系統(tǒng)，擁有兩個(gè)以上正的Lyapunov指數(shù)，正的Lyapunov指數(shù)越多，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌跡越復(fù)雜、越難以預(yù)測(cè)，對(duì)初始條件也越敏感，在加密中使用超混沌系統(tǒng)，更能提高系統(tǒng)的安全性.

隨著現(xiàn)代計(jì)算機(jī)系統(tǒng)性能的提高，研究超混沌圖像加密越來(lái)越重要.盧輝斌[6]等人提出了一種基于新型超混沌系統(tǒng)的加密算法.該算法在總體上沿用像素位置置亂和像素值替代的基本結(jié)構(gòu)，但只有一輪加密替代操作，復(fù)雜度不高.文獻(xiàn)[7]和文獻(xiàn)[8]發(fā)現(xiàn)缺陷并分別進(jìn)行改進(jìn).文獻(xiàn)[9]提出一種圖像置亂與置換的方案，方案中使用與明文圖像信息相關(guān)的序列進(jìn)行置亂替換，并使加密公式的密文和密鑰、明文之間的關(guān)系更復(fù)雜.但是，由于計(jì)算機(jī)的精度有限，影響了混沌隨機(jī)序列的隨機(jī)特性，使得產(chǎn)生的混沌序列的初值敏感性降低，存在一定的周期，并且混沌密碼的安全性很大程度上依賴(lài)于混沌序列的分布特性、復(fù)雜性和隨機(jī)性.因此，在本文的加密方案中采用兩組不同的初值，使用同一混沌系統(tǒng)以及系統(tǒng)參數(shù)來(lái)進(jìn)行迭代，將得到的兩組隨機(jī)序列交叉使用，并將像素的置亂與明文信息相關(guān)聯(lián)，增強(qiáng)了明文對(duì)密鑰的敏感性.理論分析以及實(shí)驗(yàn)仿真證明：通過(guò)該算法加密后的密文、明文和密鑰之間的關(guān)聯(lián)度非常低，擁有較大的密鑰空間，使算法能夠抵抗選擇明文和選擇密文的攻擊，具有良好的安全性，同時(shí)算法實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，也具有較高的執(zhí)行效率.

1 超混沌系統(tǒng)加密算法

1.1超混沌系統(tǒng)

本文采用的超混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為[10]：

(1)

1.2像素位置置亂

數(shù)字圖像是一個(gè)由灰度值組成的二維矩陣，通過(guò)對(duì)原圖像矩陣進(jìn)行一系列的非線(xiàn)性變換，使得圖像中的像素點(diǎn)重新隨機(jī)排列，得到一幅雜亂無(wú)章的圖像.雖然從統(tǒng)計(jì)直方圖來(lái)看，原圖像和新圖像的統(tǒng)計(jì)規(guī)律完全相同，但從視覺(jué)效果來(lái)看完全不同，從而起到圖像加密的作用.

設(shè)數(shù)字圖像為PM×N，圖像大小為M×N，P(i,j)(i=1,2,…，M；j=1,2,…，N)表示圖像像素的灰度值.像素矩陣可以表示為：

(2)

Step1:算法中將給出兩組初始值(x10,x20,x30,x40)，(y10,y20,y30,y40)作為密鑰，分別使用四階五級(jí)龍格-庫(kù)塔函數(shù)迭代n0次，n0與初始條件及系統(tǒng)參數(shù)有關(guān).得到兩組混沌序列，分別設(shè)為{xi(j)}，{yi(j)}(i=1,2,3,4;j=1,2,…,n0).為消除暫態(tài)過(guò)程帶來(lái)的有害效應(yīng)，增強(qiáng)算法對(duì)初始密鑰的敏感性，將兩組序列分別保留后M個(gè)和N個(gè)值作為混沌序列，得到兩組序列{ai(j) , i=1,2,3,4; j=1,2,…,M}，{bi(j) , i=1,2,3,4; j=1,2,…,N}.

