混凝土破壞全過(guò)程分析的擴(kuò)展內(nèi)嵌裂縫模型

吳建營(yíng)，李鋒波，徐世烺（.浙江大學(xué)建筑工程學(xué)院，浙江杭州 30058；2.華南理工大學(xué)亞熱帶建筑科學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣東廣州 5064）

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混凝土破壞全過(guò)程分析的擴(kuò)展內(nèi)嵌裂縫模型

吳建營(yíng)1，2，李鋒波1，徐世烺1
（1.浙江大學(xué)建筑工程學(xué)院，浙江杭州 310058；
2.華南理工大學(xué)亞熱帶建筑科學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣東廣州 510641）

摘要：為解決傳統(tǒng)內(nèi)嵌裂縫模型僅能考慮定常位移跳躍而導(dǎo)致的應(yīng)力閉鎖問(wèn)題，并保證裂縫張開(kāi)位移在相鄰單元間的連續(xù)性，基于強(qiáng)不連續(xù)問(wèn)題位移場(chǎng)的多尺度統(tǒng)一表述，選取具有明確物理意義的裂縫節(jié)點(diǎn)（裂縫與單元邊的交點(diǎn)）位移跳躍作為增強(qiáng)自由度，提出了適用于混凝土等準(zhǔn)脆性材料和結(jié)構(gòu)破壞全過(guò)程分析的擴(kuò)展內(nèi)嵌裂縫模型，并給出了其有限元實(shí)現(xiàn)方法。對(duì)楔入劈拉試驗(yàn)Ⅰ型和單邊缺口梁混合型破壞等混凝土標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)進(jìn)行了數(shù)值分析，得到的裂縫路徑和荷載位移曲線均與試驗(yàn)結(jié)果或文獻(xiàn)結(jié)果吻合良好，驗(yàn)證了模型理論的有效性，同時(shí)分析結(jié)果也表明該模型具有較高的粗網(wǎng)格精度和良好的數(shù)值健壯性。

關(guān)鍵詞：混凝土；損傷與破壞；內(nèi)嵌裂縫模型；應(yīng)力閉鎖；有限元方法

混凝土在高層建筑、高速鐵路、高速公路、水工結(jié)構(gòu)、橋梁涵隧等重大土木工程結(jié)構(gòu)中應(yīng)用十分廣泛。作為典型的準(zhǔn)脆性材料，混凝土裂縫的非線性演化和擴(kuò)展是導(dǎo)致結(jié)構(gòu)完整性降低甚至發(fā)生破壞的罪魁禍?zhǔn)祝虼?，保證混凝土結(jié)構(gòu)安全服役必須全面地掌握裂縫，并客觀準(zhǔn)確地反映裂縫非線性演化對(duì)材料力學(xué)性能劣化和結(jié)構(gòu)損傷破壞過(guò)程的影響規(guī)律。

內(nèi)嵌裂縫模型（EFEM）和擴(kuò)展有限元方法（XFEM）是研究混凝土裂縫非線性演化的兩類有效途徑，它們均可將裂縫嵌入到單元的任意位置，裂縫處的本構(gòu)行為一般采用基于混凝土斷裂能的黏聚裂縫模型加以描述，并通過(guò)裂縫跟蹤算法保證計(jì)算結(jié)果與有限元網(wǎng)格排列方向無(wú)關(guān)。二者的區(qū)別在于，EFEM在單元層次直接考慮裂縫引起的位移不連續(xù)，并將裂縫處的牽引力連續(xù)條件作為求解附加未知量的補(bǔ)充方程，而XFEM則采用普通節(jié)點(diǎn)的增強(qiáng)自由度間接表征裂縫位移跳躍，并通過(guò)變分原理求解附加未知量。筆者前期研究[1-3]表明，EFEM描述的裂縫變形模式是XFEM的特例，張開(kāi)位移沿裂縫線性變化時(shí)二者給出的單元位移模式完全相同；另一方面，EFEM中求解附加未知量的補(bǔ)充方程嚴(yán)格滿足力平衡條件，因此在混凝土裂縫擴(kuò)展分析中，EFEM往往具有更高的粗網(wǎng)格精度[4]。

