在趣中練在練中思在思中悟
———特級(jí)教師張冬梅《兩位數(shù)乘兩位數(shù)的練習(xí)與思考》片斷賞析

何緒銅

練習(xí)課是數(shù)學(xué)的基本課型，怎樣上好練習(xí)課，歷來(lái)是數(shù)學(xué)教師的困惑和短板。前不久，在四川南充聆聽(tīng)了特級(jí)教師張冬梅上的《兩位數(shù)乘兩位數(shù)的練習(xí)與思考》一課，讓我大開(kāi)眼界，如飲瓊漿，茅塞頓開(kāi)。現(xiàn)將其精彩片斷賞析于后，與同行分享。

【片斷一】

師：同學(xué)們，今天的課堂張老師想從畫(huà)畫(huà)開(kāi)始。（隨后畫(huà)出下圖）

師：同學(xué)們，如果我畫(huà)的是軸對(duì)稱圖形的一半，誰(shuí)來(lái)幫我畫(huà)另一半。

學(xué)生上臺(tái)畫(huà)：

師：如果“好人”也有一條對(duì)稱軸的話，那另一半是（生：人好）；“我愛(ài)你”呢（生：你愛(ài)我）；“喜歡我”呢（生：我歡喜）

課件相機(jī)出示：

好人人好

我愛(ài)你你愛(ài)我

喜歡我我歡喜

師：在我們剛學(xué)過(guò)的兩位數(shù)乘兩位數(shù)中，也有這樣的對(duì)稱現(xiàn)象。

（板書(shū)）：

63×2442×36

42×4884×24

69×6446×96

師：同學(xué)們，能寫幾個(gè)讀音對(duì)稱的算式不算什么，如果你能猜想每組兩個(gè)對(duì)稱的算式有什么秘密，那可不得了！

生：得數(shù)相等。

生：得數(shù)可能相等……

【片斷二】

師：你們學(xué)過(guò)估算嗎？（學(xué)過(guò)）那我們用估算的方法，來(lái)驗(yàn)證一下得數(shù)是否相等，誰(shuí)來(lái)估一估？

生：63×24，我把63看作60，24看作20，那 63×24≈1200；而42×36，把42看作40，36看作40，那 42×36≈1600，這組兩個(gè)算式不相等。

生：我來(lái)估 42×48，因42≈40，48≈50，所以42×48≈2000；而82×24，因82≈80，24≈20，所以82×24≈1600，這組兩個(gè)算式也不相等。

生：我估69×64≈4200，46×96≈5000，也不相等。

師：他們都是用什么方法估的？（四舍五入法）發(fā)現(xiàn)結(jié)果（不相等）。有沒(méi)有不一樣的估法？

生：我是這樣估的，如69×64，把69看作60，64看作 60，那 69×64≈3600；而46×96，把46看作40，96看作90，那46×96≈3600，它們相等。同樣，63×24≈1200，42×36≈1200，它們也相等；42×48≈1600，84×24≈1600，它們還是相等。所以，我覺(jué)得對(duì)稱的兩個(gè)算式得數(shù)相等。

師：這位同學(xué)把兩個(gè)數(shù)往小估，結(jié)果相等了。那你現(xiàn)在覺(jué)得要知道兩個(gè)算式的得數(shù)是不是相等，用估算來(lái)判斷，行嗎？

生：不行。

師：需要怎么算？

生：筆算。

（學(xué)生筆算）

師：現(xiàn)在有答案了嗎？

生：它們的得數(shù)是相等的。

小結(jié)：兩位數(shù)乘兩位數(shù)，兩個(gè)“對(duì)稱”算式的積相等。

師：像這樣，根據(jù)幾個(gè)例子得出一個(gè)結(jié)論，叫做不完全歸納法。

【片斷三】

講故事：1962年，華羅庚給中學(xué)生講了一個(gè)“公雞一天一把米的故事”，有人買了一只公雞，他第一天給公雞喂1把大米，第二天也給公雞喂1把大米，第三天還是給公雞喂1把大米，這樣一直喂到了100天，公雞的心里會(huì)得出什么結(jié)論？

