感悟智深：追求“真正意義上的理解”

“理解”是《義務(wù)教育數(shù)學課程標準》中描述結(jié)果目標的行為動詞之一，等同于認識、會。內(nèi)涵解釋為能夠通過對對象的特征和由來的描述，順著脈理或條理進行剖析，并對相關(guān)對象之間的區(qū)別和聯(lián)系能夠說理分析。

小學數(shù)學課堂教學新知學習不能停留在“形式化的定義”，要做到“真正意義上的理解”，要讓學生對新知的理解更全面、更深入，真正理解知識的本質(zhì)屬性。然而，當下一些數(shù)學課堂，教師定位于對數(shù)學知識的描述與獲得的結(jié)果，熱衷于“簡單、快捷”的方式，忽略“意義理解”，以使學生能夠迅速呈現(xiàn)“做法”與“結(jié)果”，至于“做法的緣由”“結(jié)果的生長原點”“相關(guān)知識的聯(lián)系與區(qū)別的分析”卻知之甚少。對此，我認為學生真正理解知識，不在于能否說出它的“定義”，而在于能否把握知識的本質(zhì)特征，能否在具體的情境中正確運用知識解決問題。

一、聚焦：理解“缺位”現(xiàn)象掃描

鏡頭一：三年級下冊《乘法》單元第一課時《兩位數(shù)乘以兩位數(shù)》，內(nèi)容先讓學生通過列橫式分步計算，然后出現(xiàn)豎式，接著讓學生探索豎式每一步的意義，得到結(jié)果。一些課堂把分步算法與列豎式孤立開來，重點教學豎式的格式、算法，忽視列豎式的基礎(chǔ)、每一步的意義，忽視豎式形成的過程，致使學生把解決此問題的理解定位于“用豎式計算”。

鏡頭二：教學幾何圖形周長和面積時，教學過程都會安排操作、過程描述、推理驗證等，最終得出圖形的周長或面積公式，但一些課堂把公式作為教學的主要目標，長時間的記憶和大量練習運用，致使一些學生腦中就產(chǎn)生了“長方形的周長是（長+寬）×2”“三角形的面積就是底×高÷2”。

鏡頭三：教學三年級上冊內(nèi)容時，總會碰到一些“誰比誰多（少）幾”的實際問題，學生在二年級時應(yīng)該有了一定的經(jīng)驗，但到了三年級卻還出現(xiàn)大量錯誤，“多”就是“加”，“少”就是“減”這種錯誤影響頗深。究其原因，一些教師忽略細化分析，一味追求大練習量，再加上低年級學生思考簡單、落筆迅速、易模仿、易固化的思維特點，此內(nèi)容成為錯誤頑疾。

縱觀以上常見的課堂教學現(xiàn)象，可以歸納為兩類：

1.壓縮理解空間，過程“快餐式”。一些課堂片面追求“短時高效”“當堂掌握”，高密度、大劑量操練。教學中教師在簡單了解知識基礎(chǔ)后，便直接講授新知內(nèi)容的解決方法，然后便是大量的訓練，從課堂效果看學生掌握得較好。但問及“為什么可以這么做？”能夠回答的學生甚少。原因是教師的教學行為直接影響了學生的學習行為，將新舊知識割裂開來，導致學生重視新知的記憶，忽視知識之間的聯(lián)系和方法的形成過程，因而造成學生輕視過程理解，側(cè)重于即得方法的運用。

2.忽略系統(tǒng)貫通，知識“零碎化”。一些課堂注重單個知識點的教學，對于新舊知識的聯(lián)系、知識的形成過程、與其他知識點的比較不重視，使學生看似掌握了新知，其實學生并沒有形成內(nèi)在的知識體系。建構(gòu)主義的觀點認為“學習一個數(shù)學概念、原理、法則，如果在心理上能組織起適當?shù)挠行У恼J知結(jié)構(gòu)，并使之成為個人內(nèi)部的知識網(wǎng)絡(luò)的一部分，那么才說明是理解了?！痹趯W習中，教學只有引導對學生的新知識點進行透徹分析，加強知識間的比較，體驗思維深刻過程，這樣的理解才會走向深入。

