完整系統(tǒng)Tzénoff方程Mei對(duì)稱性的共形不變性與守恒量

鄭世旺

(商丘師范學(xué)院　物理與電氣信息學(xué)院，河南　商丘 476000)

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完整系統(tǒng)Tzénoff方程Mei對(duì)稱性的共形不變性與守恒量

鄭世旺

(商丘師范學(xué)院物理與電氣信息學(xué)院，河南商丘 476000)

摘要：研究了完整力學(xué)系統(tǒng)Tzénoff方程Mei對(duì)稱性的共形不變性及其守恒量，首先建立了完整系統(tǒng)的Tzénoff方程，給出了完整系統(tǒng)Tzénoff方程的Mei 對(duì)稱性及其共形不變性的確定方程，得到了這種共形不變性產(chǎn)生守恒量的條件和導(dǎo)出守恒量的函數(shù)式，最后給出一個(gè)應(yīng)用實(shí)例.

關(guān)鍵詞：完整力學(xué)系統(tǒng)；Tzénoff方程；Mei對(duì)稱性；共形不變性

0引言

對(duì)稱性原理是物理學(xué)中的一種高層次法則，動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中的守恒量能揭示深刻的物理現(xiàn)象,如動(dòng)量守恒律、動(dòng)量矩守恒律、能量守恒律及其它物理量的守恒規(guī)律.1918年德國(guó)女科學(xué)家A.E.Noether首次發(fā)現(xiàn)，對(duì)稱性與守恒量之間有對(duì)應(yīng)關(guān)系[1]，這就為尋找實(shí)際力學(xué)系統(tǒng)的守恒律提供了方法和途徑.本世紀(jì)初以來,我國(guó)學(xué)者在Noether對(duì)稱性、Lie 對(duì)稱性、Mei對(duì)稱性及其守恒量方面進(jìn)行了大量研究,取得了一系列重要成果[2-12].1997年,俄羅斯學(xué)者Galiullin等在研究Birkhoff 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)時(shí)首次提出了Birkhoff方程的共形不變性和共形因子的概念, 并討論了Pfaff 作用量在無限小變換下的不變性與共形不變性及Lie 對(duì)稱性與共形不變性之間的關(guān)系[13].共形不變性及其守恒量的研究較為復(fù)雜，我國(guó)學(xué)者關(guān)于約束系統(tǒng)共形不變性的研究起步較晚，蔡建樂和梅鳳翔教授在2008年研究了Lagrange 系統(tǒng)Lie點(diǎn)變換下的共形不變性與守恒量[14]，從此推動(dòng)了共形不變性及其守恒量的研究, 現(xiàn)在共形不變性的研究已擴(kuò)展到Hamilton系統(tǒng)、相對(duì)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)、機(jī)電力學(xué)系統(tǒng)、變質(zhì)量力學(xué)系統(tǒng)等動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)[15-20].1953年保加利亞科學(xué)院院士Tzénoff構(gòu)造了經(jīng)典力學(xué)系統(tǒng)的一種新型動(dòng)力學(xué)函數(shù)稱為Tzénoff函數(shù)，他建立了一類新型運(yùn)動(dòng)微分方程被稱為Tzénoff方程，與其它動(dòng)力學(xué)方程如Lagrange方程、Nielsen方程、Appell方程相比較，Tzénoff方程至今仍為最簡(jiǎn)捷的動(dòng)力學(xué)微分方程．在1985到1987年期間，我國(guó)學(xué)者梅鳳翔、程丁龍等把Tzénoff方程推廣到了可控力學(xué)系統(tǒng)[21]、變質(zhì)量系統(tǒng)[22].近年來Tzénoff方程的對(duì)稱性與守恒量的研究也取得了一些成果[23-29],但關(guān)于Tzénoff方程的共形不變性與守恒量的研究才剛剛起步,目前已成功研究了完整系統(tǒng)Tzénoff方程Lie對(duì)稱性的共形不變性與守恒量[30].

本文研究了完整系統(tǒng)Tzénoff方程Mei對(duì)稱性的共形不變性與其守恒量.首先建立完整系統(tǒng)的Tzé-noff方程,定義了完整系統(tǒng)Tzénoff方程Mei對(duì)稱性的共形不變性, 給出了直接用Tzénoff函數(shù)來表達(dá)的Mei對(duì)稱性共形不變性的確定方程和其導(dǎo)出的相應(yīng)守恒量, 最后,通過一個(gè)簡(jiǎn)例說明本文結(jié)果的應(yīng)用.

