擬牛頓信賴域法在非線性狀態(tài)估計中的應用

黃石，馮蒙霜

(1.國網泰州供電公司，江蘇 泰州 225300；2.國網蘇州供電公司，江蘇 蘇州 215000)

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擬牛頓信賴域法在非線性狀態(tài)估計中的應用

黃石1，馮蒙霜2

(1.國網泰州供電公司，江蘇 泰州 225300；2.國網蘇州供電公司，江蘇 蘇州 215000)

摘要：提出一種基于擬牛頓信賴域法的電力系統(tǒng)非線性狀態(tài)估計法。用擬牛頓法構造海森矩陣，雖然只利用了目標函數的一階導數信息和目標函數值信息，但由于保證了正定條件和擬牛頓條件，比解析求得海森矩陣更高效穩(wěn)定。用信賴域法代替原來的線搜索方法求解下降方向和步長，減少了算法的計算時間。通過對多個節(jié)點系統(tǒng)的仿真測試，驗證了該算法的有效性。

關鍵詞：電力系統(tǒng); 狀態(tài)估計; 非線性; 擬牛頓法; 信賴域法

電力系統(tǒng)狀態(tài)估計作為能量管理系統(tǒng)(energy management system，EMS)的重要組成部分，在電力系統(tǒng)運行、控制和安全評估等方面發(fā)揮了很重要的作用[1-3]。狀態(tài)估計問題的提出激發(fā)了學者們的研究興趣，并提出了一系列的算法[4-12]，總體分為兩大類型：一種是卡爾曼型逐次算法，該類算法優(yōu)點是使用內存最少，對節(jié)點注入型量測具有一定的適應能力，程序簡單，缺點是收斂速度慢，計算時間長，估計質量差，這些問題隨著電力系統(tǒng)規(guī)模增大和節(jié)點注入型量測量的增多變得更加嚴重，故不實用；一種是高斯型最小二乘法的總體算法，該類算法通常將目標函數進行泰勒一階線性展開，即當成線性模型來處理，忽略模型的非線性程度，最基本解法是加權最小二乘(weighted least squares，WLS)狀態(tài)估計法。文獻[13]采用雙一次項展開方法，考慮了泰勒級數的二階項，提出了一種非線性最小二乘法，并應用到狀態(tài)估計的求解中，表明了該方法的可行性。文獻[14]將阻尼最小二乘法用于狀態(tài)估計的計算中，表明該方法的計算速度優(yōu)于WLS，其原理也是考慮了二階項的計算，故考慮非線性的狀態(tài)估計算法也是一個值得研究的課題。

對于二階項的求解，學者們通過研究提出了擬牛頓法[15-16]，其思想是根據一階導數信息和目標函數值信息近似構造二階項，避免二階項的直接計算。但傳統(tǒng)的擬牛頓法通常采用線搜索方法求目標函數的下降方向和步長，計算時間隨著計算規(guī)模的增大相應地延長。信賴域法[17-21]是非線性優(yōu)化領域重要的研究方向，與線搜索方法相比，信賴域法思路新穎、可靠性高、收斂性強。文獻[22-23]分別給出了信賴域法在電力系統(tǒng)無功優(yōu)化、廣域阻尼控制器參數協調等方面的應用實例，應用結果說明該方法的收斂性和穩(wěn)定性均較好。但信賴域法是局部尋優(yōu)問題，為了保證算法能有更好的全局收斂性，本文將擬牛頓法與信賴域法結合，使算法有更強的總體收斂性。

本文旨在提出一種基于擬牛頓信賴域法的非線性狀態(tài)估計法。采用擬牛頓法根據一階導數信息和目標函數值信息近似構造二階偏導數項(海森矩陣)，避免海森矩陣的直接計算。采用信賴域法代替原來的線搜索規(guī)則求目標函數的下降方向和步長，保證算法的全局收斂性，減少算法的計算時間。算例測試表明本文算法的估計結果可靠，在收斂性能和數值計算穩(wěn)定性方面優(yōu)勢明顯。

