Banach空間上分?jǐn)?shù)階積分微分方程的可解性與可控性

高媛

（蘭州交通大學(xué)數(shù)理學(xué)院，甘肅　蘭州　730070）

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Banach空間上分?jǐn)?shù)階積分微分方程的可解性與可控性

高媛

（蘭州交通大學(xué)數(shù)理學(xué)院，甘肅蘭州730070）

摘要：研究了Banach空間上一類具有非局部初始條件的分?jǐn)?shù)階積分微分方程的可解性與可控性。借助合適的不動(dòng)點(diǎn)定理，本論述建立了適度解的存在性和可控性條件，變換非局部柯西問題（1）為等效的積分方程，并且通過使用阿爾澤拉-阿斯科利定理和Krasnoselskii不動(dòng)點(diǎn)定理獲得積分微分方程（1）的適度解。同時(shí)構(gòu)建合適的控制函數(shù)，討論了滿足非局部初始條件的一類抽象積分微分發(fā)展方程（2）的可控性，最后舉例論證了定理2.1的一個(gè)簡(jiǎn)單應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：非局部條件；積分微分方程；適度解；可控性

DOI10.3969/j.issn.1672-6375.2016.02.022

0　引言

早在1993年，Miller和Ross就提出了分?jǐn)?shù)階的積分和微分[1]。之后，Podlubny又對(duì)分?jǐn)?shù)階微分方程做了詳盡介紹[2]。此外，分?jǐn)?shù)階微分方程的相關(guān)發(fā)展也包括：文獻(xiàn)[3]研究了二階中立性積分微分方程解的存在性，[4]則研究了脈沖微分方程與積分微分方程解的存在性,在此基礎(chǔ)上，[5]研究了脈沖偏微分方程適度解的存在性。但是在實(shí)際的問題和數(shù)學(xué)模型中，受局部條件和非局部條件的限制，文獻(xiàn)[6]的主要結(jié)論是不能被應(yīng)用的。本論述第三部分在文獻(xiàn)[12]的基礎(chǔ)上，討論了形式如

滿足非局部初始條件[8]的一類抽象分?jǐn)?shù)階積分微分方程的可解性，其中是階Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，x(·)在Banach空間X上取值，A是解析算子族的無窮小生成元，設(shè)，f，g是下文合適定義的函數(shù)，。

可控性[9]是數(shù)學(xué)控制理論的基本概念之一，可控性理論在有限和無限維系統(tǒng)中都扮演重要的角色，從[10]中可以發(fā)現(xiàn)諸多學(xué)者在研究無限維積分微分方程的可控性的同時(shí)也指出了隨機(jī)微分方程的可控性。最近，分?jǐn)?shù)階微分方程的可控性變得越來越活躍了，[11]在研究分?jǐn)?shù)階發(fā)展方程的完全可控性時(shí)所采用的技巧是分?jǐn)?shù)階積分解算子的性質(zhì)和不動(dòng)點(diǎn)原理。受上面文獻(xiàn)的啟發(fā)和激勵(lì)，為了更進(jìn)一步，本論述第三部分也研究了形式如

具有非局部初始條件的一類抽象分?jǐn)?shù)階積分微分發(fā)展方程的可控性，滿足條件：是階Caputo導(dǎo)數(shù)，x(·)在Banach空間X上取值。由L2（J,U）獲得控制函數(shù)u(·)，滿足U是一個(gè)Banach空間。B是一個(gè)從U到 X的有界線性算子，A是解析算子族的無窮小生成元。設(shè)，f，g是下文合適定義的函數(shù)。本論述通過使用適度解一個(gè)更普遍的概念，建立了方程（2）的可控性條件。

1　預(yù)備知識(shí)

本節(jié)介紹了貫穿全文的符號(hào)、定義、注釋、引理，并且給出了方程（1）適度解[7]的定義，最后給出了證明主要結(jié)果用到的假設(shè)。

設(shè)C（J，X）是從J到X的連續(xù)函數(shù)的Banach空間，滿足范數(shù)

設(shè)B（X）表示從X到X的有界線性算子的Banach空間。

一個(gè)可測(cè)函數(shù)x:J→X是Bochner積分[13]，當(dāng)且僅當(dāng)是勒貝格可積的。

設(shè)L1（J，X）表示連續(xù)函數(shù)x:J→X（其中x是Bochner可積的）的Banach空間，滿足對(duì)于所有的x∈L1（J，X），范數(shù)

L（X）表示從X到它自身的所有有界線性算子的空間，D（A）表示A的定義域，ρ（A）表示A的預(yù)解集。是一致有界線性算子緊解析半群的無窮小生成元，且設(shè)0∈ρ（A），R（λ，A）=（λI-A）-1代表A的預(yù)解算子。

