例談“設(shè)而不求”策略中“設(shè)”的技巧

孫延峰+柯躍海

【摘 要】“設(shè)而不求”是一種重要的解題策略。本文基于一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，挖掘了“設(shè)而不求”蘊(yùn)含的精神、思想和方法，認(rèn)為“設(shè)而不求”蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)中致力于發(fā)明發(fā)現(xiàn)的精神、嚴(yán)密化精神和思想的經(jīng)濟(jì)化精神；蘊(yùn)含著超越傳統(tǒng)思想、變中求不變思想和參數(shù)思想。在此基礎(chǔ)上，結(jié)合實(shí)例淺析了“設(shè)而不求”的“設(shè)”的技巧。

【關(guān)鍵詞】設(shè)而不求；策略；整體思想

在高中數(shù)學(xué)問(wèn)題的解答中，合適思維方法往往是解題的突破口。若思維得法，解題就會(huì)一氣呵成?！霸O(shè)而不求”指利用題設(shè)條件，巧妙設(shè)元，通過(guò)整體替換再消元或減元，達(dá)到運(yùn)算中以簡(jiǎn)馭繁的目的的一種解題方法。它的實(shí)質(zhì)是整體結(jié)構(gòu)意義上的變式和整體思想的應(yīng)用。“設(shè)而不求”解題法是高考解析幾何題常用到的方法之一，它通過(guò)設(shè)而不求的策略，可以使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，解題準(zhǔn)確、快捷。解析幾何問(wèn)題“設(shè)而不求”的解題策略的常見(jiàn)方法有：設(shè)而不求整體化歸、利用韋達(dá)定理、代點(diǎn)相減法、利用曲線系方程整體消元法等。值得提醒的是：中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率公式和根與系數(shù)的關(guān)系是“設(shè)而不求，整體思想”的馬前卒。筆者以解析幾何中的一道實(shí)例，就“設(shè)而不求”策略中“設(shè)”的技巧做個(gè)淺析。

實(shí)例：求拋物線y2=8x中以為中點(diǎn)的弦所在的直線的方程。

策略分析：已知所求弦通過(guò)定點(diǎn)Q（4，1），所求弦線方程的關(guān)鍵是求出該弦線的斜率k，又注意到Q是所求弦線的中點(diǎn)，顯然弦線與拋物線的交點(diǎn)既和中點(diǎn)Q有關(guān)，又和拋物線關(guān)系密切，所以可以考慮求出交點(diǎn)從而確定斜率k。我們可以設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），馬上可以列出四個(gè)方程，顯然可得解，注意到我們的目的是求于是有如下解法： 評(píng)析：解析幾何中的圓錐曲線是高考的重點(diǎn)、難點(diǎn)和熱點(diǎn)，而其中的計(jì)算是困難的。如何避免求交點(diǎn)，從而簡(jiǎn)化計(jì)算，也就成了處理這類問(wèn)題的難點(diǎn)與關(guān)鍵。這里用到的策略——設(shè)而不求，這實(shí)質(zhì)是整體結(jié)構(gòu)意義上的變式和整體思想的應(yīng)用。

如果對(duì)A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)的設(shè)法改進(jìn)一下，就有如下幾種解法：

評(píng)析：解法二和解法三恰當(dāng)合理地引入了參數(shù)，使本題解題目標(biāo)更明確，已知與所求的聯(lián)系明朗化，問(wèn)題迎刃而解。

以上四種解法都是直接給出端點(diǎn)坐標(biāo)，也可以間接給出端點(diǎn)坐標(biāo)，于是又有以下兩種解法：

總之，在解決圓錐曲線的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，只要細(xì)心觀察、不拘于形式，采用適宜的“設(shè)法”，必將給我們解決實(shí)際問(wèn)題帶來(lái)方便。

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