1WLS狀態(tài)估計的數學模型

WLS狀態(tài)估計的量測方程為：

(1)

狀態(tài)估計就是求使目標函數J(x)達到最小值時x的值。

(2)

式中w為量測量z的m維權重向量。

(3)

式中：H為量測函數的雅克比矩陣；k為迭代次數；xk為第k次修正后的狀態(tài)量。

2基于擬牛頓信賴域法的非線性狀態(tài)估計模型

本節(jié)將非線性狀態(tài)估計的目標函數變?yōu)?/p>

(4)

將f(x)在K處進行泰勒二階展開，可得：

(5)

式中：qk(sk)為f(x)的泰勒二階展開表達式；sk=x-xk；gk為f(xk)的一階導數矩陣；Gk為f(xk)的二階導數矩陣。

(6)

式(6)即為非線性狀態(tài)估計的迭代方程。

本文采用擬牛頓法求得Gk，即給定一個初始矩陣D0(通常取單位陣E)，然后根據一階導數信息和目標函數值信息不斷修正D0，得到跟Gk近似度極高的矩陣，即

(7)

式中Dk為D0第k次修正后得到的矩陣。

式(6)中的gk表示為

(8)

求解Dk的擬牛頓修正公式有很多，最有效的是BFGS(BroydenFletcherGoldfarbShanno)修正公式，本文采用新的BFGS修正公式(式(9)、式(10))求解Dk，即：

(9)

(10)

其中：

(11)

(12)

(13)

式(9)、(10)中Dk+1為Dk經過修正后得到的矩陣。

在第k次迭代求得sk后，第k+1次的狀態(tài)量xk+1通常以線性搜索確定：

(14)

式中λk為最優(yōu)步長。

精確線性搜索為

(15)

由于其不能在有限步內完成，在實際過程中可采用不精確搜索，即λk滿足以下的條件：

(16)

式中：σ1∈(0，0.5)，σ2∈(σ1，1)。

隨著計算規(guī)模的變大，不精確搜索的搜索時間也相應地延長，故本文采用信賴域法代替求解下降方向和步長。

在信賴域法中，要求目標函數f(x)在xk的試探步sk必須在信賴域hk內，即每次迭代的試探步滿足以下的條件：

(17)

為了選擇合適的Rk，定義一個衡量q(k)(sk)逼近f(x)的量

(18)

于是基于擬牛頓信賴域法的非線性狀態(tài)估計計算步驟如下。

c)計算f(xk+sk)和q(k)(sk)，并根據式(18)求ρk。

d)計算信賴域半徑Rk+1。

③不在上述兩種情況時則在原來的信賴域半徑內搜索，即Rk+1=Rk。

e)求xk+1和Dk+1。如果ρk≤0，令xk+1=xk，由式(10)求解Dk+1；如果ρk>0，令xk+1=xk+sk，由式(9)求解Dk+1，轉步驟a)。

對于線性方程組Ax=b，如果A的條件數大，b的微小改變就能引起解x較大的改變，數值穩(wěn)定性差；如果A的條件數小，b有微小的改變，x的改變也微小，數值穩(wěn)定性好。條件數事實上表示矩陣計算對于誤差的敏感性。

在WLS中，A對應于HTwH，在本文算法中，A對應于HTwH+D，本文在算例中將通過計算HTwH、HTwH+D以及文獻[14]所提阻尼最小二乘法中A所對應的矩陣的條件數來比較WLS、本文算法以及阻尼最小二乘法的數值計算穩(wěn)定性。

3算例分析

為了驗證本文方法的相關性能，對多個節(jié)點系統(tǒng)進行了仿真計算。狀態(tài)量和量測量的真值通過潮流計算得到，量測數據為真值加上不同標準差的白噪聲所得，收斂精度設為10-5。