生：公雞想啊，主人一定每天都會(huì)給我1把大米。

師：公雞是用什么方法得出結(jié)論的？（不完全歸納法）結(jié)論正確嗎？（正確）可是，第100天主人家來(lái)客人了，主人不但沒(méi)給公雞1把大米，還把公雞殺了招待客人。

師：公雞的結(jié)論還正確嗎？（不正確）

師：由此看來(lái)，不完全歸納法有時(shí)是正確的，有時(shí)是不正確的。聽(tīng)了這個(gè)故事，你對(duì)剛才的結(jié)論，有懷疑了嗎？（有點(diǎn)）怎么辦？

生：舉例子。

師：只要找到一個(gè)反例，就能證明這個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的。

（學(xué)生舉例子驗(yàn)證）

生：我找到了反例12×12和21×21。（教師板書(shū)）

師：不計(jì)算，用智慧的眼睛來(lái)判斷得數(shù)是否相等？

生：看它們的個(gè)位，12× 12，個(gè)位2乘個(gè)位2等于4，積的個(gè)位應(yīng)是4；21×21，個(gè)位1乘個(gè)位1等于1，積的個(gè)數(shù)是1，所以不等。

師：還有別的判斷方法嗎？

生：看它們的十位，10× 10=100，20×20=200，所以不相等。

生：精算加估算，12× 12=144，而21×21估算等于400多，所以不會(huì)等。

師：我再舉一個(gè)例子78× 54和45×87，有沒(méi)有辦法，用眼睛算？

生：估算，80×40≈3200，70×50≈3500，不相等。

生：看個(gè)位，8×4=32，5× 7=35，不相等。

師：有了反例，說(shuō)明什么呢？

生：剛才的結(jié)論是錯(cuò)誤的。

【片斷四】

師：為什么張老師剛才舉的例子都是相等的呢？難道張老師不是隨便舉的嗎？這里面是不是藏著什么秘密呢？

（同桌間互相交流）

生：我發(fā)現(xiàn)63×24的十位相乘6×2=12，個(gè)位相乘3× 4=12是相等的。

生：我也看出來(lái)了42×48的十位相乘2×8=16，個(gè)位相乘4×4=16也是相等的。

生：我發(fā)現(xiàn)78×54的十位相乘7×4=28，個(gè)位相乘8× 5=40，不相等。

師：看來(lái)，對(duì)稱算式的積相等是有條件的。

生：十位乘積等于個(gè)位乘積的兩位數(shù)乘兩位數(shù)，“對(duì)稱”的兩個(gè)算式的積才相等。

師：如果接著繼續(xù)舉例子，又該舉什么樣的例子呢？

生：舉十位乘積等于個(gè)位乘積的兩位數(shù)乘兩位數(shù)的例子，來(lái)驗(yàn)證剛剛得出的結(jié)論。

【感悟】

一、在趣中練，自然無(wú)聲

一堂本無(wú)趣且單調(diào)的計(jì)算練習(xí)課，在張老師的課堂上變得如此有趣和靈動(dòng)。整節(jié)課，張老師沒(méi)有走估算——筆算——驗(yàn)算——變式算的流程，沒(méi)給學(xué)生計(jì)算任務(wù)指標(biāo)，沒(méi)提計(jì)算速度方法，但學(xué)生整節(jié)課都在算，有人算得面紅耳赤也不停止，有人一節(jié)課算了20多道題，幾乎全體學(xué)生都主動(dòng)自覺(jué)地參與到了估算、筆算、驗(yàn)算的練習(xí)中，“要我算”真正變成了“我要算”“我想算”。計(jì)算訓(xùn)練的目的達(dá)到了，學(xué)生的計(jì)算技能悄然生長(zhǎng)了，這一切都發(fā)生得那么自然無(wú)聲，這不得不讓人嘆服，讓人刻骨銘記。仔細(xì)品味，精彩的背后，源于一個(gè)“趣”字，“趣”源于一個(gè)數(shù)學(xué)上的計(jì)算規(guī)律，“規(guī)律”的熠熠生輝源于張老師深邃的數(shù)學(xué)眼光和卓越的數(shù)學(xué)智慧。兩位數(shù)乘兩位數(shù)的對(duì)稱算式中，除諸如15伊51、23伊32類的回文算式外，具有相等規(guī)律的僅“12伊42、12伊63、12伊84、13伊62、13伊93、14伊82、23伊64、23伊96、24伊63、24伊84、26伊93、34伊86、36伊84、46伊96”這14個(gè)，張老師能將之捕獲到，足可見(jiàn)其數(shù)學(xué)素養(yǎng)之深厚。為讓該數(shù)學(xué)規(guī)律更具誘惑力，張老師以對(duì)稱的樹(shù)葉、讀音對(duì)稱的文字為誘餌，巧妙設(shè)計(jì)了“片斷一”，引出對(duì)稱算式，讓猜想“算式規(guī)律”閃亮登場(chǎng)，一開(kāi)課就套住了學(xué)生的心，達(dá)到了“在趣中練，自然無(wú)聲”境界。