定義1.1.[2]下限為a的p階分?jǐn)?shù)階積分定義為：

定義1.2.[2]p（p＞0）階黎曼-劉維爾導(dǎo)數(shù)定義為：

定義1.3.下限為a的p階Caputo導(dǎo)數(shù)定義為：

如果f是X上取值的抽象函數(shù)，則定義1.1，1.2中的積分在Bochner意義下是可以取值的。

注釋1.1.假設(shè)J?R和1≤p≤∞，對(duì)于可測(cè)函數(shù)m:J?R，定義范數(shù)

定義1.4.一個(gè)算子稱為是扇形的，假如存在常數(shù)，且M＜0，使得A的預(yù)解存在于扇形的外部，滿足

注釋1.2.研究α（0＜α＜1）階Caputo導(dǎo)數(shù)發(fā)展方程的柯西問題，形式如下：

注釋1.3.[14]假如是模型（1.1）的一個(gè)解算子，則

現(xiàn)在我們討論模型（1）適度解的定義。

根據(jù)定義1.1和1.2，在方程（1.2）積分存在的條件下，變換非局部柯西問題（1）為如下等效的積分方程

引理1.2.假設(shè)方程（1.2）成立，且A是一個(gè)扇形算子，則有

滿足

引理1.4.[1]如果以及，則對(duì)于任意的t>0，有

引理1.6.（Krasnoselskii不動(dòng)點(diǎn)定理）設(shè)E是一個(gè)Banach空間，令B是E的一個(gè)有界閉凸子集。設(shè)F1與F2是B到E的壓縮，使得對(duì)于每一個(gè)x，y∈B，有F1x+ F2y∈B，如果F1是壓縮的，F(xiàn)2是完全連續(xù)的，則方程F1x+F2y＝x在B上有一個(gè)解。

定義1.6.函數(shù)x:J→X稱為是方程（1）的適度解，假設(shè)x滿足如下方程

其中

注釋1.5.假設(shè)在方程（1）中產(chǎn)生一個(gè)C0-半群，則得到

定義1.7.方程（1）稱為是在J上可控的，假如對(duì)于每一個(gè)，存在一個(gè)控制函數(shù)，使得方程（1）的一個(gè)適度解x滿足x（b）=x1.

本節(jié)給出如下的假設(shè)：

顯然，若果(H2)成立，那么下面的假設(shè)成立：

(H6)映射t→Kt從J到是連續(xù)的，此處

2　可解性與可控性結(jié)果

滿足的條件下，方程（1）在J上有一個(gè)適度解。

為了使如下過程更清楚，分幾步證明。

由壓縮γ＜1得到k0＞0,使得對(duì)于，有

由壓縮γ＜1,獲得Λ＜1,這暗示Γ是一個(gè)壓縮映射。

步驟三.Γ2是一個(gè)完全連續(xù)的算子,也分幾步證明

首先,證明Γ2在上是連續(xù)的。對(duì)于,設(shè).由（H’2），當(dāng)n→∞,得到g（xn）→g（x）進(jìn)一步得到

這暗示Γ2是連續(xù)的。

定理2.2如果(H1-H2),(H4-H6)是滿足的，則在和

滿足的條件下，方程（2）在J上是可控的。

可以得到控制函數(shù)ux（t）．通過

證明使用控制函數(shù)ux（t），算子Γ在C（J，X）上有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)x，這個(gè)不動(dòng)點(diǎn)是方程（2）的一個(gè)適度解。顯然，這意味著ux在有限時(shí)滯b上控制著從x0到x1的適度解x，這暗示了方程（2）在J上是可控的。

由方程（1.4），得到

因此，Γ是一個(gè)壓縮映射，并且有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)x*∈C（J，X），所以此x*是方程（2）的一個(gè)適度解，因此方程（2）在J上是可控的．證明完畢。

3　應(yīng)用舉例

此處舉例討論了定理2.1的一個(gè)簡(jiǎn)單應(yīng)用，研究了形式為

的分?jǐn)?shù)階偏積分微分方程，滿足?αt是階Caputo分?jǐn)?shù)階偏導(dǎo)數(shù)，f是已知函數(shù)，

所得到的，所以（H4）是滿足的。

因此由定理2.1，如果（H1-H6）是滿足的，則方程（1）在[0，b]上是可解的．證明完畢。

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作者簡(jiǎn)介：高媛（1988-），女,漢族，甘肅張掖人，在讀研究生，主要研究方向：分?jǐn)?shù)階積分微分方程的可解性。

收稿日期：2015-12-25

中圖分類號(hào)：O175

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A