二、剖析：理解“缺位”的原因分析

1.“結(jié)果短期化”影響。一些教師受“短期效益”影響，把目光放在一堂課的教學效果上，認為通過反復(fù)的強化練習，知識點落實了，學生的理解力也就增加了。其實這種效果往往是短期的、表面的，只有量的累積，知識是無法產(chǎn)生“化學效應(yīng)”的。從深層次看，簡單、封閉的教學會因為問題的設(shè)計缺乏挑戰(zhàn)性，學生未能經(jīng)歷深層次的思考，學生對知識的理解停留在表面。況且，學生疲于應(yīng)付反復(fù)的操練和一遍遍的強化，這種反復(fù)操練、強化記憶的學習不是真正的數(shù)學學習。所以，知識理解不應(yīng)建立在多次的強化和操練上，那種淺嘗輒止的教學認識，增加了學生的學習負擔之外，還讓原先有趣的數(shù)學變得“枯燥”“乏味”“不可捉摸”。

2.“過程無序化”影響。課堂教學程序是課堂運行的結(jié)構(gòu)，由教材內(nèi)容的邏輯順序與學生的心理順序相互決定的。研究表明，學生思維的“序”只有與教學內(nèi)容的“序”一致，才能充分經(jīng)歷知識發(fā)生、形成和發(fā)展的過程，促進知識的理解和掌握。但一些教師呈現(xiàn)材料不注意其內(nèi)在的邏輯順序，不會挖掘教材，無法形成具有層次推進的教學結(jié)構(gòu)，也就不能促使學生有序地觀察、比較和思維，進而對學生實質(zhì)性地理解知識和解決問題帶來一定的困難，即使花費更多的時間，學習的效率也降低了。所以安排合適的秩序，才能產(chǎn)生理想的教學效率，才能促進數(shù)學理解。

3.“工具性理解”影響。數(shù)學學習中，“理解”無疑是第一位的，學生在學習數(shù)學知識的過程中通常有兩種含義迥然不同的數(shù)學理解模式：工具性理解和關(guān)系性理解?？赡芪覀冊诮虒W實踐中常常關(guān)注的是工具性理解，因為它能更快更可靠地得到正確的答案，學生也就把學習變成了找正確答案的法則和算法的過程，長此以往，學生的思維就必然走向僵死。數(shù)學是思維的體操，數(shù)學教育的終極目標是提高學生以思維能力為核心的數(shù)學素養(yǎng)，學會“用數(shù)學的眼光去認識自己所生活的環(huán)境與社會”，學會“數(shù)學地思考”，而不是一味地解題找答案。所以，過分突出工具性，忽略關(guān)系性思維，會讓數(shù)學失去“魅力”。

三、實踐：建立有意義的理解

1.建立聯(lián)系，把握“理解”因素

數(shù)學中的“理解”，主要表現(xiàn)為我們能否在各個數(shù)學概念與知識之間建立更多、更強的聯(lián)系。在教學中，要將新的材料與學生原有的認知結(jié)構(gòu)建立起實質(zhì)性的聯(lián)系，幫助學生建立數(shù)學知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而促進學生在先前理解知識的新情況下產(chǎn)生新理解，使已有的理解不斷拓展、深化。endprint

（1）新舊知識聯(lián)系。例如當學生歸納出乘法分配律后，不必急于進入應(yīng)用環(huán)節(jié)，可以引導學生回顧三年級學習的兩位數(shù)乘以一位數(shù)的口算方法：23×3先算20×3，再算3×3，最后加起來；三年級長方形周長的兩種算法：25×2+15×2，（25+15）×2，進一步說明為什么乘法分配律左、右兩邊的式子是相等的這一合理性。這樣有意識地溝通了新舊知識的縱橫聯(lián)系。

