無(wú)衍射光束簇

王碩琛， 梅小華， 謝曉霞， 吳逢鐵

(1. 華僑大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院， 福建 廈門 361021；

2. 福建省光傳輸與變換重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 福建 廈門 361021)

?

無(wú)衍射光束簇

王碩琛1,2， 梅小華1， 謝曉霞1,2， 吳逢鐵1,2

(1. 華僑大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院， 福建 廈門 361021；

2. 福建省光傳輸與變換重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 福建 廈門 361021)

摘要：波動(dòng)方程在笛卡爾坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系、橢圓柱坐標(biāo)系及拋物線坐標(biāo)系下可求得無(wú)衍射解，分別是余弦(Cos)光束、貝塞爾(Bessel)光束、馬蒂厄(Mathieu)光束和拋物線(Parabolic)光束，它們組成了無(wú)衍射光束家族(又稱亥姆霍茲光束).介紹這4種光束的具體表達(dá)式及光強(qiáng)分布圖和自重建過程.最后，對(duì)4種無(wú)衍射光束進(jìn)行比較，總結(jié)了無(wú)衍射光束的應(yīng)用熱點(diǎn)，并展望未來(lái).

關(guān)鍵詞：無(wú)衍射光束; 光強(qiáng)分布圖; 自重建; 光束表達(dá)式

無(wú)衍射光束具有光場(chǎng)高度集中，中心光斑小及遇障礙物后傳播一段距離恢復(fù)原來(lái)的光強(qiáng)分布(自重建)等獨(dú)特的性質(zhì).由于無(wú)衍射光束在光學(xué)領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，因此，受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者不斷地探索研究.1987年，Durnin等[1-2]首次提出無(wú)衍射光-Bessel光束，這種光束是自由空間標(biāo)量波動(dòng)方程在圓柱坐標(biāo)系下的一組特殊解.波動(dòng)方程可在11種正交坐標(biāo)系下分離變量，但只有在笛卡爾坐標(biāo)系，圓柱坐標(biāo)系，橢圓柱坐標(biāo)系及拋物線坐標(biāo)系下可求得無(wú)衍射解.這4種坐標(biāo)系得到的解對(duì)應(yīng)著不同的無(wú)衍射光束，分別是Cos光束、Bessel光束、Mathieu光束和Parabolic光束，它們組成了無(wú)衍射光束家族.2000年，Salo等[3]提出一種描述無(wú)衍射光波場(chǎng)的方法, 即任意的單色無(wú)衍射光都可以用波矢位于一個(gè)錐面上的所有平面波的疊加描述.對(duì)于Bessel光束，自提出的幾十年以來(lái)，便受到人們的大量研究[4-5]，但對(duì)其余3種研究較少.2000年，Gutiérrez-Vega等[6]報(bào)道了無(wú)衍射Mathieu光束.2001年，通過實(shí)驗(yàn)得到這種光束[7].2004年，Bandres等[8]提出了Parabolic光束.2005年，López-Mariscal等[9]由實(shí)驗(yàn)室得出Parabolic光束.近年來(lái)研究人員對(duì)無(wú)衍射光束仍在不斷地探索研究，特別是無(wú)衍射光束的自重建特性.1996年，Macdonald等[10]發(fā)現(xiàn)無(wú)衍射Bessel光束的自再現(xiàn)特性，這種新特性引起學(xué)者們的極大興趣.2002年，Garcés-Chávez等[11]將這種特性運(yùn)用于多層面粒子微操作，從而使無(wú)衍射光束的應(yīng)用進(jìn)入了一個(gè)新的時(shí)代.2013年，Mendoza-Hernández等[12]通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了Parabolic光束的自重建特性.2015年，李冬等[13]利用Hankel波理論，論證并通過實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了Mathieu光束的自重建特性.本文系統(tǒng)介紹了上述4種坐標(biāo)系下的無(wú)衍射光束，并進(jìn)行對(duì)比研究.

1Cos光束

單色無(wú)衍射光用Helmholtz 方程的Whittaker解[14]表示為

(1)

式(1)中：A(θ)為復(fù)角譜分布;kt,kz為波矢的徑向和軸向分量.A(θ)在4種不同的坐標(biāo)系下取不同的形式，即對(duì)應(yīng)4種不同的無(wú)衍射光波場(chǎng).

(2)

式(2)中：kt為的是橫向波矢;A是歸一化常數(shù).