1完整系統(tǒng)的Tzénoff方程

設(shè)力學(xué)系統(tǒng)的位形由n個(gè)廣義坐標(biāo)qs(s=1,…,n)來確定，質(zhì)點(diǎn)的矢徑ri=ri(t,qs),系統(tǒng)的Tzé-noff函數(shù)為

(1)

由于

(2)

(3)

展開(3)式可得到廣義加速度

(4)

有

對(duì)(4)式求導(dǎo)可得廣義加加速度

(5)

2完整系統(tǒng)Tzénoff方程Mei對(duì)稱性的共形不變性

取時(shí)間和坐標(biāo)的群的無限小變換

(6)

或其展開式

(7)

其中ε是一無限小參數(shù)，ξ0,ξs為無限小生成元.于是有

(8)

(8)式中

因?yàn)橛米儞Q后的動(dòng)力學(xué)函數(shù)代替變換前的動(dòng)力學(xué)函數(shù)，運(yùn)動(dòng)微分方程的形式仍保持不變的一種對(duì)稱性稱為Mei對(duì)稱性[3]，故可得到完整系統(tǒng)Tzénoff方程Mei對(duì)稱性的定義和判據(jù)分別為

定義1如果用變換后的Tzénoff函數(shù)K*代替變換前的函數(shù)K時(shí)，方程(3)的形式保持不變，那么這種不變性稱為Tzénoff方程的Mei對(duì)稱性.

把(8)式代入Tzénoff方程(3)可得到

判據(jù)若完整力學(xué)系統(tǒng)的Tzénoff函數(shù)K，在無限小生成元ξ0,ξs變換下滿足方程

(9)

則Tzénoff方程具有Mei對(duì)稱性.

(10)

(11)

(12)

反之, 若Tzénoff方程(3)具有共形不變性,(10)式和(11)式相減得

(13)

3Tzénoff方程Mei對(duì)稱性的共形不變性所導(dǎo)出的守恒量

完整系統(tǒng)Tzénoff方程Mei對(duì)稱性的共形不變性在一定條件下也可導(dǎo)出相應(yīng)的守恒量.

定理2對(duì)于完整力學(xué)系統(tǒng)Tzénoff方程Mei對(duì)稱性的共形不變性的生成元ξ0,ξs，如果能找到規(guī)范函數(shù)G滿足如下結(jié)構(gòu)方程

(14)

則Tzénoff方程的Mei對(duì)稱性的共形不變性將直接導(dǎo)出守恒量

(15)

(14)式中

證明 對(duì)(14)式求導(dǎo)并考慮到完整系統(tǒng)Tzénoff方程(3)及其Mei對(duì)稱性的共形不變性的判據(jù)方程(10)成立，有

證畢.

4應(yīng)用例子

已知完整力學(xué)系統(tǒng)的Tzénoff函數(shù)為

(16)

試研究該力學(xué)系統(tǒng)Mei對(duì)稱性的共形不變性和其導(dǎo)出的守恒量.

解把Tzénoff函數(shù)(16)代入完整力學(xué)系統(tǒng)的Tzénoff方程(3),得

(17)

即

(18)

所以有

(19)

取ξ0=0,ξ1=q1,ξ2=q2, 則

(20)

有

(21)

所以,Mei對(duì)稱性共形不變性的判據(jù)方程(10)成立, 系統(tǒng)具有Mei對(duì)稱性的共形不變性,其共形因子

(22)

由 (17)式的關(guān)系,有

(23)

故Mei對(duì)稱性判據(jù)方程(9)成立,系統(tǒng)同時(shí)也具有Mei對(duì)稱性.由(18)式的關(guān)系，(20)式可變?yōu)?/p>

(24)

把(24)式代入結(jié)構(gòu)方程(14)并考慮(19)式的關(guān)系,可得

(25)

將(25)代入(15)式可得守恒量

5結(jié)語

本文研究了完整系統(tǒng)Tzénoff方程Mei對(duì)稱性的共形不變性及其守恒量.通過建立完整系統(tǒng)的Tzé-noff方程,定義了完整系統(tǒng)Tzénoff方程Mei對(duì)稱性的共形不變性的概念, 給出了直接用Tzénoff函數(shù)來表達(dá)的Mei對(duì)稱性共形不變性的判據(jù)方程和導(dǎo)出守恒量的必要條件及相應(yīng)守恒量的表達(dá)式.該研究結(jié)果對(duì)進(jìn)一步探究非完整系統(tǒng)Tzénoff方程和高階Tzénoff方程的共形不變性及其守恒量奠定了理論基礎(chǔ)．

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[責(zé)任編輯：徐明忠]

Conformal invariance and conserved quantity of Mei symmetry for Tzénoff equations in holonomic systems

ZHENG Shiwang

(School of Physics and Electrical Information, Shangqiu Normal University, Shangqiu 476000, China)

Abstract:The aim of the paper is to research the conformal invariance and conserved quantity of Mei symmetry for Tzénoff equations in holonomic systems.Firstly, the Tzénoff equations of holonomic systems is established.Then, the determining equations of conformal invariance of Mei symmetry for Tzénoff equations in holonomic systems are given.The conditions and the functions of the conserved quantity which is deduced by conformal invariance are obtained.Finally, application of this new result is presented by a practical example.

Key words:holonomic systems; Tzénoff equations; Mei symmetry; conformal invariance

中圖分類號(hào)：O320

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1672-3600(2016)03-0024-05

作者簡(jiǎn)介:鄭世旺(1963-)，男，河南蘭考人，商丘師范學(xué)院教授，主要從事分析力學(xué)的研究.

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(No.11372169)

收稿日期：2015-07-08；修回日期：2015-07-18