早期的EFEM在單元平均意義上考慮裂縫處的牽引力連續(xù)條件，而沒(méi)有考慮裂縫的具體位置，因此僅適用于三角形常應(yīng)變單元和定常位移跳躍模式[4-6]。對(duì)于高階單元如常用的四邊形單元而言，上述處理方法不僅難以保證牽引力連續(xù)，同時(shí)還存在嚴(yán)重的應(yīng)力閉鎖問(wèn)題而導(dǎo)致分析結(jié)果嚴(yán)重失真。部分研究人員[7-8]考慮了非定常的位移跳躍模式，試圖解決上述問(wèn)題，其中，Manzoli等[7]考慮了相對(duì)剛體平動(dòng)和剛體轉(zhuǎn)動(dòng)等變形模式，分別對(duì)應(yīng)于裂縫定常位移跳躍和裂縫法向線性位移跳躍；Linder等[8]則進(jìn)一步考慮了裂縫切向線性位移跳躍的單側(cè)受拉變形模式，但僅適用于泊松比為零這一特例。

另外，傳統(tǒng)的EFEM通常將附加未知量作為局部變量，并在單元層次對(duì)其進(jìn)行靜力縮聚。這種方法可以保持結(jié)構(gòu)剛度矩陣帶寬不變，便于在普通有限元軟件中實(shí)現(xiàn)，卻難以保證相鄰單元間裂縫張開(kāi)位移的連續(xù)性，由此給出的裂縫張開(kāi)位移不再代表“裂縫寬度”這一具有重要工程應(yīng)用價(jià)值的物理量。同時(shí)，裂縫穿過(guò)單元鄰邊時(shí)，單元完全破壞后會(huì)導(dǎo)致剛度矩陣奇異，必須采用特殊技巧對(duì)此進(jìn)行處理[7-8]，以保證模型的數(shù)值穩(wěn)定性。Alfaiate等[9-10]考慮相對(duì)剛體平動(dòng)和剛體轉(zhuǎn)動(dòng)等變形模式，并將裂縫與單元邊交點(diǎn)（即裂縫節(jié)點(diǎn)）處的位移跳躍作為全局自由度，以保證相鄰單元間裂縫張開(kāi)位移的連續(xù)性。然而，該模型采用了類似于XFEM的方法求解附加未知量，難以準(zhǔn)確描述裂縫處的牽引力連續(xù)條件。

針對(duì)上述問(wèn)題，基于筆者前期發(fā)展的強(qiáng)不連續(xù)位移場(chǎng)的統(tǒng)一多尺度表述[1-3]，本文提出了同時(shí)滿足變形協(xié)調(diào)和牽引力連續(xù)條件的擴(kuò)展內(nèi)嵌裂縫模型，給出了其有限元實(shí)現(xiàn)格式，并將其應(yīng)用于混凝土等準(zhǔn)脆性材料和結(jié)構(gòu)的破壞全過(guò)程分析。該模型考慮了嚴(yán)格滿足牽引力連續(xù)條件的裂縫定常和線性位移跳躍等變形模式，并將附加未知量作為全局自由度進(jìn)行求解，不僅可以保證相鄰單元間裂縫張開(kāi)位移的連續(xù)性，且能夠解決傳統(tǒng)內(nèi)嵌裂縫模型存在的應(yīng)力閉鎖問(wèn)題。對(duì)若干混凝土結(jié)構(gòu)標(biāo)準(zhǔn)驗(yàn)證性試驗(yàn)進(jìn)行了數(shù)值分析，驗(yàn)證了本文提出的擴(kuò)展內(nèi)嵌裂縫模型的有效性并具有較高的粗網(wǎng)格精度和良好的數(shù)值健壯性。

1 擴(kuò)展內(nèi)嵌裂縫模型

如圖1所示，考慮由外邊界Γ包圍的固體區(qū)域Ω，其外法線方向?yàn)閚*，空間坐標(biāo)記為x。固體Ω受到均布體積力b*作用，同時(shí)在邊界Γt上還作用了面力t*。相應(yīng)地，位移場(chǎng)表示為u（x），其中邊界Γu處的已知位移記為u*。為了保證上述邊值問(wèn)題具有唯一解，力邊界和位移邊界需不重疊，即滿足Γu∩Γt＝0和Γu∪Γt＝Γ。

圖1 固體強(qiáng)不連續(xù)邊值問(wèn)題示意圖

固體Ω被裂縫S分成了兩個(gè)子區(qū)域Ω-和Ω＋，不失一般性，這里裂縫S的單位法向量n定義為從Ω-指向Ω＋。位移場(chǎng)u（x）在各子區(qū)域內(nèi)保持連續(xù)，但在裂縫S處存在位移跳躍[u]。引入單位階躍函數(shù)HS（x），即對(duì)于x∈Ω＋有HS（x）＝1，而對(duì)于x∈Ω-∪S有HS（x）＝0。相應(yīng)地，位移場(chǎng)u（x）可以表示為

