基于模態(tài)修正策略和稀疏正則化的損傷識(shí)別*

譚穎軒，陳衍茂，汪利，呂中榮

中山大學(xué)航空航天學(xué)院，廣東 廣州 510006

結(jié)構(gòu)老化、環(huán)境侵蝕會(huì)引起結(jié)構(gòu)損傷，降低結(jié)構(gòu)安全性和可靠性，因此需要對(duì)重要工程結(jié)構(gòu)進(jìn)行定期檢查以便及時(shí)識(shí)別損傷。結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別可以為結(jié)構(gòu)維護(hù)和修理提供指導(dǎo)，從而最大限度地降低維護(hù)成本并保證結(jié)構(gòu)安全［1-2］。

基于模型的損傷識(shí)別方法，第一步需要建立結(jié)構(gòu)的有限元離散模型。本文主要針對(duì)剪切層結(jié)構(gòu)進(jìn)行損傷識(shí)別。對(duì)于多層建筑，通常將其計(jì)算模型簡(jiǎn)化為一個(gè)集中質(zhì)量剪切層模型。已有文獻(xiàn)［3-4］證明采用這種簡(jiǎn)化的剪切層模型進(jìn)行框架結(jié)構(gòu)、高層建筑等損傷識(shí)別是切實(shí)可行的。值得注意的是，將實(shí)際結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為剪切層模型的過(guò)程中會(huì)不可避免地會(huì)帶來(lái)模型誤差，從而可能導(dǎo)致結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別出現(xiàn)不可預(yù)料的偏差。為了減少模型誤差帶來(lái)的不利影響，本文提出了一種新的模態(tài)改變修正策略。該策略利用損傷前后實(shí)際結(jié)構(gòu)的模態(tài)信息（包括特征頻率與振型）的改變量，對(duì)簡(jiǎn)化模型的模態(tài)信息進(jìn)行修正，使得不需要得知實(shí)際結(jié)構(gòu)的剛度與質(zhì)量等信息即可進(jìn)行損傷識(shí)別。

在結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)的領(lǐng)域，基于系統(tǒng)輸出量改變的損傷識(shí)別方法的研究已有許多［5-8］，利用模態(tài)數(shù)據(jù)改變的也有不少。Morita 等［5］以及Zhou 等［6］通過(guò)頻率數(shù)據(jù)的改變分別對(duì)五層框架結(jié)構(gòu)和鋼構(gòu)懸臂梁進(jìn)行了損傷識(shí)別。Hao 等［7］不僅單獨(dú)使用頻率、模態(tài)的改變率還結(jié)合二者對(duì)門式鋼架進(jìn)行識(shí)別，成功驗(yàn)證了利用模態(tài)數(shù)據(jù)的改變進(jìn)行損傷識(shí)別的可行性。

基于模型的損傷識(shí)別方法的第二步則是通過(guò)測(cè)得的數(shù)據(jù)識(shí)別結(jié)構(gòu)的損傷參數(shù)。本文選取易獲得且與阻尼、外荷載無(wú)關(guān)［9］的模態(tài)數(shù)據(jù)進(jìn)行損傷識(shí)別。但由于工程成本的限制，模態(tài)數(shù)據(jù)量往往不足；而且損傷識(shí)別作為反問(wèn)題，存在不適定性。這些都導(dǎo)致小小的噪聲擾動(dòng)就會(huì)對(duì)結(jié)果造成非常大的影響，而正則化是應(yīng)對(duì)這個(gè)問(wèn)題的重要方法［10-11］。本文結(jié)合結(jié)構(gòu)損傷位置的稀疏性，引入稀疏正則化［11］，以降低識(shí)別結(jié)果對(duì)于誤差的敏感性，得到更準(zhǔn)確的解。Zhou 等［6］提出了僅利用少數(shù)前幾階頻率的稀疏損傷識(shí)別方法。Wang 等［12］、Zhou 等［13］也利用稀疏正則化分別建立了基于時(shí)域與頻域的損傷識(shí)別新方案，證明了稀疏正則化在損傷識(shí)別中應(yīng)用的有效性。

