通俗簡單地解釋數(shù)理統(tǒng)計的思想方法

李景和

[摘要]針對學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)理統(tǒng)計的實際情況，結(jié)合生活實例和學(xué)生的困惑，通俗簡單地解釋樣本和樣本值，解釋矩估計和假設(shè)檢驗的思想方法，使學(xué)生更容易掌握數(shù)理統(tǒng)計的教學(xué)內(nèi)容，從而收到良好的課堂教學(xué)效果。

[關(guān)鍵詞] 通俗簡單；生活實例；思想方法；樣本；矩估計；假設(shè)檢驗

[中圖分類號]G642[文獻標(biāo)識碼]A[文章編號]10054634（2016）01008503

概率論與數(shù)理統(tǒng)計是一門重要的公共基礎(chǔ)課，其中數(shù)理統(tǒng)計占課程總學(xué)時的三分之一。教學(xué)實踐表明，真正使學(xué)生掌握數(shù)理統(tǒng)計的內(nèi)容并非易事，不少看似簡單的問題其實學(xué)生并沒有真正理解和掌握，特別是在獨立學(xué)院的教學(xué)中表現(xiàn)得更加明顯。從每次期末概率論與數(shù)理統(tǒng)計的試卷中可以看到，一些學(xué)生放棄了數(shù)理統(tǒng)計的學(xué)習(xí)，試卷中和數(shù)理統(tǒng)計相關(guān)的題目一概不做。筆者在多年與學(xué)生的交流中感到學(xué)生除了認為該部分內(nèi)容公式多，記不住外，還認為內(nèi)容抽象，不好理解。如何使教學(xué)內(nèi)容更通俗易懂，讓基礎(chǔ)較差的學(xué)生理解內(nèi)容的思想方法，一直是筆者思考的問題。事實上，數(shù)理統(tǒng)計的應(yīng)用性極強，生活中的許多做法和想法都與課程中的思想方法具有一致性，一些生活中常見的簡單的東西上升為課本中的定義和定理，變得神秘和抽象，使部分學(xué)生不好理解，望而生畏。為提高數(shù)理統(tǒng)計的教學(xué)效果，應(yīng)盡可能使其思想方法通俗化和簡單化，即通俗簡單地解釋思想方法，語言應(yīng)盡可能直觀和形象，注意結(jié)合學(xué)生可能會產(chǎn)生的問題和困惑，特別發(fā)揮生活中的實例的作用，通過一些耳熟能詳?shù)膶嵗鼤局R和實際生活的距離，盡可能避免抽象的理論給學(xué)生帶來的神秘感。本文結(jié)合學(xué)生經(jīng)常提出的問題，特別考慮到基礎(chǔ)較差學(xué)生的實際情況，以抽取樣本、矩估計和假設(shè)檢驗為例，對其思想方法進行通俗簡單的解釋。

1通俗簡單地解釋樣本和樣本值

“（X1，X2，…，Xn）是取自總體X的一個樣本”，這是數(shù)理統(tǒng)計中幾乎所有定義、定理和結(jié)論以及習(xí)題的第一句話，否則就是被省略和默認了。因為數(shù)理統(tǒng)計所做的一切結(jié)論最后都是根據(jù)樣本，即根據(jù)樣本對總體的未知情況進行推理、判斷和猜測。比如，在實際生活中，為了確定要購買某種產(chǎn)品時，人們常常要“取些樣子看看”、“用一些試試”、“嘗一嘗”等等。從總體中抽取個體，觀測X的取值，對X的第i次觀測的結(jié)果是隨機變量Xi[1]，經(jīng)常有的同學(xué)問：第i次觀測的結(jié)果應(yīng)是具體的數(shù)，為何是隨機變量？事實上，觀測后得到具體的數(shù)xi是Xi的一個觀察值，由于抽樣的隨機性，在未得到xi之前第i次觀測的結(jié)果是不確定的，因此第i次觀測的結(jié)果當(dāng)然是隨機變量，這里應(yīng)分清Xi與其一個觀察值xi的區(qū)別和聯(lián)系。注意到為了使樣本更好的反映出總體X的狀況，抽取個體一定是隨機的，每個個體被抽到的可能性是一樣的而且抽取是相互獨立互不影響的，因此每個Xi與總體X一定服從相同的分布且Xi（i=1，2，…，n）相互獨立。