根據(jù)固體強(qiáng)不連續(xù)問(wèn)題的運(yùn)動(dòng)學(xué)統(tǒng)一表述[1-3]，可將位移場(chǎng)u（x）進(jìn)一步分解為粗尺度位移場(chǎng)u-（x）和細(xì)尺度位移場(chǎng)u～（x）兩部分，即橋連位移場(chǎng)u′（x）定義為裂縫引起的不連續(xù)位移場(chǎng)HS（x）·u^（x）在粗尺度位移空間上的投影，以保證細(xì)尺度位移場(chǎng)與粗尺度位移場(chǎng)u-（x）解耦。

類似地，未開(kāi)裂部分ΩS的常規(guī)應(yīng)變場(chǎng)ε（x）也可以分解為這里粗、細(xì)尺度應(yīng)變場(chǎng)（ε-，ε～）表示為式中?s為對(duì)稱梯度算子。

準(zhǔn)靜態(tài)荷載作用下，上述固體強(qiáng)不連續(xù)邊值問(wèn)題的控制方程可以寫成如下弱形式[1-2]：

上述粗尺度靜力平衡方程弱形式（式（5）第一個(gè)方程，記為（5）1）為標(biāo)準(zhǔn)的虛功原理，而式（5）第二個(gè)方程（記為式（5）2）則等效于不連續(xù)界面處的牽引力連續(xù)條件，二者共同構(gòu)成了擴(kuò)展內(nèi)嵌裂縫模型的控制方程。一方面，通過(guò)選擇合適的單元增強(qiáng)自由度，模型可以保證相鄰單元間裂縫張開(kāi)位移的連續(xù)性即變形協(xié)調(diào)；另一方面，由于采用了滿足靜力平衡的牽引力連續(xù)條件，模型具有較高的粗網(wǎng)格精度。

本文即根據(jù)上述粗、細(xì)尺度弱形式發(fā)展一類擴(kuò)展內(nèi)嵌裂縫模型，有效地處理固體強(qiáng)不連續(xù)的邊值問(wèn)題，并將其應(yīng)用于混凝土材料和結(jié)構(gòu)破壞全過(guò)程的數(shù)值模擬。

2 模型的有限元數(shù)值實(shí)現(xiàn)

這里采用有限元方法對(duì)控制方程弱形式（式（5））進(jìn)行求解。需要說(shuō)明的是，本文提出的模型對(duì)具體的單元類型并無(wú)限制，為闡述方便，僅考慮二維四邊形單元，具體單元類型可以采用位移插值單元、混合假設(shè)應(yīng)力單元PS[11]或混合假設(shè)應(yīng)變?cè)鰪?qiáng)單元QE2[12]等。

2. 1 單元位移和應(yīng)變場(chǎng)

根據(jù)有限元方法，單元Ωe的粗尺度位移場(chǎng)-u（x）和應(yīng)變場(chǎng)-ε（x）通過(guò)單元節(jié)點(diǎn)位移di插值得到，即式中：N為單元插值形函數(shù)矩陣，ξ為單元自然坐標(biāo)系；d為單元節(jié)點(diǎn)位移向量；-B 為粗尺度位移應(yīng)變矩陣，其子矩陣-Bi（x）與具體單元類型有關(guān)。

對(duì)于開(kāi)裂單元，還需進(jìn)一步考慮裂縫引起的細(xì)尺度位移場(chǎng)u～（x），其關(guān)鍵在于確定滿足牽引力連續(xù)條件的相對(duì)位移場(chǎng)u^（x）。對(duì)于黏聚裂縫，裂縫擴(kuò)展的能量耗散與裂縫張開(kāi)位移有關(guān)而與裂縫擴(kuò)展長(zhǎng)度無(wú)關(guān)。因此，這里假設(shè)裂縫沿直線穿過(guò)單元，其起點(diǎn)和終點(diǎn)均在單元的某條邊（可以為對(duì)邊或鄰邊）上，并稱兩個(gè)交點(diǎn)k∈（1，2）為裂縫節(jié)點(diǎn)。