利用模態(tài)數(shù)據(jù)，損傷識(shí)別這一反問(wèn)題可看成一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題。本文結(jié)合剪切層結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)以及模態(tài)改變修正策略構(gòu)造了一個(gè)新的目標(biāo)函數(shù)，該函數(shù)與稀疏正則化結(jié)合幾乎不會(huì)產(chǎn)生額外的計(jì)算成本。正則化參數(shù)的選取也采用計(jì)算成本較低的閾值法，而目標(biāo)函數(shù)求解則基于交替最小化方法［14］。最后，對(duì)結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)標(biāo)準(zhǔn)模型和真實(shí)酒店建筑進(jìn)行損傷識(shí)別。結(jié)果表明，模態(tài)改變修正策略能在結(jié)構(gòu)的真實(shí)質(zhì)量與剛度信息未知的情況下快速準(zhǔn)確地識(shí)別結(jié)構(gòu)損傷位置和程度，具有重要的實(shí)用價(jià)值。

1 基本理論

1.1 模態(tài)數(shù)據(jù)

考慮n層剪切層結(jié)構(gòu)，其中各層質(zhì)量為m1，m2，…，mn＞0，各層剛度為k1，k2，…，kn＞0。因此，對(duì)應(yīng)于測(cè)量的模態(tài)數(shù)據(jù)，結(jié)合其質(zhì)量矩陣M和剛度矩陣K，有特征方程

1.2 模態(tài)改變修正策略

模態(tài)改變修正策略［15］是一種直接修正測(cè)量數(shù)據(jù)以減小模型誤差影響的策略。該策略簡(jiǎn)單有效，不會(huì)引入額外計(jì)算量，且允許損傷識(shí)別可在未知真實(shí)結(jié)構(gòu)質(zhì)量和剛度信息的情況下進(jìn)行。

測(cè)量改變策略的優(yōu)點(diǎn)在于：除了測(cè)量的模態(tài)數(shù)據(jù)以外，僅需要得知實(shí)際結(jié)構(gòu)的層數(shù)，而不需要其他的結(jié)構(gòu)信息（包括其各層質(zhì)量與剛度等），即可依據(jù)有限元模型識(shí)別實(shí)際結(jié)構(gòu)的損傷。

1.3 損傷識(shí)別目標(biāo)函數(shù)

首先，將剛度矩陣K分解為

其中D是p對(duì)角化獲得的正定矩陣；對(duì)于剪切層結(jié)構(gòu)，L，R是如下的可逆常數(shù)矩陣，即

然后，由式（1）與（4）得到p解耦的方程

最后，考慮修正模態(tài)數(shù)據(jù)E?，將等式（5）的差值最小化，獲得最終的目標(biāo)函數(shù)

1.4 稀疏正則化

使用模態(tài)數(shù)據(jù)進(jìn)行損傷識(shí)別，會(huì)由于模態(tài)數(shù)據(jù)量的不足，導(dǎo)致識(shí)別結(jié)果對(duì)測(cè)量噪音非常敏感。為了克服這個(gè)缺點(diǎn)，引入稀疏正則化。通過(guò)最小化下面的l1-范數(shù)項(xiàng)［11］，實(shí)現(xiàn)稀疏約束。令

其中μ≥0 是正則化參數(shù)，后面將對(duì)其進(jìn)行合理選擇。

1.5 交替最小化方法求解目標(biāo)函數(shù)

交替最小化法是一個(gè)用來(lái)解決多組自變量?jī)?yōu)化問(wèn)題的迭代方法［14］。利用交替最小化方法求解損傷識(shí)別目標(biāo)函數(shù)（8）的過(guò)程包括參數(shù)初始化（將初始損傷參數(shù)設(shè)置為未發(fā)生損失時(shí)的結(jié)構(gòu)參數(shù)（令p(0)=p0））和迭代求解p(k)，k= 1，2，…。迭代求解分為兩步：