Step2: 計(jì)算原圖像所有像素灰度值的和，得到sumP，并計(jì)算如下值：

s=sumP?16

(3)

(a)在(x1,x2)平面的投影；(b)在(x1,x3)平面的投影；

為了選取兩個(gè)序列分別進(jìn)行行置亂和列置亂，我們?cè)O(shè)對(duì)應(yīng)關(guān)系如下：若s=0，選取序列{a1(j)}, {b1(j)}；若s=1，選取序列{a1(j)}, {b2(j)}；若s=2，選取序列{a1(j)}, {b3(j)}；若s=4，選取序列{a1(j)}, {b4(j)}等.s∈[0,5]，因此共16個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系.最后，將得到的兩個(gè)序列分別進(jìn)行升序排序，將排序后新的向量中值的位置組成位置編號(hào)序列，并使用這兩個(gè)位置編號(hào)序列分別對(duì)原圖像矩陣P進(jìn)行行的置亂和列的置亂，最終得到置亂后的矩陣Q.

原圖像矩陣經(jīng)過(guò)以上算法的像素置亂，不僅降低了相鄰像素之間的相關(guān)性，并且將圖像像素的置亂與原圖像信息緊密相關(guān)，提高了密文對(duì)明文的敏感性.但為了進(jìn)一步加強(qiáng)算法的安全性，改變圖像的灰度直方圖，使算法更能抵抗統(tǒng)計(jì)攻擊，還需要進(jìn)行圖像像素值替代.

1.3圖像像素?cái)U(kuò)散

圖像像素值的擴(kuò)散是將冗余度高、相關(guān)性強(qiáng)的明文信息作用到密文中，以便隱藏明文的統(tǒng)計(jì)信息.為了達(dá)到擴(kuò)散替代的效果，本文使用置亂后的圖像Q，進(jìn)行以下算法來(lái)提高安全性.

Step1:將置亂后的圖像矩陣Q按逐行掃描順序得到的像素序列為{Q(i)，i=1,2,…,L}，其中L=M×N.將系統(tǒng)迭代得到的兩組序列{xi(j)}，{yi(j)}分別取后L/4個(gè)，假設(shè)L為4的倍數(shù)，得到序列

{mi(j),i=1,2,3,4;j=1,2,…,L/4 }，

{ni(j),i=1,2,3,4;j=1,2,…,L/4}.

Step2:將序列{mi(j)}，{ni(j)}組合成四組序列：{m1(j),n3(j),m2(j),n4(j)}，{n1(j),m3(j),n2(j),m4(j)}，{m1(j),n1(j),m2(j),n2(j)}，{n3(j),m3(j),n4(j),m4(j)}.選定一組序列作為密鑰，將選定序列的組數(shù)設(shè)為k.若k=3，則首先選定第三組，并將該組序列的第一組狀態(tài)值加入序列L1中，此時(shí)L1={m1(0),n1(0),m2(0),n2(0)}，并繼續(xù)計(jì)算如下k的值：

k=(m1(0)+n1(0)+m2(0)+n2(0))mod4

(4)

若計(jì)算得到k=0，則選取第一組序列中的第2組狀態(tài)值加入序列L1，即L1={L1,m1(1),n3(1),m2(1),n4(1)}，以此類(lèi)推，通過(guò)計(jì)算i的值來(lái)決定下一組要加入序列L1的狀態(tài)值.最終直至L1的長(zhǎng)度為L(zhǎng).

Step3:將四組序列中沒(méi)有加入L1的狀態(tài)值，按照組數(shù)依次組成序列L2，序列L2的長(zhǎng)度也為L(zhǎng).

Step4:由于超混沌系統(tǒng)迭代得到實(shí)值序列的數(shù)值類(lèi)型與數(shù)字圖像的像素值類(lèi)型不匹配，不能直接用于圖像的加密.因此，算法中將使用(5)式對(duì)序列L1，L2中的狀態(tài)值進(jìn)行改造：

Li(j)=mod(fix(abs(Li(j)-floor(Li(j)))

*10^15),256)

(5)

其中：i= 1,2 ；j= 1,2，…，L.函數(shù)abs(Li(j))表示取Li(j)的絕對(duì)值，函數(shù)floor(Li(j))表示取小于或等于Li(j)的最大整數(shù)，函數(shù)fix()表示將得到的結(jié)果向零靠攏取整，最終Li(j)將得到[0,255]之間的整數(shù).