例1X是全校全體同學(xué)的身高，現(xiàn)準備從全校全體同學(xué)中隨機抽取3人量其身高，這相當(dāng)于從總體X中抽取容量為3的一個樣本（X1，X2，X3），由于全校同學(xué)的數(shù)量很大，因此可認為抽到3人的方式是有放回的。量完3人身高后得到一組具體的數(shù)據(jù)（x1，x2，x3）是樣本（X1，X2，X3）的一個樣本值，假如過后又隨機抽取3人量其身高得到另外一組具體的數(shù)據(jù)（y1，y2，y3），是樣本（X1，X2，X3）的又一個樣本值，注意yi與xi（i=1，2，3）可能相等也可能不相等，它們分別是隨機變量Xi的兩個觀察值，注意到這一點有助于理解Xi為什么是隨機變量。

向?qū)W生解釋好樣本的定義是非常重要的，因為樣本的概念是數(shù)理統(tǒng)計首個重要的概念，正確理解這一概念是理解數(shù)理統(tǒng)計一切問題的基礎(chǔ)，否則學(xué)生將失去學(xué)習(xí)的信心，很難理解后面的抽樣分布和抽樣分布定理，參數(shù)估計和假設(shè)檢驗等一系列問題。

2通俗簡單地解釋矩估計的思想方法

矩估計的思想方法是用樣本矩估計總體相應(yīng)的矩，通過解方程將未知參數(shù)用樣本的函數(shù)表出，便是未知參數(shù)的矩估計量。其理論根據(jù)是樣本矩依概率收斂于總體相應(yīng)的矩，即隨著樣本容量n的增大，樣本矩與總體相應(yīng)矩?zé)o差異的可能性越來越大，有差異的可能性越來越小。當(dāng)總體X的分布中有一個未知參數(shù)時，一般是用樣本一階原點矩估計總體一階原點矩，即用樣本均值估計X的數(shù)學(xué)期望E（X）。事實上，用估計E（X）是生活中經(jīng)常用到的，比如測量一個物體的長度時，由于測量誤差永遠不會得到物體長度真正的精確數(shù)值，多次測量得到物體長度可能會互有小的差別，這樣測量到的物體的長度是隨機變量X。設(shè)第i次測量的結(jié)果是隨機變量Xi，若測量n次，則相當(dāng)于從總體X中抽取樣本（X1，X2，…，Xn），求物體的長度就是求E（X）。在實際操作時為了使結(jié)果更加精確，一般會多次測量后取平均值作為物體的長度，這個平均值就是的觀察值，這里是用作為E（X）的估計值。顯然，測量次數(shù)越多，與E（X）沒有差異的可能性就越小。

例2總體X的分布密度是f（x）=θxθ-1，0x1；

0，其他.求θ的矩估計量。

首先求E（X），有E（X）=∫10xθxθ-1dx=∫10θxθdx=θθ+1，然后令θ^θ^+1=X，得θ的矩估計量θ^=X1-X。

問題一：令θ^+1=X，好像就是令E（X）=X，那么X與E（X）是同一個概念嗎？回答是否定的，必須分清X與E（X）。X是樣本的均值，是對X的n次觀測后得到的n個結(jié)果X1，X2，…，Xn的平均值，而E（X）是總體X的均值，亦即X的數(shù)學(xué)期望，二者是兩個不同的概念，但它們之間有依概率收斂的關(guān)系。令θ^θ^+1=X是用X估計E（X），并不是說成立E（X）=X，所以“令E（X）=X”的說法是不嚴格的。

問題二：令θ^θ^+1=X中，為何θ要帶上“^”，不帶“^”，行否？這里E（X）=θθ+1沒任何問題，但使θ^θ^+1=X成立的θ^不是真正的θ，真正的θ未知，所以要估計它，而使該式成立的“θ”是θ的估計量θ^，因此不帶“^”，是不嚴謹?shù)摹?

上述“問題一”和“問題二”是在數(shù)理統(tǒng)計教學(xué)中碰到的學(xué)生常問的兩個問題，講清楚這兩個問題可以有針對性地解決學(xué)生的困惑，促使學(xué)生理解和掌握矩估計的思想方法。

3通俗簡單地解釋假設(shè)檢驗的思想方法

假設(shè)檢驗的推理思想就是數(shù)學(xué)上反證法的思想，在推斷時應(yīng)用了實際推斷原理，即“認為小概率事件在一次試驗中不會發(fā)生”。實際推斷原理是在日常生活中廣泛應(yīng)用的，像“火車、飛機和輪船事故”、“買彩票中大獎”等等均是小概率事件，而在乘坐火車、飛機和輪船時，一般不會顧慮是否會發(fā)生事故。買彩票后，對未中大獎會有一個理智的心態(tài)，也就是已經(jīng)認為這些小概率事件不會發(fā)生。