1）模態(tài)恢復(fù)。從不完整的模態(tài)振型中恢復(fù)完整的振型

2）參數(shù)識(shí)別。最終的損傷參數(shù)可以從完整的模態(tài)數(shù)據(jù)中識(shí)別出來(lái)。

交替最小化方法求解流程以及稀疏正則化參數(shù)的選取見表1。

表1 損傷識(shí)別方法Table 1 Algorithm of damage identification

2 案例驗(yàn)證

2.1 健康監(jiān)測(cè)標(biāo)準(zhǔn)模型

為了驗(yàn)證模態(tài)改變修正策略的可行性，以美國(guó)土木工程學(xué)會(huì)（（IASC）-ASCE）提出的結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)標(biāo)準(zhǔn)模型PhaseⅠ［16-17］（圖1）作為研究對(duì)象來(lái)進(jìn)行損傷識(shí)別。該模型是一個(gè)4 層2 × 2 跨的鋼框架結(jié)構(gòu)。用于生成標(biāo)準(zhǔn)模型響應(yīng)數(shù)據(jù)的有限元模型有12 個(gè)自由度和120 個(gè)自由度兩種。共有6種損傷工況：除去第一層所有斜撐、除去第一和第三層所有斜撐、除去第一層一根斜撐、除去第一和第三層各一根斜撐、除去第一和第三層各一根斜撐且第一層一個(gè)梁柱連接處松動(dòng)、第一層一根斜撐損失1/3的剛度。

圖1 標(biāo)準(zhǔn)模型Phase ⅠFig.1 Benchmark model of Phase Ⅰ

在損傷識(shí)別中，該模型可簡(jiǎn)化為一個(gè)n= 4 層高的剪切層模型（無(wú)論是x方向或是y方向）。根據(jù)模態(tài)改變修正策略，其質(zhì)量矩陣將設(shè)為主對(duì)角線全為1的單位矩陣（即m1=m2= … =mn= 1），且未發(fā)生損失的結(jié)構(gòu)初始剛度也設(shè)為k01=k02= … =k0n= 1。值得注意的是，模態(tài)改變修正策略采取了類似于“無(wú)量綱化”的思路，無(wú)需獲知結(jié)構(gòu)的真實(shí)質(zhì)量、剛度信息，只需大致的質(zhì)量與剛度分布（通常取為均勻分布）即可進(jìn)行損傷識(shí)別，這正是模態(tài)改變修正策略的優(yōu)勢(shì)所在。

為了更好地討論結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化帶來(lái)的誤差對(duì)識(shí)別結(jié)果的影響，對(duì)標(biāo)準(zhǔn)模型的case 2、case 6 進(jìn)行損傷識(shí)別。這2 個(gè)案例的數(shù)據(jù)由更為復(fù)雜的120 個(gè)自由度有限元模型生成。兩個(gè)案例在不同工況的頻率數(shù)據(jù)［18］見表2。

表2 第2和第6個(gè)模擬仿真案例在不同工況的頻率數(shù)據(jù)Table 2 Natural frequencies for case 2 and case 6

圖2-3 是不同工況的識(shí)別結(jié)果。從case 2 的識(shí)別結(jié)果（圖2（b））中可以看出，與參考文獻(xiàn)結(jié)果（圖3（a））在少數(shù)樓層識(shí)別出了小損傷相比，本文方法僅在有損傷的樓層識(shí)別出了損傷。

圖2（c）中，在識(shí)別case 6 工況1（僅第一層有損傷）時(shí)，本文方法沒有出現(xiàn)參考文獻(xiàn)（圖3（b））中第三層的虛假損傷，體現(xiàn)出本文方法在這個(gè)算例損傷位置識(shí)別上的優(yōu)越性；與參考文獻(xiàn)結(jié)果的相比，其余工況的識(shí)別結(jié)果也識(shí)別得很好。

圖2 標(biāo)準(zhǔn)模型兩個(gè)案例的本文方法識(shí)別結(jié)果Fig.2 Identification results of two cases in Benchmark model by the proposed method

圖3 標(biāo)準(zhǔn)模型兩個(gè)案例在參考文獻(xiàn)［18］的識(shí)別結(jié)果Fig.3 Identification results of two cases in Benchmark model from Ref[18]

對(duì)比圖2（a）與圖2（b），可看出未結(jié)合稀疏正則化的識(shí)別結(jié)果在未損位置均出現(xiàn)了虛假損傷。而結(jié)合稀疏正則化之后可以很好地提高魯棒性，有效減少噪聲對(duì)結(jié)果的影響，準(zhǔn)確識(shí)別出損傷位置及其程度。

不僅如此，從這個(gè)算例可以明顯看出模態(tài)改變修正策略的優(yōu)勢(shì)，即：僅需要得知剪切層算例模型的層數(shù)，不需要真實(shí)質(zhì)量、剛度等信息，就可以通過(guò)損傷前后測(cè)量的模態(tài)數(shù)據(jù)對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行損傷識(shí)別。

