對比解讀教材引領(lǐng)有效教學(xué)
———以《有余數(shù)除法》教學(xué)為例

徐建麗

解讀教材的方法眾多，筆者認為，把同一版本修訂前、后的教材進行對比解讀，找出變化之處，厘清改動本意，探求教學(xué)啟示，也是非常有價值的。本文以人教版教材中《有余數(shù)除法》一課的教學(xué)內(nèi)容為例，談?wù)勅绾瓮ㄟ^對比解讀教材來引領(lǐng)有效教學(xué)。

一、對比解讀，關(guān)注變化

仔細研讀新舊教材關(guān)于“有余數(shù)除法”教學(xué)內(nèi)容的編排，發(fā)現(xiàn)主要在以下五個方面發(fā)生了較大變化。

1．調(diào)：舊教材《有余數(shù)除法》是三年級上冊第四單元的教學(xué)內(nèi)容，現(xiàn)在調(diào)到了二年級下冊第六單元。

2.分：舊版教材中，這一單元的教學(xué)安排5個課時的內(nèi)容；而新版教材中，這一單元的教學(xué)安排了7個課時的內(nèi)容，具體如下：

2001年　2014年內(nèi)容　課時　內(nèi)容　課時表內(nèi)除法豎式的意義　1　認識有余數(shù)的除法　1有余數(shù)除法的豎式、余數(shù)的含義　1　余數(shù)和除數(shù)的關(guān)系　1有余數(shù)的除法練習(xí)課　1　認識除法豎式　1有余數(shù)除法的應(yīng)用題　1　用豎式計算有余數(shù)的除法　1有余數(shù)除法應(yīng)用題練習(xí)課　1　解決問題（一）　1解決問題（二）　1小小設(shè)計師　1

新教材編排有較大的變化，把認識余數(shù)的除法、理解余數(shù)和除數(shù)的關(guān)系分為2課時。第1課時著重于理解有余數(shù)除法的意義，第2課時著重理解余數(shù)與除數(shù)的關(guān)系，第3、4課時才真正學(xué)習(xí)有余數(shù)除法的計算方法。除法豎式學(xué)習(xí)從第1課時調(diào)整到第3課時。

3．換：舊教材的情境采用的是關(guān)于“擺花盤布置會場”的主題（圖1），新教材以“擺圖形”、“分草莓”的活動導(dǎo)入（圖2、圖3）。

圖1

圖2

圖3

4．補：舊教材中在認識余數(shù)意義之后的“做一做”為兩道式子計算，在“理解余數(shù)與除數(shù)的關(guān)系”之后的“做一做”是三道算式辨別題（圖4）。

圖4

新教材中的在“認識余數(shù)意義”之后的“做一做”是“圈一圈，填一填”，學(xué)生通過圈、填、寫，理解有余數(shù)的除法算式。在理解余數(shù)與除數(shù)的關(guān)系之后的“做一做”是一道開放題，用一堆小棒擺五邊形，探究余數(shù)可能出現(xiàn)的情況（圖5）。

圖5

5.拓：舊教材的應(yīng)用練習(xí)題以有余數(shù)除法的計算為主，形式以填空、豎式計算、判斷改錯、簡單問題解決為主。新教材除了以上內(nèi)容，還拓展了“周期問題、租船問題、租房問題”等，拓寬了有余數(shù)除法應(yīng)用研究的時空。

二、分析原因，厘清意圖

新教材對舊教材做了五處改動。為什么會有這樣的改動？改動背后隱藏著怎樣的理念與意圖呢？

1援新教材更加注重意義本質(zhì)。

新教材將本節(jié)課從三上移到二下，讓學(xué)生在學(xué)完《表內(nèi)除法》后接著學(xué)習(xí)《有余數(shù)除法》——通過比較“平均分分完了與平均分后有剩余”的不同，突出了余數(shù)的本質(zhì)意義。教材中沒有出現(xiàn)“有余數(shù)除法”的嚴格定義，而是采用直觀描述的方法進行介紹,以問題“余數(shù)表示什么”引起思考。對此，我們有必要了解什么是有余數(shù)除法。

