非負(fù)矩陣譜半徑的估計(jì)

魏國(guó)祥

（四川職業(yè)技術(shù)學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)系,四川 遂寧 629000）

非負(fù)矩陣譜半徑的估計(jì)

魏國(guó)祥

（四川職業(yè)技術(shù)學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)系,四川 遂寧 629000）

討論了非負(fù)矩陣譜半徑（或Perron根）的相關(guān)性質(zhì)，得到其譜半徑的一個(gè)上下界.

非負(fù)矩陣，譜半徑，Perron根，上下界估計(jì)

1 預(yù)備知識(shí)

非負(fù)矩陣?yán)碚撛跀?shù)值分析、信號(hào)圖像分析、組合分析、概率統(tǒng)計(jì)、動(dòng)態(tài)規(guī)劃等領(lǐng)域都有著極為廣泛的應(yīng)用[1-2]，對(duì)非負(fù)矩陣譜半徑（或Per ron根）的估計(jì)更是非負(fù)矩陣?yán)碚摰暮诵膯栴}之一[3-7].設(shè)A為非負(fù)矩陣，則A必有一模最大非負(fù)特征值ρ，且ρ對(duì)應(yīng)的特征向量X亦非負(fù)，該特征值ρ即矩陣A的譜半徑（或Per ron根），本文均記為ρ(A).關(guān)于非負(fù)矩陣Per ron根的上下界，以下結(jié)論是熟知的[2]：

2 主要結(jié)果

定理仍然成立.

②若A可約，可能y1,y2都大于零，或y1=0或y2=0，但兩者不可能同時(shí)為零.都大于零的情況同上.若y1=0，則x1= =xk，由（7）有ρ≤r22，若y2=0，則xk+1= =xn，由（6）有ρ≤r11，定理成立.

類似的，我們可得到非負(fù)不可約矩陣Per ron根的一個(gè)下界.

定理3設(shè)A為非負(fù)矩陣，對(duì)任意正整數(shù)k(1＜k＜n)，令

證明設(shè)Per ron根ρ（A）=ρ對(duì)應(yīng)的非負(fù)特征向量為X，對(duì)給定的任意某個(gè)正整數(shù)k(1＜k＜n)，將AX=ρX的前k個(gè)方程相加，后n-k個(gè)方程相加可得

從而（10）成立.

②若A可約，可能兩者都大于零，或Y1=0或Y2=0，但兩者不可能同時(shí)為零.都大于零的情況同上.若Y1=0，則X1= =Xk=0，由（11）有s12=0.若y2=0,則Xk+1= =Xn=0，同樣由（11）有S21=0，此時(shí)

定理成立，證畢.

[1]黃廷祝，鐘守銘，李正良.矩陣?yán)碚揫M].北京:高等教育出版社,2004.

[2]詹興致.矩陣論[M].北京:高等教育出版社,2008.

[3]H.Minc.Nonnegativemat rices[M],Wiley,NewYork,1988:11-19,24-36.

[4]A.Ost rowski,Bounds for the Greatest latent root of a Posit ive Mat rix[J],J.LondonMath.Soc.,1952,(27):253-256.

[5]A.Brauer,I.C.Gent ry.Bounds for theGreatest Character ist ic Root of an Inreducible Nonnegative Matrix[J],Linear Algebra Appl.,1974,(8):105-107.

NewBounds for the Spect ral Radiusof Nonnegative Matrices

WEI Guoxiang
(Sichuan Vocat ional and Technical Col lege,Suining Sichuan629000)

The purpose of this paper is to discuss the bound for the spectral radius (or Perron root) of nonnegative matrices. A new bound is obtained for the spectral radius of nonnegative matrices.

Nonnegative Matrices; Spectral Radius;Perron Root;Bound Estimation

O151.2

A

1672-2094(2016)06-0149-03

責(zé)任編輯：張隆輝

2016-08-25

魏國(guó)祥（1971-），男，四川遂寧人，四川職業(yè)技術(shù)學(xué)院講師。研究方向：基礎(chǔ)數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)教育。