實(shí)驗(yàn)室得到的是由高斯包絡(luò)面調(diào)制的近似無(wú)衍射光束，稱之為余弦高斯光束，即

Gutiérrez-Vega等[17]數(shù)值模擬了余弦高斯光束的光強(qiáng)分布圖，如圖1所示.圖1中：Z為z軸上的位置.由圖1可知：光束在最大無(wú)衍射范圍內(nèi)傳播時(shí)，橫向光強(qiáng)不變；超過最大無(wú)衍射距離后，光束開始發(fā)散.

(a) Z=0　　　　　　　　　　　(b) Z=0.6Zmax　　　　　　　　　(c) Z=1.2Zmax圖1　余弦高斯光束在自由空間傳播的橫向光強(qiáng)圖Fig.1　Transversal intensity distribution of Cos-Gaussian-beam propagating in free space

2Bessel光束

Bessel光束是Helmholtz方程在圓柱坐標(biāo)系下的一組解，A(θ)取exp(imθ)形式.把角譜代入式(1)，化簡(jiǎn)得到Bessel光束的解析式，即

(3)

式(3)中：m為Bessel函數(shù)的階數(shù)；α,β分別為徑向和軸向波矢.

Bessel光束呈環(huán)狀分布，零階的Bessel光束中心光強(qiáng)較強(qiáng)，而高階的Bessel光束中心光強(qiáng)為零，并具有角動(dòng)量.Bessel光束是第一種被提出無(wú)衍射概念的光束，最先由Durnin利用環(huán)縫法，得到零階Bessel光束.數(shù)值模擬得到的零階Bessel光束光強(qiáng)圖樣和自重建光強(qiáng)分布圖，如圖2所示.

除此之外，其他實(shí)驗(yàn)室利用計(jì)算機(jī)全息圖[18-19]、球差透鏡[20-21]、軸棱錐[22-24]及主動(dòng)腔[25-26]等方法得到了不同階數(shù)的Bessel光束.其中,用軸棱錐產(chǎn)生Bessel光束的方法具有實(shí)驗(yàn)裝置簡(jiǎn)單、轉(zhuǎn)換效率高等優(yōu)點(diǎn)，是目前研究中最常使用的方法.但是受限于軸棱錐的加工技術(shù)，用此方法產(chǎn)生的Bessel光束的無(wú)衍射距離受到限制.Xie等[27]提出的AXIGRIN法,鄭維濤等[28]提出的雙軸棱錐法和孫川等[29]提出的梯度軸棱錐法得到Bessel光束,其無(wú)衍射距離大大增長(zhǎng),很好地解決這一問題.

Bessel光束除了具有無(wú)衍射特性外，還具有自重建特性，在Bessel光束的自重建性方面，吳逢鐵實(shí)驗(yàn)室依據(jù)Hankel波理論做了大量工作：范丹丹[30]解釋分析了零階Bessel光束的自重建特性，并驗(yàn)證了零階Bessel光束通過軸上圓形、方形障礙物和離軸圓形障礙物的自重建特性；之后，又利用非相干光源對(duì)零階Bessel光束的自重建進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證[31]；張前安等[32]實(shí)現(xiàn)了相干光源產(chǎn)生高階Bessel光束自重建的實(shí)驗(yàn)；何西等[33]驗(yàn)證了非相干綠光LED產(chǎn)生高階的Bessel光束的自重建.實(shí)驗(yàn)室得到的零階Bessel光束的軸上自重建過程圖，如圖3所示.

(a) 二維 (b) 三維 (c) 縱向

(d) 自重建圖2　無(wú)衍射Bessel光束的光強(qiáng)分布圖Fig.2　Intensity distribution of non-diffracting Bessel beam

(a) z=-25 mm (b) z=3 mm (c) z=77.5 mm (d) z=150 mm圖3　實(shí)驗(yàn)拍攝零階Bessel光束軸上自再現(xiàn)特性的演變過程Fig.3　Experimental pictures of the self-reconstruction evolution process for on-axis 0-order Bessel beam

3Mathieu光束

Mathieu光束是Helmholtz方程在橢圓柱坐標(biāo)系下解出的一種無(wú)衍射光束，A(θ)取角Mathieu函數(shù)形式.Mathieu光束最先由Gutiérrez-Vega提出，具體表達(dá)式為

(4)

(5)

式(5)中：2h為橢圓兩焦點(diǎn)距離.任意階的Mathieu光束的光強(qiáng)分布圖由Alpmann等[34]給出，其中，1～6階Mathieu光束，如圖4所示.