“有余數(shù)除法”的概念在《小學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論和教法》中被定義為：“已知兩個數(shù)a、b（b是自然數(shù)），要求兩個整數(shù)q、r，使q、r滿足以下條件：a=bq＋r，r＜b。這樣的運算叫做有余數(shù)除法。一般記作：a÷b=q…r，讀作：‘a(chǎn)除以b等于q余r’?！崩斫庥杏鄶?shù)除法的同時，不得不提起與有余數(shù)除法直接相關(guān)的一個定理——整除定理：設(shè)a、b是兩個給定的整數(shù)，且b≠0，如果存在唯一的一對整數(shù)q與r，滿足a=bq＋r，0≤r＜a。那么，b|a的充要條件是r＝0。如此看來，整除與有余數(shù)除法這兩個概念是并列關(guān)系而不是包含關(guān)系，不能把整除看作特殊的有余數(shù)除法（余數(shù)為0）。

2.新教材更加注重操作體驗。

過去，對有余數(shù)除法的教學(xué)往往倚重于計算，而不是把重點放在意義的理解上。新教材將教學(xué)內(nèi)容在課時上一分為二，“余數(shù)的含義”以及“余數(shù)和除數(shù)的關(guān)系”分成2個課時學(xué)習(xí)，除法豎式學(xué)習(xí)從第1課時調(diào)整為第3課時，在余數(shù)意義理解之后再學(xué)習(xí)。這樣的編排，突出了對余數(shù)除法意義的理解。

新教材比舊教材更加注重操作體驗。舊教材給學(xué)生的感覺是有余數(shù)除法就是計算題，只要會計算就可以了，顯然這樣的理解是有失偏頗的。新教材非常注重學(xué)生操作活動的設(shè)計并提供了大量的素材，通過擺圖形、分草莓、分鉛筆等多個、多次分物活動，引導(dǎo)學(xué)生把直觀形象與抽象概括相結(jié)合，采取邊說邊操作，邊討論邊操作等方式，讓手、腦、口并用，獲得數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。大量操作活動的設(shè)計，不僅幫助學(xué)生親身體驗，積淀直接的抽象經(jīng)驗和歸納演繹的經(jīng)歷，而且更好地實現(xiàn)了橫向數(shù)學(xué)化。

3.新教材更加注重難點突破。

有余數(shù)除法的結(jié)果涉及“兩個單位”，這是正確理解有余數(shù)除法意義的一個難點。相比舊教材，我們會發(fā)現(xiàn)新教材有意識地讓學(xué)生結(jié)合具體情境，通過直觀解釋，幫助學(xué)生克服單位填寫的困難。新教材中有余數(shù)算式的出現(xiàn)，大多是“情境——操作——算式［□÷□=□（ ）…（ ）］”的模式，單位已經(jīng)標注，通過填寫單位名稱和答案，引導(dǎo)學(xué)生在多次關(guān)注中加深理解余數(shù)除法的意義。

三、理解變化，有效教學(xué)

1.重視有余數(shù)除法的教學(xué)價值。

在小學(xué)教學(xué)中，有余數(shù)除法是常見的運算，它不僅存在于多位數(shù)除法的計算過程中，而且應(yīng)用于解決周期問題中。初等數(shù)論的證明中最重要、最基本、最常見的工具是有余數(shù)除法，也稱為除法算法。有余數(shù)除法的重要性不只是體現(xiàn)在算術(shù)計算中，而且也是數(shù)論證明的重要工具。所以，有余數(shù)除法不能只作為計算的一部分內(nèi)容，只要求學(xué)會算題，而應(yīng)該充分重視其價值，理解其意義。

2.經(jīng)歷數(shù)學(xué)化過程，發(fā)展建模能力。

“有余數(shù)除法”是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)化的經(jīng)典課題。弗賴登塔爾說：“用數(shù)學(xué)方法把實際材料組織起來，這在今天叫做數(shù)學(xué)化?！睂⒎菙?shù)學(xué)的內(nèi)容數(shù)學(xué)化，就是將這些內(nèi)容組織成合乎數(shù)學(xué)準確性要求的結(jié)構(gòu)。