（2）知識內(nèi)在聯(lián)系。例如《認識面積》一課，學生已學長度單位，現(xiàn)在學習面積概念及面積單位，高年級還要學習多邊形面積計算，這些知識具有內(nèi)在聯(lián)系性，所以這課首先應(yīng)考慮整體性設(shè)計，注意部分與整體之間的聯(lián)系，幫助學生整體建立知識體系，要讓學生感知所學知識是有基礎(chǔ)的，是對后續(xù)知識學習有幫助的，不是孤立零碎的，以此提高學生對內(nèi)在知識的溝通能力。

（3）與生活經(jīng)驗聯(lián)系。例如學生初步認識一位、兩位小數(shù)后，可以開設(shè)一個課堂小超市，讓學生自己寫好小數(shù)去購買文具用品，接著交流在其他地方見過已學到的小數(shù)，沒學過的小數(shù)……這一環(huán)節(jié)在學生饒有興趣的“購物”中，體會小數(shù)客觀存在，且與生活緊密聯(lián)系，接著讓學生舉不同的小數(shù)，培養(yǎng)了學生的觀察力和自我學習力。

2.催生孵化，設(shè)計“理解”過程

數(shù)學教學的本質(zhì)是要讓學生學會數(shù)學地思維。教師在課堂教學時要增設(shè)思維孵化的機會，注重啟發(fā)，引領(lǐng)學生對新的學習材料進行深入分析，并與原有的認知建立起實質(zhì)聯(lián)系，讓學生在新知建構(gòu)中隨思維演變慢慢孵化、生長。

（1）“由外打破”轉(zhuǎn)為“由內(nèi)突破”。例如：三年級《兩三位數(shù)除以一位數(shù)》一課，出示以下情境圖：

學生列式后，設(shè)計了如下問題：“你想怎么算呢？能用畫圖、文字或算式說明嗎？”

學生通過自主思考，呈現(xiàn)了許多作品，雖然只展現(xiàn)了分的過程，但其實已經(jīng)展現(xiàn)學生由“圖—文字—式”思維的數(shù)學化過程。相機，我又提出以下幾個問題：“這么多的分法其實都是先分什么，再分什么？”“都是先算什么，再算什么？”“哪種方法你覺得既簡潔又包含了全部分的過程，為什么？”這些帶有“啟發(fā)性”的問題讓學生對眾多分法有了更深入的了解，對豎式計算的算理有了新認識，為引入豎式鋪平道路。

（2）“直接告知”轉(zhuǎn)為“意義接納”。例如，四年級《近似數(shù)》一課，其內(nèi)容之一是用“四舍五入”的方法省略一個大數(shù)的尾數(shù)求近似數(shù)?！八纳嵛迦搿狈ㄊ菙?shù)學中的常用基本方法，直接講授也未必不可，但學生腦中總會出現(xiàn)為什么可用“四舍五入”法，省略尾數(shù)為什么只要看尾數(shù)的最高位等問題？針對這兩個問題，我設(shè)計了如下環(huán)節(jié)：

任意寫一個480000和490000之間的數(shù)，很快說出它接近四十幾萬，近似數(shù)是多少？

師：0301，0501，0999，為什么還是48萬？關(guān)鍵看什么？

生：關(guān)鍵看尾數(shù)的最高位上的數(shù)，其他數(shù)不起作用。

師：如果改1999，2999，3999，49999，5999，6999， 9999，近似數(shù)分別是多少呢？

師：以上的變化中，你覺得尾數(shù)的最高位上的數(shù)字怎么看？（0—4，4或小于4就省略，寫近似數(shù)時其他都寫0。5—9，5或大于5，就在尾數(shù)前一位加1，其他數(shù)位都寫0）

小結(jié)：其實你們說的方法就是我們數(shù)學中求近似數(shù)的方法叫“四舍五入法”，求一個數(shù)的近似數(shù)要看保留到哪一位，把它后面的尾數(shù)省略。尾數(shù)的最高位上的數(shù)如果是4或比4小，就舍去稱“4舍”；如果是5或5以上的數(shù)，就在尾數(shù)前一位加1，稱“5入”，這就是“四舍五入法”。