圖2 四邊形單元的裂縫變形模式

考慮如圖2所示的四邊形單元Ωe，單元內(nèi)裂縫Se的長(zhǎng)度為L(zhǎng)eS，全局坐標(biāo)x軸與裂縫法向矢量n之間的夾角（逆時(shí)針）記為θ，裂縫Se的切向矢量記為m。以裂縫Se的中點(diǎn)x0＝（x0，y0）T為坐標(biāo)原點(diǎn)，沿裂縫切線方向m引入局部坐標(biāo)s。于是，裂縫Se上任意點(diǎn)的全局坐標(biāo)x及其相對(duì)于中點(diǎn)x0的坐標(biāo)Δx＝x-x0均可由該點(diǎn)的裂縫局部坐標(biāo)s確定。裂縫節(jié)點(diǎn)k∈（1，2）處的位移跳躍記為wk，即相應(yīng)的附加自由度向量記為w＝（w1，w2）T。

筆者前期研究[1-2]給出了嚴(yán)格滿足裂縫牽引力連續(xù)條件的兩種變形模式，即引起位移跳躍定常分布的剛體平動(dòng)以及引起位移跳躍線性分布的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)和單側(cè)切向拉伸，并給出了如下相對(duì)位移場(chǎng)^u（x）和位移跳躍[u]（s）：

k＝1

插值函數(shù)^Nk（x）和Jk（s）分別表示為式中：I為二階單位矩陣；函數(shù)Jk（s）＝1/2＋（-1）ks/ LeS與裂縫局部坐標(biāo)s有關(guān)。

根據(jù)橋連位移場(chǎng)u′（x）的定義，不難給出細(xì)尺度位移場(chǎng)～u（x）。相應(yīng)地，細(xì)尺度應(yīng)變場(chǎng)～ε（x）表示[1-2]為式中細(xì)尺度位移應(yīng)變矩陣^B（x）的子矩陣～Bk（x）由下式給出：節(jié)點(diǎn)集合I＋為子區(qū)域Ω＋e上的單元節(jié)點(diǎn)；子矩陣B^k（x）由定義B^kw＝?s（N^kw）給出，詳見(jiàn)文獻(xiàn)[2]。需要說(shuō)明的是，相對(duì)剛體平動(dòng)和剛體轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)常規(guī)應(yīng)變場(chǎng)ε（x）沒(méi)有貢獻(xiàn)，而單側(cè)切向拉伸會(huì)引起沿裂縫方向的應(yīng)變跳躍。

最后，可以得到如下單元常規(guī)應(yīng)變場(chǎng)ε（x）：根據(jù)未開(kāi)裂材料的本構(gòu)關(guān)系即可給出相應(yīng)的應(yīng)力場(chǎng)σ（x）。

可以嚴(yán)格證明[1-2]，當(dāng)單元Ωe完全破壞后，其常規(guī)應(yīng)變場(chǎng)ε（x）和應(yīng)力場(chǎng)σ（x）均為零。換言之，上述位移場(chǎng)和應(yīng)變場(chǎng)描述的擴(kuò)展內(nèi)嵌裂縫單元不會(huì)發(fā)生應(yīng)力閉鎖，可以消除已有裂縫模型應(yīng)力閉鎖導(dǎo)致的分析結(jié)果失真問(wèn)題[13]。

2. 2 有限元平衡方程

根據(jù)有限元方法，粗尺度靜力平衡方程（5）1可寫成如下殘量形式

e

式中：B 為標(biāo)準(zhǔn)位移應(yīng)變矩陣，定義為Bd＝

nl ?s（Nd）；算子lA＝1將計(jì)算區(qū)域內(nèi)所有單元的力列向量和剛度矩陣等進(jìn)行整體集成；外力列向量-fext由給定的體積力b*和面力t*給出：上述粗尺度靜力平衡方程與標(biāo)準(zhǔn)有限元相同。

對(duì)于所有開(kāi)裂單元，尚需進(jìn)一步考慮表征牽引力連續(xù)條件的細(xì)尺度控制方程（5）2。一般情況下，單元數(shù)值積分點(diǎn)并不位于不連續(xù)界面Se上，因此需要將積分點(diǎn)處的應(yīng)力σ投影至不連續(xù)界面Se。相應(yīng)地，細(xì)尺度控制方程（5）2可表示為

這里引入了投影矩陣P（x）＝（P1（x）M，P2（x）M），其中多項(xiàng)式Pk（x）和矩陣M分別表示[2]為式中p（x）＝（1，x，y）T為線性多項(xiàng)式的基函數(shù)。