2.2 算 例

本例是一個(gè)位于美國(guó)加州的七層假日酒店［19］的震后損傷評(píng)估問(wèn)題。圖4 是該建筑的剪切層模型，布設(shè)的16 個(gè)加速度計(jì)位置均已表示在圖中。它在1994 年經(jīng)歷了洛杉磯北嶺大地震及一些余震后，發(fā)生了嚴(yán)重的損壞。具體裂紋情況見圖5。

圖4 某七層酒店建筑的剪切層模型Fig.4 Shear model of a 7-story building

圖5 七層酒店建筑的南北外部框架損傷示意圖Fig.5 Schematic representation of damage in the exterior north and south frames of the 7-story building

這里要識(shí)別北嶺大地震后該酒店建筑出現(xiàn)的損傷情況。用于損傷識(shí)別的縱向模態(tài)數(shù)據(jù)通過(guò)識(shí)別第9、10、11、12 號(hào)加速度計(jì)的響應(yīng)得出［20］，如表3所示。利用本文方法，結(jié)合第一階頻率與振型數(shù)據(jù)對(duì)該建筑進(jìn)行損傷識(shí)別，結(jié)果見圖6。

圖6 七層酒店建筑的損傷識(shí)別結(jié)果Fig.6 Identification result of the 7-story building by the proposed method

表3 七層酒店建筑于北嶺地震前后的第一階模態(tài)數(shù)據(jù)Table 3 Modal data of the 7-story building before and after the Northridge earthquake

在圖5 的南北外框架損傷示意圖中可以看出，在北面的外部框架上，第一層至第五層均存在不少可視損傷（裂紋）；而在南面，第三與第五層存在可視損傷。對(duì)比識(shí)別結(jié)果（圖6），在出現(xiàn)了可視損傷的樓層（第一至第五層）均識(shí)別出了較大損傷；而且由于第六至第七層沒有可視損傷，因此盡管在第六層識(shí)別出損傷，其程度也比出現(xiàn)可視損傷的樓層明顯較小。在文獻(xiàn)［20］通過(guò)SDI（Story Damage Index）法對(duì)該建筑進(jìn)行損傷識(shí)別的結(jié)果中，一層損傷值是0.64，二層是0.70，三至五層的平均損傷是0.67，六至七層的平均損傷是0.25，可以看出前五層的數(shù)據(jù)與本文的識(shí)別結(jié)果基本一致，而六、七層的平均損傷也與本文的識(shí)別結(jié)果非常接近，這體現(xiàn)出了本文方法對(duì)于該真實(shí)結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別的準(zhǔn)確性。

不同于實(shí)驗(yàn)室的框架結(jié)構(gòu)，對(duì)于真實(shí)建筑而言，想要獲取每一層的剛度信息是非常困難的。而本文方法不需要得知建筑的剛度信息就能較為準(zhǔn)確地識(shí)別出它的損傷，這對(duì)于真實(shí)建筑的損傷識(shí)別有非常重要的意義。

3 結(jié) 論

本文介紹了一種新的剪切層結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別方法，它使用模態(tài)改變修正策略處理模型誤差，引入稀疏正則化克服損傷識(shí)別的非適定性。通過(guò)健康監(jiān)測(cè)標(biāo)準(zhǔn)案例和一個(gè)真實(shí)建筑案例，驗(yàn)證了方法的可行性與準(zhǔn)確性。值得注意的是，本文的方法僅需要得知結(jié)構(gòu)的層數(shù)，不需要結(jié)構(gòu)其他的信息，包括真實(shí)剛度與質(zhì)量等，就可以通過(guò)損傷前后測(cè)量的模態(tài)信息識(shí)別結(jié)構(gòu)損傷。對(duì)于實(shí)際工程結(jié)構(gòu)，獲得質(zhì)量、剛度信息的過(guò)程代價(jià)高昂且十分復(fù)雜，而本文的方法避開了這個(gè)復(fù)雜的過(guò)程，可直接應(yīng)用于真實(shí)結(jié)構(gòu)的損傷快速評(píng)估，具有重要的工程應(yīng)用價(jià)值。