3.1算法估計的可靠性測試

為了驗證本文算法估計的可靠性，對IEEE 57、IEEE 118節(jié)點系統(tǒng)進行仿真計算，在加不同標準差的白噪聲下將本文算法與WLS的計算結果與真值進行比較，得到的結果見表1、表2，衡量標準采用式(19)、(20)：

(19)

(20)

表1IEEE 57節(jié)點系統(tǒng)的估計結果

標準差衡量項目WLS本文算法0.001S12.36×10-52.36×10-5S21.78×10-51.76×10-50.005S13.56×10-53.58×10-5S22.78×10-52.78×10-50.010S16.25×10-56.24×10-5S27.58×10-47.56×10-4

表2　IEEE 118節(jié)點系統(tǒng)的估計結果

由表1、表2可以看出，本文方法對兩個不同節(jié)點數、不同標準差下的計算結果與WLS幾乎趨于一致，隨著標準差的增加，本文方法的估計結果精度的數量級始終穩(wěn)定在10-5～10-4，表明本文方法的估計結果可靠有效。

3.2算法的收斂性能測試

3.2.1擬牛頓法采用線搜索規(guī)則與采用信賴域法的迭代速度比較

為了驗證擬牛頓法采用線搜索規(guī)則和信賴域法兩種不同策略下的迭代速度，對IEEE 14、IEEE 57和IEEE 118節(jié)點系統(tǒng)加標準差0.001的白噪聲，將兩種不同策略下擬牛頓法收斂需要的迭代次數進行比較，得到的結果見表3。

表3兩種不同策略下的迭代次數比較

節(jié)點系統(tǒng)迭代次數方法1方法2IEEE14103IEEE57113IEEE118113

注：采用線搜索規(guī)則記為方法1，采用信賴域法記為方法2。

由表3可以看出，方法1的迭代次數遠遠多于方法2，方法2的迭代次數相比方法1最高減少了72.73%，表明擬牛頓法采用信賴域法的迭代速度明顯快于采用線搜索規(guī)則。

3.2.2本文算法與幾種求解非線性最小二乘問題的經典方法的收斂速度比較

為了驗證本文所提算法的收斂速度，對上述節(jié)點系統(tǒng)加不同標準差的白噪聲，將分別采用擬牛頓法、WLS、阻尼最小二乘法(L-M法)以及本文算法收斂需要的迭代次數和迭代時間進行比較，得到的迭代次數比較結果見表4，迭代時間比較結果見表5。

表4　4種不同方法的迭代次數比較

注：擬牛頓法記為方法1，WLS記為方法2，L-M法記為方法3，本文算法記為方法4。

由表4可以看到，方法3和方法4的迭代次數最少，方法1的迭代次數最多。方法4優(yōu)于方法3且對于不同標準差的迭代次數相比WLS均較少，尤其當標準差為0.010時，本文算法相比WLS的迭代收斂次數減少了40%。同時本文算法對于不同節(jié)點數、不同標準差的迭代次數始終穩(wěn)定在3次，收斂迭代次數趨于穩(wěn)定。4種方法的迭代次數比較：方法1>方法2>方法3>方法4。

表54種不同方法的迭代時間比較

節(jié)點系統(tǒng)標準差迭代時間/s方法1方法2方法3方法4IEEE140.0010.11120.00910.00680.00520.0050.14220.01450.01230.00620.0100.16010.01620.01480.0073IEEE570.0011.23210.22510.15250.12520.0051.25340.24620.17520.13620.0101.28010.26220.18330.1425IEEE1180.0013.53421.28341.08750.97560.0053.60211.30351.12050.98520.0103.65811.40531.25200.9998

注：擬牛頓法記為方法1，WLS記為方法2，L-M法記為方法3，本文算法記為方法4。

由表5可以看到，方法1的計算時間較長，方法3是在方法2的基礎上的改進算法，其計算速度快于方法2，方法4優(yōu)于方法3且對于不同標準差的計算時間相比WLS均較短，計算時間也趨于相同，與表4中的迭代次數所反映的情況一致。4種方法的計算速度比較：方法4>方法3>方法2>方法1。