Step5:將改造后的序列L1，L2對(duì)圖像像素值進(jìn)行異或操作.已知原圖像像素序列{D(i),i=1，…，L}，加密后的像素序列為{C(i),i=0，…，L}，首先將C(0)設(shè)定一個(gè)[0,255]的值作為密鑰，并由下面公式計(jì)算得到q的值：

(6)

若q=0，則使用公式(7)對(duì)像素D(i)進(jìn)行替代操作，得到加密后的像素值C(i).

C(i)=D(i)?L1(i)?C(i-1)

(7)

若q=1，則使用公式(8)對(duì)像素D(i)進(jìn)行替代操作，得到加密后的像素值C(i).

C(i)=D(i)?L2(i)?C(i-1)

(8)

Step6:重復(fù)以上步驟，直到所有像素都加密完成，最終將得到的序列{C(i)}轉(zhuǎn)化為M×N的矩陣，便得到加密后的圖像.

在以上的像素替代中，首先對(duì)兩組隨機(jī)序列值進(jìn)行處理，使序列值的數(shù)值類(lèi)型不僅能夠用于圖像像素的加密，并且將兩組由不同初始值產(chǎn)生的隨機(jī)序列按照一定規(guī)則重新進(jìn)行交叉組合，使最終得到兩組新的序列增加了對(duì)密鑰的敏感性，有效地增強(qiáng)了算法的安全性.

圖像的加密一定對(duì)應(yīng)圖像的解密，解密過(guò)程就是加密的逆過(guò)程.加密過(guò)程先對(duì)原圖像進(jìn)行像素置亂，然后進(jìn)行像素的擴(kuò)散和替代，而解密是先對(duì)密文進(jìn)行反替代，再將反替代后的密文進(jìn)行反置亂.首先已知本算法在進(jìn)行加密時(shí)所需的加密密鑰，并將密鑰中的兩組初始值使用本算法中的超混沌系統(tǒng)進(jìn)行迭代得到兩組序列，然后將密文進(jìn)行(9)式和(10)式的反替代

D(i)=C(i)?L1(i)?D(i-1)

(9)

D(i)=C(i)?L2(i)?D(i-1)

(10)

將反替代后的矩陣再分別進(jìn)行列的反置亂和行的反置亂，最終得到原圖像.

2實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

在實(shí)驗(yàn)仿真中，采用經(jīng)典的大小為256×256的8位圖像“cameraman”，如圖2(a)所示.

(a)原圖像　　　　　(b)置亂后圖像

(c)加密后圖像　　　　　(d)解密后圖像

作為測(cè)試圖像，使用Matlab7.1作為仿真實(shí)驗(yàn)平臺(tái).在本算法中，對(duì)超混沌系統(tǒng)進(jìn)行迭代所需的兩組狀態(tài)初始值分別設(shè)為(x10,x20,x30,x40) =(2.5，5.2，3.0，7.3)，(y10,y20,y30,y40) =(3.0，6.0，3.5，6.8).為了使系統(tǒng)處于超混沌狀態(tài)，將系統(tǒng)參數(shù)設(shè)為：a=27.5，b=3，c=19.3，d=2.9，e=3，并將在計(jì)算過(guò)程中使用的四階五級(jí)龍格-庫(kù)塔函數(shù)的步長(zhǎng)，也就是函數(shù)的迭代次數(shù)，設(shè)置為0.001，其它參數(shù)C(0)=86，k=2.

2.1加密效果分析

通過(guò)設(shè)置以上參數(shù)，將算法運(yùn)行在Matlab中得到以下實(shí)驗(yàn)結(jié)果，如圖2所示.其中圖2(a)為原圖像“cameraman”， 圖2(b)為圖像像素置亂后的圖像，圖2(c)為最終加密后的圖像，圖2(d)為解密后的圖像.通過(guò)對(duì)圖2(a)、圖2(b)和圖2(c)進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)圖像在進(jìn)行像素置亂后成為與原圖像完全不同的圖像，并且在進(jìn)行像素混亂后加密的效果更加明顯，直觀上來(lái)說(shuō)，無(wú)法從加密后的圖像中獲取原圖像的任何信息.