假設(shè)檢驗的推理過程也是生活中常見的，比如超市在銷售某種食品時，可以“先嘗后買”[2]。 銷售者宣稱該種食物的口感非常好，若銷售者說的是正確的，則從該種食物中任挑一個品嘗，口感好的概率應(yīng)很大，口感不好的概率應(yīng)很小。在決定是否購買時，先品嘗一下，若感到口感不好，相當(dāng)于在假定口感好的情況下，發(fā)生了小概率事件，與實際推斷原理矛盾，從而拒絕口感好的假定，認為銷售者的宣稱不對。顯然多次品嘗均感覺口感不好應(yīng)是概率更小的事件，相當(dāng)于顯著性水平α更小，因此若多次品嘗均感覺口感不好，則認為銷售者的宣稱不對應(yīng)更加堅決。由此可以看出“先嘗后買”的方法與假設(shè)檢驗的思想是完全一致。

在假設(shè)檢驗中，拒絕域的確立和在日常生活中的推理也是完全一致的。

例3設(shè)某校同學(xué)的身高X～N（μ，σ2），其中σ2已知，該校一名同學(xué)稱“該校全體學(xué)生身高的平均值是1.68 m左右”。想大致驗證這名同學(xué)說法的一個顯然的辦法是從全校學(xué)生中隨機抽取若干個人，量其身高并算得平均值。若比1.68大的很多或比1.68小的很多，當(dāng)然會否定這名同學(xué)的說法，否則就沒法從這一辦法的結(jié)果中找到這名同學(xué)說法的毛病，而不得不認可這名同學(xué)的說法。事實上，在承認這名同學(xué)的說法正確的前提下，隨機抽取若干個人的身高的平均值比1.68大的很多或小的很多都是小概率事件。上述簡單的推理過程正是教學(xué)中一個正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗，設(shè)顯著性水平為α，考慮到σ2已知，應(yīng)用檢驗統(tǒng)計量U=X-1.68σ/n且將其觀察值記為u，在假定身高的平均值是1.68的情況下，推出拒絕域為|u|u1-α2，這個拒絕域?qū)嶋H上為|-1.68|u1-α2σn，即比1.68過大就是1.68+u1-α2σn，而比1.68過小就是1.68-u1-α2σn。根據(jù)樣本值，當(dāng)比1.68過大或過小時，拒絕“全體學(xué)生身高的平均值是1.68 m”這樣的說法。

類似地可解釋單側(cè)檢驗的方法，比如該校一名同學(xué)又稱“該校全體學(xué)生身高的平均值至少為1.68 m”。顯然比1.68越大，人們就越相信該同學(xué)的說法；相反比1.68越小，人們就越懷疑該同學(xué)的說法。當(dāng)比1.68小的很多時，人們當(dāng)然會拒絕這名同學(xué)的說法。仍然設(shè)顯著性水平為α且σ2已知，教學(xué)中在假定身高的平均值至少為1.68 m的情況下，推出拒絕域為u-u1-α。由u=-1.68σ/n知，u-u1-α實際上為1.68-u1-ασn，如若這樣，則人們認為比1.68過小了，發(fā)生了小概率事件，拒絕接受“全體學(xué)生身高的平均值至少為1.68 m”的說法。

教學(xué)中，還可結(jié)合生活實例和學(xué)生的問題對最大似然估計，區(qū)間估計等內(nèi)容的思想方法進行通俗而簡單的解釋。教學(xué)的實踐表明對數(shù)理統(tǒng)計的思想方法進行通俗、簡單而直觀的解釋是提高教學(xué)效果的好辦法，這使思想方法顯得更加簡單、通俗易懂、貼近實際，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，特別是對基礎(chǔ)較差學(xué)生更具有很大的幫助作用，使他們感到所學(xué)的內(nèi)容并非高不可攀，從而增強學(xué)好數(shù)理統(tǒng)計課的信心。

參考文獻

[1] 金大永，徐勇.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].北京：高等教育出版社，2011：139140.

[2] 尹江麗.數(shù)理統(tǒng)計課程教學(xué)方法探討[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2013，32（1）：6566.

Explaining thinking method of mathematical statistics popularly and simply

LI Jinghe

（School of Science，Hebei University of Technology，Tianjin300401，China）

Abstract For the actual situation of the student studying mathematical statistics，combining with examples in life and student′s confusion，the paper explains sample and sample value，the thinking method of estimation by the method of moments and hypothesis testing popularly and simply.In this way，students master the teaching content of mathematical statistics more easily and better classroom teaching effect can be obtained.

Key words popularly and simply； examples in life； thinking method； sample； estimation by the method of moments； hypothesis testing