分步排列元素順序的是與非

韓天禧

用分步乘法計數(shù)原理分析一件與順序無關(guān)的事時，若同一組中的元素異步而至，使組中本來無序的、平等和諧的元素，不知不覺地就帶上了分步所產(chǎn)生的先后順序，你能判斷分步排列元素順序的是與非嗎？

一、不同元素分步分配到同一組中

例1 在8張獎券中有一、二、三等獎各1張，其余5張無獎.將這8張獎券分配給4個人，每人2張，則不同的獲獎情況有______種.（用數(shù)字作答）

解 （解法1）分兩步分配：第一步從3張獎券中取出2張，分給4個人中的2個人，每人1張，有C23A24種方法；第二步分剩下的1張獎券，有C14種方法.故不同的獲獎情況有C23A24C14=144種.

（解法2）分兩類分配：第一類是3張獎券分給2個人，先從3張獎券中取出2張分給2個人，再把剩下的1張分給已得獎的其中一人，有C23A24C12=72種方法；第二類是3張獎券分給3個人，有A34=24種方法.故不同的獲獎情況有96種.

（解法3）分兩類分配：第一類是從3張獎券中取出2張，將其分成兩組后分給2個人，有C23A24=36種方法；第二類是3個人各分1張獎券，有A34=24種方法.故不同的獲獎情況有60種.

（解法4）分步分配：先分一等獎有4種方法，再分二等獎有4種方法，最后分三等獎也有4種方法，則有43=64種方法.由于每人最多分2張，再剔除3張獎券都分給同一個人的4種方法，所以不同的獲獎情況有60種.

誰是誰非 在解法1中，1個人分得2張獎券用的是分步分配的方法.由于先分a后分b與先分b后分a這兩種不同的分配方案的結(jié)果完全相同，但是采用分步分配，同一組內(nèi)的兩個元素的無序組合錯算為有先后順序的排列，所以應(yīng)除以兩個元素的全排列A22.同理，在解法2中，第一類分配也出現(xiàn)同組元素分步分配的有序錯誤.在解法3中，在分配1個人分得2張獎券時，先分組再分配，這樣同組內(nèi)不同元素一步到位的分配，避免了同組中兩個元素的先后順序，所以這種解法是正確的.解法4盡管1個人分得2張獎券的分法也是分步分配，但每步都分配的是指定的元素，元素雖有前后之嫌，但無重復計算之錯.

經(jīng)驗教訓 在同組內(nèi)分步分配多元素時，由于步與步是一個相互依賴、不可分割的連續(xù)整體，帶著較隱蔽、易被忽視的先后固有的順序，容易出現(xiàn)一時難以識別重復計算的錯誤.所以，為同組中分配多個元素，要先分組（組合）再分配（排列），這就是一步到位的打包分配.

二、相同元素分步排列在不同位置上

例2 只用1，2，3這三個數(shù)字組成一個四位數(shù)，規(guī)定這三個數(shù)必須同時使用，且同一數(shù)字不能相鄰出現(xiàn)，則這樣的四位數(shù)有

A.6個 B.9個 C.18個 D.36個

解 （解法1）分兩步完成：第一步是1，2，3這三個數(shù)全排列，有A33種方法；第二步是從1，2，3這三個數(shù)中取一個數(shù)插到與該數(shù)不相鄰的位置上，有C13C12種方法.故共可組成A33C13C12=36個不同的四位數(shù).選D.

（解法2）由于1，2，3中必有一個數(shù)重復使用兩次，可分兩步完成：第一步是從1，2，3中取一個數(shù)放在四位數(shù)中不相鄰的兩數(shù)位上，有C13C13種方法；第二步是將剩下的兩個數(shù)在剩下的兩數(shù)位上全排列，有A22種方法.故共可組成C13C13A22=18種方法.選C.

誰是誰非 將同一個數(shù)排在兩個不同的位置，本是一個組合的過程，可是在解法1中分步排列產(chǎn)生相同數(shù)的先后順序，所以組成的四位數(shù)的個數(shù)應(yīng)除以A22.解法2選定相同的元素后在同一步站位，相同的數(shù)是無先后順序的，所以這種解法是正確的.

經(jīng)驗教訓 將相同的元素分步排列在不同的位置上，是組合不是排列.若分步一一排列，就臆造了相同的元素在不同的位置上的先后順序.因此，要將相同的元素一步到位一次性放到不同的位置上.

三、相鄰與不相鄰元素的分步排列

例3 某次聯(lián)歡會要安排3個歌舞類節(jié)目、2個小品類節(jié)目和1個相聲類節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是

A.72 B.120 C.144 D.168

解 （解法1）分三步進行：第一步是將2個小品類節(jié)目全排列，有A22種排法；第二步是將3個歌舞類節(jié)目插入到2個小品類節(jié)目形成的三個空中，有A33種排法；第三步是再插入1個相聲類節(jié)目，有C16種排法.故同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是A22A33C16=72.選A.

（解法2）分三步進行：第一步是將2個小品類節(jié)目全排列，有A22種排法；第二步是插入相聲類節(jié)目，有C13種排法；第三步是從3個已排節(jié)目中插入3個歌舞類節(jié)目，有A34種排法.故同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是A22C13A34=144.選C.

（解法3）分兩步進行：第一步是將3個歌舞類節(jié)目全排列，有A33種排法；第二步是將剩下的3個節(jié)目插入到3個歌舞類節(jié)目之間形成的四個空中，有A34種排法.故同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是A33A34=144.選C.

（解法4）分兩步進行：第一步是先將3個歌舞類節(jié)目全排列，有A33種排法.第二步是將小品類節(jié)目與相聲類節(jié)目插入到歌舞類節(jié)目之間，若2個歌舞類節(jié)目之間只有一個其他節(jié)目，則其插法有2A33種；若2個歌舞類節(jié)目之間有2個其他節(jié)目，則其插法有C12A22A22種.故同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是A33（2A33+C12A22A22）=120.選B.

誰是誰非 在解法1中，限定小品類節(jié)目排在兩端位置的排法，導致出現(xiàn)漏解錯誤.在解法2中，在2個小品類節(jié)目之間兩次都不插節(jié)目，使得2個小品類節(jié)目相鄰，導致出現(xiàn)多解錯誤.解法3的第二步，當剩下的3個節(jié)目有2個節(jié)目插入到3個歌舞類節(jié)目的兩端時，其中有2個歌舞類節(jié)目會相鄰，從而出現(xiàn)多解.此外2個小品類節(jié)目和1個相聲類節(jié)目同時插入到3個歌舞類節(jié)目中，使得相聲類節(jié)目與小品類節(jié)目本來可相鄰卻只能相間，又出現(xiàn)漏解錯誤.

經(jīng)驗教訓 將不相鄰元素分步插入到元素之間時，要擬設(shè)元素不相鄰空位，并盯緊、看牢這些空位.該插元素的空位不插元素，會使得不相鄰元素相鄰而出現(xiàn)多解的情況；該排元素的空位不設(shè)空位，會出現(xiàn)漏解的情況.