一類二次微分系統(tǒng)的分段光滑擾動

李志鵬

(浙江師范大學 數(shù)理與信息工程學院, 浙江 金華 321004)

?

一類二次微分系統(tǒng)的分段光滑擾動

李志鵬

(浙江師范大學 數(shù)理與信息工程學院, 浙江 金華 321004)

摘要：考慮了一類平面二次微分系統(tǒng)在分段二次多項式擾動下的極限環(huán)個數(shù)問題.利用一階Melnikov函數(shù), 證明了從該系統(tǒng)的周期環(huán)域可以分支出 5 個極限環(huán)的結(jié)論.該結(jié)果表明分段二次多項式擾動此類二次微分系統(tǒng)比其相應的二次多項式擾動可多產(chǎn)生 3 個極限環(huán)

關(guān)鍵詞：極限環(huán); 不變曲線; 一階Melnikov函數(shù); 分段光滑系統(tǒng).

0引言及主要結(jié)果

考慮平面系統(tǒng)

(1)

P(x,y),Q(x,y)是n次多項式, C(x,y)是m次多項式,且C(0,0)≠0. 當ε=0時,C(x,y)=0是(1)的不變代數(shù)曲線.在區(qū)域Ω={(x,y)|C(x,y)≠0}內(nèi),系統(tǒng) (1) 等價系統(tǒng)為近Hamilton系統(tǒng)

(2)

當ε=0時, 系統(tǒng)(2)有一族閉軌Lh={(x,y)|H(x,y)=x2+y2=h,h∈(0,+∞)}.

對于系統(tǒng)(1)的分支現(xiàn)象, 最近十幾年探究的比較多, 然而對于分段光滑微分系統(tǒng)

還知之甚少.我們先討論C(x,y)=1+x.

考慮如下分段光滑二次微分系統(tǒng)

(3)

其中

易知未擾系統(tǒng)(3)在x>0和x≤0時具有相同的首次積分H(x,y)=x2+y2.

文獻[7]考慮了平面分段近Hamilton系統(tǒng)

(4)

其中0<ε≤1, H±,f±,g±∈C∞. 對系統(tǒng)(4), 我們作出以下假設(shè)：

(H1) 存在區(qū)間J=(h1,h2), 系統(tǒng)(4)ε=0有一族順時針周期軌道

L(h):H(x,y)=h,h∈J.

(H2) 各周期軌道交y軸于不同的兩點A(h)=(0,a(h))和A1(h)=(0,b(h)), 這里a(h)>0, b(h)<0.

在假設(shè)(H1)和(H2)下, 根據(jù)文獻[7]中的定理1.1和文獻[8]中的引理2.2, 可以得出系統(tǒng)(4)的一階Melnikov函數(shù)

(5)

2定理1的證明

在證明定理1之前, 我們先給出一個引理.

引理1[9]如果函數(shù)F1,F2,…,Fn在實數(shù)R上是線性無關(guān)的, 那么存在b1,…,bn∈B和β1,…βn∈R

系統(tǒng)(3)等價于分段光滑近Hamilton系統(tǒng)

(6)

系統(tǒng)(6)有一族周期軌道L(h)=x2+y2=h，h∈(0,1).

有等式(5)可知

M(h)=M+(h)+M-(h),

(7)

其中

(8)

等式(8)運用Green’s公式

M+(h)可以化簡為

(9)

這里

(10)

我們可以借助Maple17對其進行計算和化簡.

(11)

用相同的方法得到

(12)

直接可得

(13)

因此, 通過(9), (10), (11), (12)和(13), 我們得到

M(h)=C1G1(h)+C2G2(h)+C3G3(h)+C4G4(h)+C5G5(h)+C6G6(h)

(14)

其中

那么可以得出矩陣的秩為6, 因此, 通過引理2可知, 我們可以得到M(h)有0個零點, 定理1得證.

參考文獻：

[1]LlibreJ，PerezdelRioJS，RodriguezJA．Averaginganalysisofaperturbedquadratic[J]．NonliearAnal，2001,46：45-51.

[2]WangJ,ShuiSL.poincareBifurcationofTwoClassesofPolynomialSystems[J].AbstractandAppliedAnalysis,2013:1-12.

[3]YaoHY，HanMA．Thenumberoflimitcyclesofaclassofpolynomialdifferentialsystems[J]．NonlinearAnal，2012,75：341-357.

[4]BuicaA，LlibreJ．Limitcyclesofaperturbedcubicpolynmialdifferentcenter[J].ChaosSolitonsFraetals，2007,32：1059-1069.

[5]XiangGH，HanMA．Globalbifurcationoflimitcyclesinafamilyofmutiparametersystem[J]．Internat．J．Bifur．Chaos，2004,9：3325-3335.

[6]李時敏，趙育林，岑秀麗.一類不連續(xù)平面二次微分系統(tǒng)的極限環(huán)[J].中國科學,2015,45:43-52.

[7]LiuX,HanM.BifurcationoflimitcyclesbyperturbingpiecewiseHamiltoniansystems[J].Internat.J.Bifur.ChaosAppl.Sci.Engrg,2010(5):1-12.

[8]LiangF,HanM;Limitcyclesneargeneralizedhomoclinicanddoublehomoclinicloopsinpiecewisesmoothsystems[J]．ChaosSolitonsFractals， 2012,45:454-464.

[9]LlibreJ,swirszcaG;Onthelimitcyclesofpolynomialvectorfields[J].Dyn.Contin.DiscreteImpuls,Syst.Ser.AMath.Anal.，2011,18:203-214.

[10]XiongY.LimitcyclebifurcationsbyperturbingpiecewisesmoothHamiltoniansystemswithmultipleparameters[J]．J.Math.Anal.Appl, 2015,421:260-275.

[責任編輯：王軍]

Piecewise smooth perturbation for a class of quadratic differential systems

LI Zhipeng

(College of Mathematics and Information Engineering Zhejiang Normal Universtity,Jihua 321004,China)

Abstract:In this paper, we study the number of limit cycles that bifurcate from the periodic solutions of a quadratic differential system, when it is perturbed by piecewise quadratic polynomials.By using first order Melnikov functions to this system, it is proved that 5 limit cycles can bifurcate from the period annulus.The result shows that piecewise quadratic polynomials perturbation quadratic differential system can have 3 more limits cycles than corresponding quadratic polynomials perturbation .

Key words:limit cycles; invariant curve; first order Melnikov functions; piecewise smooth systems.

中圖分類號：0175.1

文獻標識碼：A

文章編號：1672-3600(2016)03-0017-05

作者簡介:李志鵬(1988-), 男, 河南周口人,浙江師范大學碩士研究生.主要從事微分方程與動力系統(tǒng)的研究.

收稿日期：2015-11-26