粗、細(xì)尺度的平衡方程式（15）和式（17）是普通節(jié)點(diǎn)位移d和裂縫節(jié)點(diǎn)自由度w的非線性方程組。由于混凝土破壞全過(guò)程具有強(qiáng)烈的非線性特性，往往需要采用增量迭代方法求解上述有限元平衡方程，具體過(guò)程可參見(jiàn)文獻(xiàn)[2，14]。

類似于傳統(tǒng)內(nèi)嵌裂縫模型，裂縫節(jié)點(diǎn)的自由度w可作為單元的局部屬性，并通過(guò)靜力縮聚保證系統(tǒng)的自由度總量不變。注意到裂縫節(jié)點(diǎn)處于相鄰開(kāi)裂單元的公共邊，因此也可以將其作為全局自由度，以保證相鄰單元間裂縫張開(kāi)位移的連續(xù)性。本文采用第二種處理方式，此時(shí)上述裂縫節(jié)點(diǎn)的自由度w具有明確的物理意義且便于施加裂縫邊界條件，特別適用于多物理場(chǎng)耦合（如水力劈裂、滲透）作用下混凝土材料和結(jié)構(gòu)的損傷破壞全過(guò)程分析。

3 混凝土破壞全過(guò)程分析

以下對(duì)楔入劈拉Ⅰ型破壞和單邊缺口梁混合型破壞兩個(gè)混凝土標(biāo)準(zhǔn)驗(yàn)證性試驗(yàn)進(jìn)行數(shù)值模擬，并將分析得到的裂縫擴(kuò)展路徑、荷載位移曲線等與試驗(yàn)結(jié)果及其他方法分析結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，以驗(yàn)證本文提出的擴(kuò)展內(nèi)嵌裂縫模型（以下簡(jiǎn)稱本文模型）對(duì)于任意裂縫擴(kuò)展路徑下混凝土結(jié)構(gòu)破壞全過(guò)程分析的適用性。

分析對(duì)象均為平面應(yīng)力問(wèn)題，網(wǎng)格劃分采用四節(jié)點(diǎn)單元?？紤]到應(yīng)變和應(yīng)力計(jì)算精度的需要，單元采用混合假設(shè)應(yīng)變?cè)鰪?qiáng)單元QE2[12]。

3. 1 本構(gòu)關(guān)系

前面已經(jīng)提到，為了求解上述固體強(qiáng)不連續(xù)問(wèn)題，必須已知未開(kāi)裂部分的材料本構(gòu)關(guān)系和裂縫處的黏聚力模型。對(duì)于混凝土等準(zhǔn)脆性材料，受拉開(kāi)裂前一般可假定為線彈性；受拉開(kāi)裂后，由于應(yīng)變局部化的影響，非線性變形也主要集中在裂縫處，而未開(kāi)裂部分處于彈性卸載狀態(tài)。因此，對(duì)于未開(kāi)裂部分的材料假定為線彈性本構(gòu)關(guān)系。

對(duì)于二維裂縫問(wèn)題，可以將黏聚力t和位移跳躍[u]沿法向矢量n和切向矢量m進(jìn)行分解，建立局部坐標(biāo)系中黏聚力分量（tn，tm）和位移跳躍分量（[u]n，[u]m）之間的定量關(guān)系，分析中采用文獻(xiàn)[15]中的損傷模型。首先，裂縫的加/卸載狀態(tài)通過(guò)如下?lián)p傷準(zhǔn)則加以判斷：式中：參數(shù)β≥0控制等效位移跳躍[u]eq中裂縫法向和切向行為之間的耦合影響；歷史變?chǔ)省?代表加載過(guò)程中到達(dá)的最大等效位移跳躍，即κ＝max（[u]eq）。相應(yīng)地，與[u]eq共軛的等效黏聚力teq取決于上述損傷準(zhǔn)則，即：當(dāng)裂縫處于加載狀態(tài)時(shí)有f（[u]eq，κ）＝0，此時(shí)teq和κ之間滿足給定的軟化關(guān)系teq（κ）；當(dāng)f（[u]eq，κ）＜0時(shí)，teq沿指向原點(diǎn)的直線卸載。確定等效黏聚力teq后，法向和切向裂縫黏聚力（tn，tm）由虛功原理給出，即上述裂縫黏聚力關(guān)系可通過(guò)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣T：＝（n，m）轉(zhuǎn)換至整體坐標(biāo)系。