(a) 數(shù)值模擬

(b) 實(shí)驗(yàn)拍攝圖4　橫向光強(qiáng)分布圖Fig.4　Transverse optical intensity distribution

Mathieu光束的自重建現(xiàn)象也可以用Hankel波的疊加理論來(lái)論證，在障礙物后的一段距離內(nèi)，向內(nèi)傳播的橢圓錐面波(outgoing conical wave,OCW)和向外傳播的橢圓錐面波(incoming conical wave,ICW)會(huì)被障礙物遮擋.傳播一段距離后，未被遮擋的OCW和ICW繼續(xù)傳播、疊加，并再次出現(xiàn)Mathieu光束，即為Mathieu光束的自重建現(xiàn)象.李冬等[14]利用這一原理，得到了Mathieu光束的自重建現(xiàn)象.

4Parabolic光束

Parabolic光束是無(wú)衍射家族后來(lái)得到的一位成員，是在拋物線坐標(biāo)系下的解，由Bandres等從理論上得出的.拋物線坐標(biāo)系與笛卡爾坐標(biāo)系的坐標(biāo)為

在此坐標(biāo)系下，角譜取形式為

(6)

代入式(2)，化簡(jiǎn)得到Parabolic光束的表達(dá)式，即

(7)

式(7)中：σ=(2kt)1/2；a為拋物線光束的階數(shù).不同于Bessel和Mathieu光束，Parabolic光束的階數(shù)可以取非整數(shù).實(shí)驗(yàn)室中的拋物線光束光強(qiáng)分布圖則由López-Mariscal等首先給出.利用光源,零階的Parabolic光束通過曝光過的相機(jī)膠片,由環(huán)縫法得到，如圖5(a)，圖5(b)所示.但對(duì)于高階的Parabolic光束，這種方法則行不通.用計(jì)算機(jī)全息法得到的4階Parabolic光束,如圖5(c),圖5(d)所示.

(a) 零階奇(下標(biāo)e)　　　　(b) 零階偶(下標(biāo)o)　　　　(c) 4階奇(下標(biāo)e)　　　　(d) 4階奇偶(下標(biāo)o)圖5　光束實(shí)驗(yàn)光強(qiáng)分布圖Fig.5　Experimental pictures of the beam intensity

5結(jié)論

主要介紹無(wú)衍射光束家族的4種無(wú)衍射光束，及它們?cè)诟髯缘淖鴺?biāo)系下的表達(dá)式(即它們的橫向光強(qiáng)分布圖).另外，從Hankel波的角度解釋了它們的無(wú)衍射重建過程.文中對(duì)于無(wú)衍射光束做了較為系統(tǒng)的介紹，對(duì)于進(jìn)一步深入的研究有一定的意義.

研究結(jié)果表明：Cos光束是最簡(jiǎn)單的一種無(wú)衍射光；Bessel光束由于相對(duì)簡(jiǎn)單和極具規(guī)律性被廣泛研究，實(shí)驗(yàn)室產(chǎn)生Bessel光束的技術(shù)也已相對(duì)成熟，其應(yīng)用也被廣泛研究;而Mathieu光束和Parabolic光束則是近十年來(lái)才開始被研究，并且由于其光束的復(fù)雜性，使得應(yīng)用上的研究相對(duì)較少，這也是今后研究的一個(gè)方面.

無(wú)衍射光束的應(yīng)用范圍非常廣，利用其進(jìn)行光學(xué)俘獲和操作[35-36]、光學(xué)拉力等[37]的實(shí)驗(yàn)室技術(shù)已經(jīng)比較成熟，而在大氣湍流[38]、激光成像[39]、光通信和檢測(cè)等[40]方面的研究是目前研究熱點(diǎn).另外，在醫(yī)學(xué)成像[41-42]、大型裝備的裝配定位、質(zhì)量檢測(cè)和安全監(jiān)測(cè)[43]及生命科學(xué)等領(lǐng)域[44]有廣闊應(yīng)用前景.隨著無(wú)衍射光束研究的不斷深入和實(shí)驗(yàn)室技術(shù)的成熟，無(wú)衍射光束將會(huì)在越來(lái)越多領(lǐng)域得到應(yīng)用.

參考文獻(xiàn)：

[1]DURNIN J.Exact solutions for nondiffracting beams I the scalar theory[J].J Opt Soc Am A,1987,4(4):651-654.

[2]DURNIN J,MICELI J J,EBERLY J H.Diffraction-free beams[J].Phys Rev Lett,1987,58(15):1499-1501.

[3]SALO J,FAGERHOLM J,FRIBERG A T,et al.Unified description of nondiffracting x and y waves[J].Phys Rev E: Stat Phys Plasmas Fluids,2000,62(3):4261-4275.