2.2統(tǒng)計(jì)分析

圖像的灰度直方圖描述了圖像中像素值的分布情況，是圖像的重要統(tǒng)計(jì)特性.圖3(a)為原圖像的灰度直方圖.可以看出，圖像像素分布極不均勻，而一個(gè)好的加密方案應(yīng)該消除圖像的這種統(tǒng)計(jì)特性，使加密后的圖像能夠抵御統(tǒng)計(jì)方法的攻擊.經(jīng)過(guò)本算法加密后圖像的灰度直方圖如圖3(b).可以看出，加密后圖像的像素分布非常均勻，因而本算法能有效地抵抗統(tǒng)計(jì)攻擊.

圖3　加密前后圖像直方圖

2.3相關(guān)性分析

由于圖像本身固有的特性，使得圖像中相鄰像素之間存在很大的相關(guān)性，包括水平像素相關(guān)性、垂直像素相關(guān)性和對(duì)角像素相關(guān)性，而攻擊者常常利用這種特性進(jìn)行統(tǒng)計(jì)攻擊，好的加密算法應(yīng)該打破這種相關(guān)性，借助概率論的相關(guān)系數(shù)來(lái)衡量相鄰像素的相關(guān)性，相關(guān)系數(shù)rxy的定義如下：

(11)

(12)

(13)

(14)

圖4　圖像垂直相關(guān)性

方向原始圖像密文圖像Lena密文文獻(xiàn)[6]Lena密文水平0.9291-0.0021 0.00230.0064垂直0.9599-0.00400.00330.0084對(duì)角0.90600.0108-0.00200.0107

2.4密鑰敏感性測(cè)試

一個(gè)好的加密方案應(yīng)該對(duì)密鑰有很高的敏感性，當(dāng)輸入一個(gè)錯(cuò)誤的密鑰，不論與正確密鑰值的誤差有多小，得到解密后的圖像都應(yīng)該與明文有很大的差別，并且不能從錯(cuò)誤密鑰解密后的圖像中得到原圖像的任何信息.錯(cuò)誤解密后的圖像與原圖像差別大小可以通過(guò)像素變化率NPCR來(lái)進(jìn)行計(jì)算：

(15)

其中，M×N為圖像大小，D(i,j)為一個(gè)二值矩陣.假如C1和C2為兩個(gè)大小為M×N的圖像矩陣，當(dāng)C1(i,j) = C2(i,j)，則D(i,j)=0；當(dāng)C1(i,j) ≠ C2(i,j)，則D(i,j)=1.對(duì)于本系統(tǒng)的密鑰敏感度將進(jìn)行多輪測(cè)試，其中每一輪都將微小改變正確密鑰組中的一個(gè)參數(shù).例如:將x10設(shè)置為x10=2.500 000 000 000 01，與x10相差1014倍，進(jìn)行解密后的圖像如圖5.

(a)正確解密圖像　　(b)錯(cuò)誤解密圖像

通過(guò)直觀對(duì)比正確解密后的圖像和錯(cuò)誤解密后的圖像，可以發(fā)現(xiàn)差別很大，并且通過(guò)(15)式計(jì)算可知：錯(cuò)誤解密后圖像與原圖像之間的NPCR值為99.6428﹪，而對(duì)于256級(jí)的灰度圖像，NPCR理想期望值為99.6049﹪[8].文獻(xiàn)[11]在密鑰誤差相同的情況下，正確解密圖像與錯(cuò)誤解密圖像之間的NPCR為99.615﹪.通過(guò)對(duì)比可以看出，本文算法加密的圖像對(duì)密鑰初值更加敏感.最終我們通過(guò)分析發(fā)現(xiàn)，錯(cuò)誤的密鑰是無(wú)法得到原圖像信息的.當(dāng)對(duì)其他密鑰進(jìn)行相應(yīng)改變時(shí)，也得到同樣的結(jié)論，因而表明該加密方案可以抵抗基于敏感性的攻擊.