對(duì)于Ⅰ型和混合型破壞，數(shù)值模擬中分別取參數(shù)β＝0（此時(shí)teq＝tn和[u]eq＝[u]n，即切向剪切行為對(duì)裂縫演化無(wú)影響）和β＝2；軟化曲線統(tǒng)一采用以下指數(shù)形式：式中ft和Gf分別為混凝土材料的抗拉強(qiáng)度和斷裂能。

此外，在結(jié)構(gòu)裂縫擴(kuò)展數(shù)值模擬過(guò)程中，需要實(shí)時(shí)判斷某單元是否開(kāi)裂。一旦單元開(kāi)裂，裂縫的具體位置信息可以通過(guò)裂縫跟蹤算法給出。本文采用基于單元網(wǎng)格拓?fù)溥B接的局部跟蹤算法，并保證裂縫路徑的連續(xù)性，即裂縫從某起點(diǎn)出發(fā)，沿一定方向在單元內(nèi)直線擴(kuò)展，直至與該單元的另一條邊相交，相鄰單元間裂縫首尾相連。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，模擬采用基于單元平均應(yīng)力的開(kāi)裂準(zhǔn)則和基于單元非局部應(yīng)力的裂縫擴(kuò)展方向，具體過(guò)程詳見(jiàn)文獻(xiàn)[2]。

3. 2 楔入劈拉試驗(yàn)

首先考慮平面尺寸如圖3所示的楔入劈拉試件[16]，平面外厚度為400 mm，在上部預(yù)制缺口中點(diǎn)處施加一對(duì)大小相等、方向相反的位移u，相應(yīng)的荷載大小為P。該試驗(yàn)產(chǎn)生一條從缺口位置豎直向下擴(kuò)展至試件底部的Ⅰ型裂縫。

圖3 楔入劈拉試件（單位：mm）

混凝土材料的基本屬性由文獻(xiàn)[16]給出，即彈性模量E0＝28. 3 GPa，泊松比ν0＝0. 18，抗拉強(qiáng)度f(wàn)t＝2. 12 MPa，斷裂能Gf＝0. 373 N/ mm。試驗(yàn)為Ⅰ型破壞，取模型參數(shù)β＝0。

數(shù)值計(jì)算得到的荷載缺口張開(kāi)位移（P-CMOD）曲線如圖4所示，圖中還給出了試驗(yàn)結(jié)果和文獻(xiàn)[16]采用1484個(gè)三角形單元的計(jì)算結(jié)果。為了考慮不同單元網(wǎng)格的影響，采用了如圖5（a）（b）所示的兩種不同網(wǎng)格，得到的裂縫路徑如各圖中的細(xì)線所示。

圖4楔入劈拉試驗(yàn)荷載缺口張開(kāi)位移曲線

圖5 楔入劈拉試驗(yàn)網(wǎng)格劃分與裂縫路徑

從計(jì)算結(jié)果可以看出，兩種不同有限元網(wǎng)格的模擬結(jié)果均與文獻(xiàn)[16]十分接近，與試驗(yàn)結(jié)果也吻合良好，表明本文模型具有較高的粗網(wǎng)格精度。同時(shí)，本文模型能夠計(jì)算至底部最后一個(gè)單元開(kāi)裂、構(gòu)件完全破壞，計(jì)算結(jié)果不存在任何應(yīng)力鎖死問(wèn)題，且具有良好的數(shù)值健壯性。

本文模型還初步實(shí)現(xiàn)了并行計(jì)算。為說(shuō)明并行計(jì)算對(duì)程序運(yùn)行效率的影響，在最大允許并行個(gè)數(shù)為12的雙核計(jì)算機(jī)上計(jì)算上述楔入劈拉問(wèn)題，得到并行個(gè)數(shù)與總運(yùn)算時(shí)間的關(guān)系如圖6所示（縱坐標(biāo)為對(duì)數(shù)坐標(biāo)），圖中兩條曲線分別由單元總數(shù)為532個(gè)的較細(xì)網(wǎng)格（如圖5（b）所示）和單元總數(shù)為6119個(gè)的超細(xì)網(wǎng)格計(jì)算得到。可以看出，隨著并行個(gè)數(shù)的增加，總計(jì)算時(shí)間不斷降低，但降低幅度逐漸減小，且單元數(shù)量越多計(jì)算時(shí)間下降的幅度越顯著。因此，并行計(jì)算能夠有效地提高本文模型的計(jì)算效率，有望今后應(yīng)用于復(fù)雜的實(shí)際工程問(wèn)題。

