一類四階兩點邊值問題正解的存在性和唯一性

武　晨

(江蘇聯(lián)合職業(yè)技術(shù)學(xué)院 南京分院，南京 210019)

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一類四階兩點邊值問題正解的存在性和唯一性

武晨

(江蘇聯(lián)合職業(yè)技術(shù)學(xué)院 南京分院，南京 210019)

摘要：兩端簡單支撐彈性梁的變形可以用四階常微分方程邊值問題來描述，由于其在物理中的重要性，已經(jīng)有許多人研究了該類解的存在性，但絕大數(shù)方法都是用錐上的不動點定理得到解的存在性和多解性，而正解的存在唯一性結(jié)果相對較少。利用偏序集上的不動點定理證明了一個四階兩點邊值問題正解的存在性和唯一性，并證明了該正解是嚴格單調(diào)遞增的。

關(guān)鍵詞：偏序集；邊值問題；正解

0引言

四階微分方程在應(yīng)用數(shù)學(xué)和應(yīng)用物理學(xué)中有很重要的應(yīng)用，它可以描述彈性梁在外力作用下的擾曲，不同的邊值條件反映了不同的受力狀態(tài)。因此一直以來四階邊值問題受到了廣泛的關(guān)注，同時也取得了一系列重要結(jié)果[1-4]。在文獻[4]中，作者通過應(yīng)用錐理論和不動點指數(shù)概念得到了邊值問題正解的存在性。然而以上的研究中絕大部分是通過利用錐上的不動點定理的方法來證明解的存在性，利用偏序集上的不動點定理來證明解的存在性和唯一性結(jié)果相對較少。本文研究的邊值問題如下：

即利用偏序集上的不動點定理來證明問題正解的存在性和唯一性，并證明了該正解還是嚴格單調(diào)遞增的。

1預(yù)備引理

引理2假設(shè)E滿足引理1中的條件，且(E,≤)滿足：對于x,y∈E，存在z∈E，使得x和y均可與z相比較，則不動點是唯一的[7]。

引理3假設(shè)y(t)∈C[0,1]，那么邊值問題：

對應(yīng)的格林函數(shù)[6]為：

從而由引理3，我們可得引理4。

在本文中，我們假設(shè)以下條件成立：

(H1)f(t,u(t))≠0，其中t∈Z?[0，1]，μ(z)>0(μ指的是Lebesgue測度)時，f:[0，1]×[0,+∞)→[0,+∞)是關(guān)于第二個變量的單調(diào)非減連續(xù)函數(shù)；

2主要結(jié)論

定理1假設(shè)條件(H1)、(H2)成立，則邊值問題(1)(2)存在唯一的并且是嚴格單調(diào)遞增的正解u(t)。

最后，證明算子T滿足引理1和引理2 的所有條件，由條件(H1)和v≤u可知：

另一方面由假設(shè)(H2)和對任意的v≤u，有：

因為函數(shù)h(x)=ln(x+1)非減，從而可知

≤‖u-v‖-(‖u-v‖-ln(‖u-v‖+1)。

由引理1可知，算子T至少存在一個不動點，該不動點即為邊值問題(1)、(2)的解。

因此，邊值問題(1)、(2)至少有一個非負解。又因為(K,≤)滿足引理2的條件，所以由引理2可知邊值問題(1)、(2)的解是唯一的。由算子的定義以及假設(shè)條件(H1)易知該解是嚴格遞增的。

參考文獻

[1] Yang Y,Zhang J H.Existence of infinitely many mountain pass solutions for some fourth-order boundary value problems with a parameter[J].Nonlinear Anal Theory,Methods, & Applications,2009(71):6135-6143.

[2] Yang Y,Zhang J H.Nontrivial solutions on a kind of fourth-order Neumann boundary value problems[J].App Math Comp,2012(218):7100-7108.

[3] 李永祥.四階邊值問題正解的存在性與多解性[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報,2003(26):109-116.

[4][6] 張艷紅.含有一階導(dǎo)數(shù)的四階邊值問的正解[J].蘇州大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版, 2012(1):7-11.

[5] Harjani J, Sadarangani K.Fixed point theorems for weakly contractive mappings in partially ordered sets[J].Nonlinear Anal Theory,Methods & Applications,2009(71):3403-3410.

[7] Nieto J J,Rodriguez-Lopez R.Contractive mapping theorems in partially ordered sets and applications to ordinary differential equations[J].Order,2005(22)：223-239.

(責(zé)任編輯:尹曉琦)

Existence and Uniqueness of Positive Solution for SomeFourth-Order Two-Point Boundary Value Problems

WU Chen

(Branch of Nanjing，Jiangsu Union Technical Institute,Nanjing 210019,China)

Abstract:The deformations of an elastic beam in equilibrium state can be described by a fourth-order ordinary differential equation boundary value problem. Owing to its importance in physics, the existence of solutions to this problem has been studied by many investigators. But in most of methods, the existence and multiple results are obtained by the fixed point theorem on cone, and the existence and uniqueness positive solution are relatively few. In this paper, we considered a fourth-order two-point boundary value problem and with the help of a fixed-point theorem in partially ordered sets, sufficient conditions for the existence and uniqueness positive solution to the above boundary value problem were obtained. We also showed that this solution is strictly monotonic increasing.

Key words:partially ordered sets;boundary value problems;positive solution

中圖分類號：O175.14

文獻標識碼：A

文章編號：1009-7961(2016)01-0086-03

作者簡介：武晨(1985-)，男，安徽宿州人，碩士，講師，主要從事常微分方程邊值問題研究。

收稿日期：2015-09-16