3.3算法的數值計算穩(wěn)定性測試

條件數代表矩陣計算對誤差的敏感性，對于狀態(tài)估計，如果信息矩陣的條件數偏小，則代表算法的數值計算穩(wěn)定性能較好。對IEEE 57、IEEE 118節(jié)點系統(tǒng)分別加不同標準差的白噪聲，將本文算法與WLS、L-M法最后一次迭代信息矩陣的條件數進行比較，得到的結果見表6。由表6可以看出，方法3和方法2的數值計算穩(wěn)定性趨于一致。方法3對于不同標準差的信息矩陣條件數相比方法1減少了90%以上，最高減少了97.02%，表明本文算法的數值計算穩(wěn)定性優(yōu)于WLS，究其原因是充分考慮了非線性項的計算。

表63種不同方法的信息矩陣條件數比較

節(jié)點系統(tǒng)標準差信息矩陣條件數方法1方法2方法3IEEE570.0015.21×1082.12×1071.89×1070.0052.53×1082.45×1072.41×1070.0102.56×10101.42×1091.30×109IEEE1180.0016.75×1081.75×1071.72×1070.0052.49×1081.31×1071.22×1070.0108.87×10104.35×1094.29×109

注：WLS記為方法1，L-M法記為方法2，本文算法記為方法3。

3.4實際電網測試

為驗證本文方法在實際算例中的效果，對我國華東某省網進行狀態(tài)估計，將本文方法與WLS的狀態(tài)估計結果進行比較，結果見表7。由表7可知，本文方法合格率與WLS基本一致，但在計算時間上僅為WLS的78%，驗證了本文方法在實際算例中的速度優(yōu)勢。

表7兩種方法實際電網合格率比較

方法合格率/%計算時間/sWLS95.443.7250本文方法95.572.9055

4結束語

本文提出一種基于擬牛頓信賴域法的非線性狀態(tài)估計法。采用擬牛頓法根據一階導數信息和目標函數值信息近似構造海森矩陣，避免海森矩陣的直接計算。采用信賴域法代替原來的線搜索規(guī)則求目標函數的下降方向和步長，減少算法的計算時間。算例測試表明本文算法的估計結果可靠，在收斂速度和數值計算穩(wěn)定性方面均優(yōu)于WLS和其他同類算法。

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黃石(1986)，男，江蘇泰州人。助理工程師，工學碩士，研究方向為電力系統(tǒng)分析與控制。

馮蒙霜(1989)，女，江蘇蘇州人。助理工程師，工學碩士，研究方向為電力系統(tǒng)分析與控制。

(編輯彭艷)

Application of Quasi-Newton Trust Region Method in Nonlinear State Estimation

HUANG Shi1, FENG Mengshuang2

(1.State Grid Taizhou Power Supply Company, Taizhou, Jiangsu 225300,China; 2.State Grid Suzhou Power Supply Company, Suzhou, Jiangsu 215000, China)

Abstract：A kind of nonlinear state estimation method based on quasi-Newton trust region method is proposed. Quasi-Newton method is used to construct Hessian matrix. Although it only uses first-order derivate information and numerical information of the target function, but due to ensuring positive definition and quasi-Newton condition, the Hessian matrix acquired by using quasi-Newton method is more highly stable than that acquired by using analytical method. It is able to reduce calculating time of the algorithm by using trust region method instead of line search method to solve descent direction and step size. Simulating testing on multiple node systems verifies effectiveness of this algorithm.

Key words：power system; state estimation; nonlinear; quasi-Newton; trust region method

作者簡介：

中圖分類號：TM73；F426.61

文獻標志碼：A

文章編號：1007-290X(2016)02-0070-06

doi:10.3969/j.issn.1007-290X.2016.02.014

收稿日期：2015-06-07修回日期：2015-10-29