圖6 并行個(gè)數(shù)與程序總運(yùn)行時(shí)間關(guān)系

3. 3 單邊缺口梁試驗(yàn)

接下來(lái)考慮如圖7所示的單邊缺口梁[17]，其平面外厚度為100 mm，構(gòu)件中部預(yù)制缺口的平面尺寸為5mm×20mm。梁下部左、右兩加載點(diǎn)處施加大小比例為1：10的荷載，并保證缺口兩端的豎向相對(duì)位移（CMSD）在加載過(guò)程中遞增。試件發(fā)生混合型破壞，裂縫由預(yù)制缺口右端延伸至加載墊塊右邊緣。

圖7 單邊缺口梁（單位：mm）

混凝土材料的基本屬性由文獻(xiàn)[17]給出，即彈性模量E0＝35 GPa，泊松比ν0＝0. 2，抗拉強(qiáng)度f(wàn)t＝3. 0 MPa，斷裂能Gf＝0. 1 N/ mm。試驗(yàn)為混合型破壞，取模型參數(shù)β＝2。

圖8 單邊缺口梁網(wǎng)格劃分

圖9 單邊缺口梁裂縫路徑

數(shù)值模擬分別采用如圖8（a）（b）所示的兩種不同網(wǎng)格。從圖9給出的裂縫擴(kuò)展路徑中可以看出，粗、細(xì)網(wǎng)格計(jì)算得到的裂縫路徑幾乎重合，且完全落在粗實(shí)線包圍的試驗(yàn)范圍內(nèi)。圖10給出了計(jì)算得到的荷載缺口兩端豎向相對(duì)位移結(jié)果與試驗(yàn)包絡(luò)線的對(duì)比，可以看出，本文模型兩種有限元網(wǎng)格的模擬結(jié)果非常接近，峰值點(diǎn)荷載與試驗(yàn)結(jié)果吻合良好。與文獻(xiàn)[17]擴(kuò)展有限單元（XFEM）計(jì)算結(jié)果相比，本文模型的計(jì)算結(jié)果不存在應(yīng)力鎖死問(wèn)題，具有更好的數(shù)值健壯性。

圖10單邊缺口梁試驗(yàn)荷載缺口兩端豎向相對(duì)位移曲線

4 結(jié) 論

a.與傳統(tǒng)EFEM相比，本文模型選取裂縫節(jié)點(diǎn)的位移跳躍作為增強(qiáng)自由度并將其視為全局變量，能夠保證相鄰單元裂縫張開(kāi)位移的連續(xù)性。同時(shí)，單元內(nèi)裂縫張開(kāi)位移為線性分布，消除了傳統(tǒng)內(nèi)嵌裂縫模型僅能考慮定常位移跳躍而導(dǎo)致的應(yīng)力閉鎖問(wèn)題。

b.與XFEM相比，本文模型中裂縫節(jié)點(diǎn)的增強(qiáng)自由度直接表征“裂縫張開(kāi)位移”這一工程中最為關(guān)心的物理量，無(wú)需引入特殊處理方法即可施加裂縫邊界條件。同時(shí)，所考慮的兩類變形模式均嚴(yán)格滿足裂縫牽引力連續(xù)條件，具有較高的粗網(wǎng)格精度。

c.在混凝土材料和結(jié)構(gòu)破壞全過(guò)程分析中，往往無(wú)法事先預(yù)知裂縫擴(kuò)展路徑，裂縫穿過(guò)單元鄰邊的情況難以避免，本文模型在這一情況下仍能保證數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定性和收斂性，具有良好的數(shù)值健壯性。同時(shí)，并行算法能夠有效地提高模型的計(jì)算效率，有望應(yīng)用于實(shí)際混凝土結(jié)構(gòu)的破壞全過(guò)程分析和優(yōu)化設(shè)計(jì)。