以上例子說明教師不僅要教學“是什么”，更要教學“為什么是”，學生不僅能知道結(jié)論，更能理解如何得來的。

3.體驗直觀，建立“理解”平臺

數(shù)學具有抽象性與概括性，直接理解有困難。教學時可以借助直觀教學法，通過多種形式感知，豐富學生直接經(jīng)驗，使學生獲得生動的表象，最終通過自己的思維對學習對象獲得抽象化理解。所以我們在研究數(shù)學問題時，可以化數(shù)為形，把抽象的數(shù)學問題直觀化、生動化，變抽象思維為形象思維，以此提高解決問題的能力。

（1）直接經(jīng)驗解釋疑問。教學乘加乘減混合運算后，總會有同學問：“為什么要先算乘法？”顯然我們不能以“那有什么為什么，就是應(yīng)該先算乘法？”于是我根據(jù)3+8×5設(shè)計：小明到商店購買文具用品，買了一塊橡皮3元，買了5支自動鉛，每支8元，一共多少錢？如果用加法就是3+8+8+8+8+8，而我們都習慣用乘法先算5支自動鉛的錢，再加上橡皮的錢。于是我說：“加減是數(shù)量關(guān)系變化的低級形式，先有了加減法，然后在相同加數(shù)連加和遞減相同數(shù)的基礎(chǔ)上，產(chǎn)生簡便算法乘法和除法，乘除法是比加減法更高級的算法。高級的算法比起低級的算法來，計算的效率更高。因此，在乘加和乘減的混合運算中，規(guī)定先算乘法?！?/p>

（2）直觀圖形描述分析。面對較復(fù)雜的數(shù)學問題，通過畫草圖與交流，讓學生感受到畫圖能清楚地理解題意。例如：樂器隊人數(shù)是籃球隊的3倍，樂器隊人數(shù)比籃球隊多24人。樂器隊和籃球隊各有多少人？此題條件之間的關(guān)系比較復(fù)雜，顯然畫出圖就能很簡單地理解題意了。因而對其解法不容易理解，可以借助直觀圖，使學生通過對所畫的圖進行觀察和思考，分析其數(shù)量關(guān)系，算法就比較容易確定了，假設(shè)沒有圖示來幫助，要想得出它的算法，就要困難得多。

（3）幾何直觀化解難點。數(shù)學中有一些較難的知識點，我們可以借助幾何直觀進行思維，揭示對象的性質(zhì)和關(guān)系，化解難點，提高學生的思維深度。例如：1.50比1.5精確度更高。1.450-1.549，四舍五入，精確到十分位都是1.5；1.495-1.504，四舍五入，精確到百分位都是1.50。然后出示下列線段圖：

讓學生觀察數(shù)的范圍，哪個圖上涵蓋的數(shù)的范圍更?。糠秶酱?，涵蓋的數(shù)與真值越遠，范圍越小，說明涵蓋的數(shù)與真值越接近，所以1.50精確度就更高。

（4）直觀操作提升思維。操作是智力的起源，思維的起點。只有當預(yù)設(shè)轉(zhuǎn)變?yōu)榭梢圆僮鞯幕顒訒r，學生的理解行為才可能發(fā)生。因此，教學活動要為學生提供必要的直觀材料，以便他們在動手操作中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，掌握方法，積累經(jīng)驗。例如教學三年級《認識周長》一課，課前安排學生自帶樹葉和毛線，先讓學生用毛線把帶的樹葉圍起來，學生在慢慢圍的過程中體會到樹葉邊一周的長度就是樹葉面的周長，接著讓學生展示毛線圍出不同的樹葉的周長，觀察到周長是有大小的，接著把毛線拉直，明白周長有長度，可以丈量的。于是又讓學生把同一根毛線圍成不同的形狀，體會周長相同，形狀可以不同。通過以上不同的操作，理解了概念，提升了思維。endprint