在課堂教學(xué)中，教師可以通過蘋果、草莓、小棒、豆子等實物，來幫助學(xué)生理解余數(shù)概念。

【片斷一】

師：請大家把9個蘋果平均放到3個盤子里，先動手分一分，再用算式表示，并解釋算式的意義。

生：（動手分后）9衣3=3。

師：（1）把9個蘋果平均放到2個盤子里，動手分。能否用算式來表示呢？（2）將9個蘋果平均分到4個盤子中，動手分，用算式表示，并解釋意義。

生：9衣2=4多1，9衣4=2多1。

師：我們通常用這樣的算式來表示，9衣4=2…1。誰來解釋這個式子的意義？

要分的蘋果數(shù) 盤子數(shù) 每個盤子中的蘋果數(shù) 剩余的個數(shù)

師生歸納余數(shù)的概念。

上述片斷的教學(xué)核心，在于幫助學(xué)生經(jīng)歷現(xiàn)實問題數(shù)學(xué)化的過程，獲得數(shù)學(xué)建模的直接經(jīng)驗和體驗，完成建模過程，即現(xiàn)實問題——數(shù)學(xué)問題——數(shù)學(xué)問題的解——現(xiàn)實問題的解。

3.尋找規(guī)律，理解規(guī)則。

余數(shù)為什么要比除數(shù)??？教師通常引導(dǎo)學(xué)生這樣思考，以分物品的活動為例，“如果余數(shù)比除數(shù)大了就還可再分”。其實，這樣解釋既不符合生活現(xiàn)實，也不符合數(shù)學(xué)邏輯。如果沒有規(guī)定余數(shù)要比除數(shù)小，那么就會有不同的計算結(jié)果，這在數(shù)學(xué)中一般是不允許的。因此余數(shù)要比除數(shù)小，是為了保證計算結(jié)果的唯一性。如何讓學(xué)生理解這一規(guī)定呢？

【片斷二】

師：用8根小棒擺正方形，能擺幾個？

生：擺2個。8衣4=2。

師：先想一想，有9、10、11根小棒的話，可以擺幾個正方形，還剩幾根小棒？再用算式表示。

生：9衣4=2…1，10衣4=2…2，11衣4=2…3。

師：觀察以上三個算式，你能接著寫出下一個算式嗎？

生：12衣4=2…4。

師：你是怎么想的？

生：被除數(shù)增加1，余數(shù)也增加1。

師：是這樣嗎？有不同的想法嗎？

生：12衣4=3，沒有余數(shù)。

師：為什么余數(shù)沒有了？

生：余數(shù)有4根，就可以再擺一個正方形了（用12根小棒操作一次）。

師：照這樣的規(guī)律繼續(xù)往下寫，你能寫出哪些算式呢？

生：13衣4=3…1，14衣4=3…2，15衣4=3…3。

師：請觀察以上6個算式，有什么規(guī)律？關(guān)注余數(shù)的變化，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：除數(shù)都是4，余數(shù)都是1、2、3。

生：余數(shù)都比4小。

師：真的嗎？交流一下，這是為什么？

生：余下如果有4根，就可以擺成一個新的正方形。

師：用一堆小棒擺五邊形，如果有剩余，可能會剩幾根小棒？

……

上述片斷的教學(xué)核心，在于學(xué)習(xí)的素材是兩組各3個有聯(lián)系的除法算式，算式除數(shù)、商相同，相似度高，學(xué)生自然而然會把注意力集中到被除數(shù)有序變化，余數(shù)有序變化，很快發(fā)現(xiàn)余數(shù)周期性變化的規(guī)律。學(xué)生發(fā)現(xiàn)了這個變化的周期，也就容易理解余數(shù)要比除數(shù)小了。

綜上所述，通過對同一版本的前、后修訂教材的對比解讀，我們可以比較準確地把握教材的設(shè)計意圖，在此基礎(chǔ)上再進行一系列的分析思考，如素材是否需要調(diào)整，是否需要補充，怎樣對教材素材進行二次加工、開發(fā)等，不僅能夠促使我們合理有效地用好、用活教材的素材，抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)，而且可以通過大膽地對教材的呈現(xiàn)方式進行適當加工、改造、優(yōu)化或重構(gòu)，做到創(chuàng)造性地“用教材”。