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大型專業(yè)辭書《水利大辭典》出版發(fā)行

一部系統(tǒng)介紹當(dāng)代水利科學(xué)技術(shù)的大型專業(yè)辭書《水利大辭典》正式出版發(fā)行。該書是在1994年出版的《水利詞典》基礎(chǔ)上，由河海大學(xué)組織相關(guān)學(xué)科教師百余人精心編纂修訂而成，由姜弘道教授、唐洪武教授擔(dān)任執(zhí)行主編。這是進(jìn)入21世紀(jì)以來(lái)，我國(guó)總結(jié)水利科技發(fā)展、普及水利科技知識(shí)、傳承水利科技文化的又一標(biāo)志性力作。新出版的《水利大辭典》內(nèi)容全面、選詞科學(xué)、取材精當(dāng)、格式規(guī)范、資料新而豐富。具有如下學(xué)科特點(diǎn)和時(shí)代特色：①反映現(xiàn)代水利新發(fā)展。在基本保持原《水利詞典》框架的基礎(chǔ)上，根據(jù)水利事業(yè)的新發(fā)展，由原來(lái)的5類23個(gè)分支調(diào)整為8類31個(gè)分支。②詞目更新與時(shí)俱進(jìn)。在不大量增加《水利詞典》詞目總量和總字?jǐn)?shù)的基礎(chǔ)上，通過(guò)刪舊增新，重點(diǎn)增加了近20年來(lái)水利學(xué)科與水利事業(yè)新領(lǐng)域中的詞目，新增詞目近1/3。③釋文內(nèi)容修訂更新。對(duì)20年前出版的《水利詞典》老詞條逐條仔細(xì)審視，決定取舍，更新內(nèi)容，核準(zhǔn)數(shù)據(jù)，反復(fù)修改。全書共收編詞目4 700余條，計(jì)142萬(wàn)字。④附錄資料數(shù)據(jù)可靠。全書12個(gè)附錄，除保留《中國(guó)分區(qū)水資源總量估算》外，其余附錄均根據(jù)最新資料和數(shù)據(jù)作了大幅度的修訂和更新，包括中國(guó)水利史略年表、中國(guó)總庫(kù)容20億m3以上的大型水庫(kù)、中國(guó)高度100 m以上的大壩、中國(guó)裝機(jī)容量25萬(wàn)kW以上的抽水蓄能電站、中國(guó)裝機(jī)容量25萬(wàn)kW以上的水電站、國(guó)外總庫(kù)容300億m3以上的大型水庫(kù)、國(guó)外高度220 m以上的大壩、國(guó)外裝機(jī)容量200萬(wàn)kW以上的水電站、國(guó)外主要港口、中國(guó)主要水利及相關(guān)期刊、國(guó)外主要水利及相關(guān)期刊。此外還附有詞目英漢對(duì)照索引、詞目音序索引。（河海大學(xué)《水利大辭典》修編辦公室供稿）

Extended embedded crack finite element method for modeling localized failures in concrete structures/ /

WU Jianying1，2，LI Fengbo1，XU Shilang1（1. Department of Civil Engineering，Zhejiang University，Hangzhou 310058，China；2. State Key Laboratory of Subtropic Building Science，South China University of Technology，Guangzhou 510641，China）

Abstract：A novel extended embedded crack finite element method（XE-FEM）is proposed for modeling localized failures in concrete-like quasi-brittle materials and structures. Based on the unified multi-scale kinematics recently developed by the authors，the displacement jumps at the cracking nodes，where cracks intersect with the element edges，are selected as the elemental enrichment parameters. In addition to constant displacement jumps induced by relative translations of rigid bodies，linear deformation modes caused by rigid body rotation and self-stretching are consistently accounted for in the kinematics，so that the spurious stress locking can be removed. The enrichment parameters，which are shared by neighboring elements，can be regarded as global variables in the numerical implementation. Thus，the continuity of the displacement jumps can be guaranteed along the crack propagation path. Two benchmark tests of concrete structures，i. e.，the wedge-splitting test with mode-I failure and the single-edge notched beam with mixed-mode failure，were numerically simulated to validate the suggested method. The calculated response of load versus displacement and crack paths were compared to available experimental data and numerical results obtained from other methods. It is shown that the suggested method is stable and robust，with a high resolution in regard to coarse meshes.

Key words：concrete；damage and failure；embedded crack model；stress locking；finite element method

收稿日期：（2014 10 21 編輯：熊水斌）

作者簡(jiǎn)介：吳建營(yíng)（1977—），男，教授，博士，主要從事混凝土非線性力學(xué)研究。E-mail：jywu@ scut. edu. cn

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金優(yōu)秀青年科學(xué)基金（51222811）；浙江省重點(diǎn)科技創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)項(xiàng)目（2010R50034）；亞熱帶建筑科學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室自主研究課題（2015ZB24）

中圖分類號(hào)：TU311. 4；O346. 5

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1006 7647（2016）01 0053 07