[4]GORI F,GUATTARI G,PADOVANI C.Bessel-Gauss beams[J].Optics Communications,1987,64(6):491-495.

[5]DHOLAKIA M G K.Bessel beams: Diffraction in a new light[J].Contemporary Physics,2005,46(1):15-28.

[6]GUTIéRREZ-VEGA J C,ITURBE-CASTILLO M D,CHVEZ-CERDA S.Alternative formulation for invariant optical fields: Mathieu beams[J].Optics Letters,2000,25(20):1493-1495.

[7]GUTIéRREZ-VEGA J C,ITURBE-CASTILLO M D,RAMREZ G A,et al.Experimental demonstration of optical mathieu beams[J].Optics Communications,2001,195(1):35-40.

[8]BANDRES M A,GUTIéRREZ-VEGA J C,CHVEZ-CERDA S.Parabolic nondiffracting optical wave fields[J].Optics Letters,2004,29(1):44-46.

[10]MACDONALD R P,BOOTHROYD S A,OKAMOTO T,et al.Interboard optical data distribution by Bessel beam shadowing[J].Optics Communications,1996,122(4):169-177.

[12]MENDOZA-HERNNDEZ J,ARROYO-CARRASCOL M L,MéNDEZ-OTERO M M,et al.Self-healing of beams with angular momentum[C]∥Laser Science Optical Society of America.Orlando：[s.n.],2013:JW3A-31.

[13]李冬,吳逢鐵,謝曉霞,等.無(wú)衍射Mathieu光束自重建特性的理論和實(shí)驗(yàn)研究[J].物理學(xué)報(bào),2015,64(1):014201(1-6).

[14]BELAFHAL A,HRICHA Z.Generalized formulation of mathieu beams[J].Physical and Chemical News,2004,16:33-36.

[15]王紹民,林強(qiáng),江曉清.余弦-高斯光束[J].光子學(xué)報(bào),1999,28(4):367-370.

[16]NADGARAN H,FALLAH R.Thermally-affected cosine-gauss and parabolic-gauss beams and comparisons of helmholtz-Gauss beam families[J].Optics Communications,2015,341:160-172.

[17]GUTIéRREZ-VEGA J C,BANDRES M A.Helmholtz-Gauss waves[J].JOSA A,2005,22(2):289-298.

[18]TURUENEN J,VASARA A,FRIBERG A T.Holographic generation of diffraction-free beams[J].Appl Opt,1988,27(19):3959-3962.

[19]VASARA A,TURUENEN J,FRIBERG A T.Realization of gerneral nondiffracting beams with computer-generated holograms[J].J Opt Soc Am,1989,6(11):1748-1754.

[20]HERMAN R M,WIGGINS T A.Production and uses of diffractionless beams[J].J Opt Soc Am,1991,8(6):932-942.

[21]HERMAN R M,WIGGINS T A.Apodization of diffraction-less beams[J].Appl Opt,1992,31(28):5913-5925.

[22]SCOTT G,MCARDIE N.Efficient generation of nearly diffraction-free beams using an axicon[J].Opt Eng,1992,31(12):2640-2643.

[23]江新光,吳逢鐵.像散對(duì)軸棱錐衍射特性的影響與修正[J].物理學(xué)報(bào),2008,57(7):4202-4207.

[24]吳逢鐵,江新光.軸棱錐頂點(diǎn)加工誤差的修正[J].光學(xué)精密工程,2009,17(10):2506-2511.

[25]WU Fengtie,CHEN Yinbin,GUO Dongdong.Nanoseond pulsed Bessel-Guass beam generated directly from a Nd: YAG axicon-based resonator[J].Appl Opt,2007,46(22):4943-4947.

[26]MA Baotian,WU Fengtie,LU Wenhe,et al.Nanosecond zero-order Bessel-Gauss pulse generated from unstable resonator based on an axicon[J].Opt and Laser Tech,2010,42(6):941-944.

[27]XIE Z,ARMBRUSTER V,GROSJEAN T.Axicon on a gradient index lens (AXIGRIN): Integrated optical bench for Bessel beam generation from a point-like source[J].Applied Optics,2014,53(26):6103-6107.

[28]鄭維濤,吳逢鐵,張前安,等.雙軸棱錐產(chǎn)生長(zhǎng)距離近似無(wú)衍射光的新技術(shù)[J].物理學(xué)報(bào),2012,61(14):181-187.

[29]孫川,何艷林,陳婧,等.線性徑向梯度折射率透鏡產(chǎn)生貝塞爾光[J].中國(guó)激光,2015,4(8):0802002(1-6).