二、在練中思，心中留痕

說(shuō)到計(jì)算練習(xí)課，師生的第一反應(yīng)是大量計(jì)算、反復(fù)訓(xùn)練，只需要熟練掌握方法，形成技能技巧，不需要多少思考。因之“思考”就成了計(jì)算練習(xí)課的軟肋。張老師盯住軟肋，設(shè)計(jì)了核心問(wèn)題“兩個(gè)對(duì)稱的算式，得數(shù)相等嗎？”圍繞核心問(wèn)題，張老師按照“估算——出現(xiàn)矛盾結(jié)果——筆算——得出結(jié)論；講故事——學(xué)生起疑——舉反例——推翻結(jié)論；回頭看——悟出規(guī)律”的流程展開(kāi)教學(xué)，遵循了“猜想——驗(yàn)證——舉反例——揭本質(zhì)”這一概念形成的規(guī)律。整節(jié)課，學(xué)生的思維始終都處在“產(chǎn)生矛盾——解決矛盾，實(shí)現(xiàn)平衡；質(zhì)疑結(jié)論——產(chǎn)生新矛盾，打破平衡；回頭看——找到規(guī)律，實(shí)現(xiàn)新平衡”的狀態(tài)中，經(jīng)歷著反復(fù)的折騰，學(xué)生的內(nèi)心有初試成功的興奮，有推翻結(jié)論的失落，有柳暗花明的狂喜，一波三折，學(xué)生的心里一定會(huì)烙下了思考的痕跡。整節(jié)課，教師很少講，有的只是偶爾的提醒，但為了證明“兩個(gè)對(duì)稱的算式，得數(shù)相等”這一猜想，學(xué)生主動(dòng)思維，口算、筆算、驗(yàn)算并用，既溝通了算法，優(yōu)化了知識(shí)結(jié)構(gòu)，還從中學(xué)到了如何思考、如何找本質(zhì)，促進(jìn)了思維的發(fā)展。

三、在思在悟，腦洞大開(kāi)

張老師通過(guò)“片斷三”，給學(xué)生精心布置了一個(gè)“山重水覆疑無(wú)路”的場(chǎng)景，誘發(fā)出了學(xué)生的“悱憤”狀態(tài)，讓學(xué)生的思維在失落挫敗和不甘心中煎熬。這時(shí)，張老師出現(xiàn)了，一句“為什么張老師剛才舉的例子都是相等的呢？難道張老師不是隨便舉的嗎？這里面是不是藏著什么秘密呢？”看似問(wèn)話的問(wèn)題，學(xué)生再次匯聚智慧，聚集數(shù)據(jù)本身，終于腦洞大開(kāi)，恍然大悟，原來(lái)對(duì)稱算式的積相等是有條件的，要在“十位乘積等于個(gè)位乘積相等”時(shí)候才成立。規(guī)律由學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)，結(jié)論由學(xué)生自己得出，學(xué)生享受到了大徹大悟的快感，這種快感將是讓學(xué)生熱愛(ài)數(shù)學(xué)、繼續(xù)思考的動(dòng)力。