2.5密鑰空間和執(zhí)行效率分析

窮舉攻擊是對(duì)加密系統(tǒng)進(jìn)行攻擊的最基本的方法之一.它主要是通過(guò)對(duì)加密系統(tǒng)的密鑰空間進(jìn)行大量的搜索，希望通過(guò)這種手段得到密鑰從而達(dá)到破解密碼系統(tǒng)的目的.為了能夠抵御這種攻擊方法，加密方案就要有足夠大的密鑰空間.本算法中的密鑰有：超混沌系統(tǒng)的4個(gè)初始值(a,b,c,d)，共需要兩組，微分方程的步長(zhǎng)n0，選定的序列值k，密文像素值C(0)，其中k的取值范圍為[1，4]，C(0)的取值范圍為[0，255].本系統(tǒng)設(shè)置的精度為10-15，則8個(gè)超混沌初始值的密鑰空間為(1015)8=10120≈2398，相當(dāng)于二進(jìn)制的398比特密鑰長(zhǎng)度.若將系統(tǒng)預(yù)迭代的次數(shù)n0、正整數(shù)k和正整數(shù)C(0)也作為原始密鑰,則算法密鑰空間更大，足夠抵御窮舉攻擊.

本系統(tǒng)運(yùn)行的硬件環(huán)境為IntelCorei7-2640M2.80GHz的CPU，4G內(nèi)存，使用Matlab7.1作為仿真實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，操作系統(tǒng)為Windows7.將圖像大小為256×256的“cameraman”圖像運(yùn)行在以上環(huán)境中，經(jīng)過(guò)測(cè)試，圖像加密的平均時(shí)間為0.361s.將文獻(xiàn)[6]的算法運(yùn)行在同樣的計(jì)算機(jī)環(huán)境下，并使用同樣的數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，得到的加密平均時(shí)間為0.796s.可見(jiàn)，本文的加密算法具有較高的加密效率.文獻(xiàn)[6]算法中對(duì)像素置亂的過(guò)程中要首先對(duì)隨機(jī)序列進(jìn)行預(yù)處理增加了算法的時(shí)間復(fù)雜度.

3結(jié)論

本文提出一種基于超混沌系統(tǒng)的加密方案，方案中使用兩組初始值產(chǎn)生兩組隨機(jī)序列，兩組初始值共有8個(gè)密鑰值，使系統(tǒng)有更大的密鑰空間，并且由混沌系統(tǒng)產(chǎn)生隨機(jī)、無(wú)周期的實(shí)數(shù)序列.由于計(jì)算機(jī)精度的影響，使單混沌序列會(huì)存在一定的周期，因此在像素置亂和像素替代中，采用一定的規(guī)則將迭代得到的雙混沌序列交叉使用，不僅緩解了由于計(jì)算機(jī)精度帶來(lái)的混沌序列的周期性問(wèn)題，而且增加了密文對(duì)密鑰的敏感度.經(jīng)過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)分析，該算法擁有足夠大的密鑰空間，對(duì)密鑰極其敏感，加密后的圖像相鄰像素之間相關(guān)性極低，能夠抵御來(lái)自窮舉方法的攻擊和統(tǒng)計(jì)方法的攻擊.因此，該算法不僅加密效果好，而且具有很高的安全性.

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(責(zé)任編輯穆剛)

Image encryption based on hyperchaotic system

ZHAO Yahui， YANG You，ZHAI Hao

(College of Computer and Information Sciences, Chongqing Normal University, Shapingba Chongqing 401331， China)

Abstract：For the current chaotic image encryption algorithm key problem of small space, proposed a image encryption algorithm based on hyperchaotic system. The main idea is to use two different groups of initial values produce two different random sequence, and encryption of digital image. Encryption algorithm is divided into two parts, first, use the random sequence to scrambled the image pixel, then use the random sequence to replace the pixel for the matrix scrambled. The experiment result indicates that the algorithm has a larger key space, a lower correlation of adjacent pixels, a strong resist ability of exhaustive attack and statistic attack.

Key words：hyperschaotic system; image encryption; pixel scrambling; pixel values substitution

[中圖分類(lèi)號(hào)]TP312

[文獻(xiàn)標(biāo)志碼]A

[文章編號(hào)]1673-8004(2016)02-0130-06

[作者簡(jiǎn)介]趙亞慧(1990-)，女，河南周口人，碩士，主要從事圖像加密方面的研究.

[基金項(xiàng)目]重慶市教育委員會(huì)科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目(KJ130646)；重慶師范大學(xué)橫向科研項(xiàng)目(60102-000232).

[收稿日期]2015-05-19