[30]范丹丹,張前安,程治明,等.Bessel光束自重建的模擬仿真與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證[J].物理學(xué)報(bào),2012,61(16)：192-204.

[31]范丹丹,吳逢鐵,程治明,等.非相干光源無(wú)衍射光的自重建[J].物理學(xué)報(bào),2013,62(10):256-261.

[32]張前安,吳逢鐵,鄭維濤,等.高階貝塞爾-高斯光束的自重建特性[J].中國(guó)科學(xué):物理學(xué) 力學(xué) 天文學(xué),2011,41(10):1131-1137.

[33]何西,吳逢鐵,李攀,等.非相干LED光源產(chǎn)生高階Bessel光束[J].中國(guó)科學(xué),2014,35(7):705-711.

[34]ALPMANN C,BOWMAN R,WOERDEMANN M,et al.Mathieu beams as versatile light moulds for 3D micro particle assemblies.[J].Optics Express,2010,18(25):26084-26091.

[35]LEAKE K D,HAWKINS A R,SCHMIDT H.All-optical particle trap using orthogonally intersecting beams[J].Photonics Research,2013,1(1):47-51.

[37]劉彬,吳逢鐵,江新光.利用無(wú)衍射貝塞耳光束多層面操控微粒[J].中國(guó)激光,2009,36(2):379-382.

[38]WANG N,CHEN J,LIU S,et al.Dynamical and phase-diagram study on stable optical pulling force in Bessel beams[J].Physical Review A,2013,87(6):4077-4082.

[39]王海燕,陳川琳,杜家磊,等.貝塞爾高斯渦旋光束在大氣湍流中的傳輸特性[J].光子學(xué)報(bào),2013,42(5):505-510.

[40]PKANCHON T A,GAO L,MILKIE D E,et al.Rapid three-dimensional isotropic imaging of living cells using Bessel beam plane illumination[J].Nature Methods,2011,8(5):417-423.

[41]江月松,張新崗,王帥會(huì),等.部分相干貝塞爾高斯光束在非柯爾莫哥諾夫湍流中的傳輸特性[J].光子學(xué)報(bào),2014,43(1):0101001(1-6).

[42]OK G,CHOI S W,PARK K H,et al.Foreign object detection by sub-terahertz quasi-bessel beam imaging[J].Sensors,2012,13(1):71-85.

[43]MURUKESHAN V M,HONG Xun,JESMOND J,et al.Non-contact high resolution Bessel beam probe for diagnostic imaging of cornea and trabecular meshwork region in eye[C]∥Clinical and Biomedical Spectroscopy and Imaging IV.Munich：[s.n.],2015:953728.

[44]馬國(guó)鷺,曾國(guó)英.基于無(wú)衍射探針的空間坐標(biāo)測(cè)量及其不確定度分析[J].光學(xué)學(xué)報(bào),2015,5(5):0512005 (1-8).

(責(zé)任編輯： 陳志賢英文審校： 吳逢鐵)

Family of Non-Diffractting Beam

WANG Shuochen1,2, MEI Xiaohua1,XIE Xiaoxia1,2, WU Fengtie1,2

(1. College of Information Science and Engineering, Huaqiao University， Xiamen 361021, China,2. Fujian Key Laboratory of Optical Beam Transmission and Transformation, Xiamen 361021, China)

Abstract：Non-diffraction solutions of wave equation can be obtained in Cartesian coordinates, cylindrical coordinates, elliptical cylindrical coordinates and parabolic coordinates, those are Cos (Cosine) beam, Bessel beam, Mathieu beam and Parabolic beam, and they make up the non-diffracting family (also known as Helmholtz beam). In this article, we introduce their specific expression, beam intensity distribution and self-reconstruction process. At last the four non-diffracting beam were compared to each other, and we sum up the hot applications of the diffraction-free beam and look to the future.

Keywords：non-diffracting beam; the optical intensity distribution; self-reconstruction; expression of beam

中圖分類號(hào)：O 436.1

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61178015)； 福建省科技創(chuàng)新平臺(tái)計(jì)劃項(xiàng)目(2012H2002)； 福建省泉州市科技重點(diǎn)項(xiàng)目(2013Z20， 2014Z127)

通信作者：吳逢鐵(1958-)，男，教授，博士，主要從事光束傳輸與變換，短脈沖技術(shù)及非線性光學(xué)的研究.E-mail:fengtie@hqu.edu.cn.

收稿日期：2015-08-29

doi:10.11830/ISSN.1000-5013.2016.02.0149

文章編號(hào)：1000-5013(2016)02-0149-06