4.學會思考，組織“理解”活動

學生的數(shù)學“理解”實質(zhì)是一個深入思維的過程，數(shù)學教學的重要目標就是培養(yǎng)學生的思考能力。教學中要注意突破邏輯順序的束縛，幫助學生從更為廣泛的角度去認識概念和知識之間的聯(lián)系，從數(shù)學思維的角度去進行分析思考，從而深化學生的認識，幫助他們真正學會數(shù)學地思考。

（1）善于深入思考。教學五年級《釘子板上的多邊形》一課，開始讓學生觀察釘子板上不同的圖形，提問：“你發(fā)現(xiàn)什么？”“我發(fā)現(xiàn)有多個不同的圖形，它們的面積不同？”“面積不同，那面積的大小與什么有關(guān)呢？”“長和寬或底和高的長度有關(guān)?！薄俺诉@些，你還知道面積可能與什么有關(guān)？”沒有學生回答了，我引導學生思考：“今天我們學習釘子板上的多邊形，你覺得可能與什么有關(guān)？”“釘子數(shù)”“好的，每個圖形圍起來時，有的在邊上，我們稱形上釘子，有的在圖形內(nèi)，我們稱為形內(nèi)釘子，現(xiàn)在你猜猜面積可能與什么有關(guān)？”我覺得與形上釘子數(shù)和形內(nèi)釘子數(shù)有關(guān)”“為什么？”“我發(fā)現(xiàn)如果形內(nèi)有1個釘子的話，形上釘子數(shù)不同，面積也可能不同，但是形內(nèi)釘子數(shù)多出來的話，也改變面積的”“好的，那你覺得可以怎么去研究？”“先從形內(nèi)1個釘子數(shù)開始研究”“不錯，這是一種由易到難的好方法，今天我們就這樣來研究?！?/p>

（2）善于差錯轉(zhuǎn)化。教學《異分母分數(shù)相加減》一課，出示1/2+1/3，先讓學生獨立計算，直接相加的占了大部分，老師抓住這個錯誤資源，用以下的環(huán)節(jié)教學：①喚醒經(jīng)驗：口算5.3-2，3與2能直接相減嗎？為什么？4米+2厘米，4與2能直接相加嗎？為什么？②明確算理：計算單位不相同，不能直接相加減。③類比舉例：還有類似的例子嗎？④遷移聯(lián)想：這兩個分數(shù)的分母不同，也就是分數(shù)單位不同，還能直接相加嗎？⑤課件演示（見下圖）。⑥那該怎么辦呢？以上環(huán)節(jié)抓住“計數(shù)單位不同”這個深層次的問題開始，通過交流，教師及時糾正理解偏差，讓學生獲取了更加廣泛的數(shù)學信息，促進了對數(shù)學的全面理解。

（3）善于變式訓練。變式就是變換知識的非本質(zhì)屬性而本質(zhì)屬性不變的呈現(xiàn)方式。例如：教學《認識分數(shù)》一課，平均分是教學的重點，只靠記憶顯然學生不易理解。于是設(shè)計了如下環(huán)節(jié)：

①折一折，分別折出一張紙的1/2，1/4，1/8，比較每一份的大小。

②下面用1/2表示的打“√”，說出為什么。

③用分數(shù)表示下面的涂色部分。

④辨一辨：猴媽媽分蛋糕給3個小猴吃，但3個小猴很不滿意，你覺得猴媽媽可能是怎么分的？

教學中引導學生多角度、多方位、多層次地理解與思考，使學生不被表面的非本質(zhì)屬性迷惑，從而加深對知識的理解。

總之，學生的理解力提高在于學生在自然而有力的知識生長、思維提升的過程中體現(xiàn)。這需要教師能貫通知識體系，深入數(shù)學本質(zhì)的教學，努力讓學生的思維沉下來，提高對課程資源認識的廣度和深度，以達到對數(shù)學的高水平理解。

（過曉偉，無錫市云林實驗小學，214000）

責任編輯：趙赟endprint