基于改進的Bernoulli矩陣壓縮感知圖像重構算法

蔡榮文杭州萬向職業(yè)技術學院，浙江杭州310023

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基于改進的Bernoulli矩陣壓縮感知圖像重構算法

蔡榮文
杭州萬向職業(yè)技術學院，浙江杭州310023

摘要：為克服傳統(tǒng)測量矩陣穩(wěn)定性差的弱點，本文利用Logistic混沌序列優(yōu)良的隨機性質，對Bernoulli測量矩陣進行改進，提出一種復雜度很低的混沌Bernoulli測量矩陣。通過Logistic混沌系統(tǒng)產生混沌序列，之后運用符號函數進行映射生成Bernoulli分布的隨機矩陣，將該序列用來構造測量矩陣。實驗結果表明，基于Bernoulli測量矩陣圖像重構的信噪比優(yōu)于Bernoulli矩陣和Gaussion矩陣，從而證明該算法的可靠性和有效性。

關鍵詞：Bernoulli矩陣；混沌序列；Logistic系統(tǒng)；圖像重構算法

壓縮感知理論是近些年來重點研究的采樣理論，最先由Donoho[1]和Cande[2]等人提出。壓縮感知理論打破傳統(tǒng)采樣理論對采樣頻率的限制，在獲取數據的同時實現采樣信號的壓縮，可以降低數據采樣量、節(jié)約計算時間以及節(jié)約數據的存儲空間。壓縮感知理論主要涉及三個核心問題：（1）信號的稀疏變換；（2）設計測量矩陣；（3）構造重構算法。其中，測量矩陣設計質量的好壞直接影響后面重構信號的誤差大小。當前測量矩陣主要分為確定性測量矩陣和隨機性測量矩陣。

Lei Yu[3]運用混沌序列構造一個測量矩陣，實驗結果表明構造出的矩陣滿足RIP性質并且驗證出該矩陣是可行的。顧國生等人[4]提出一種基于符號混沌系統(tǒng)的偽隨機序列將其作為構造壓縮感知觀測矩陣，實驗結果證明該方法是可行的和有效的，但該方法具有復雜度高和計算量大的缺點。

針對Bernoulli測量矩陣存在穩(wěn)定性差的缺點，本文利用Logistic混沌序列優(yōu)良的隨機性質，對Bernoulli測量矩陣進行改進，提出一種復雜度很低的混沌Bernoulli測量矩陣。通過Logistic混沌系統(tǒng)產生混沌序列，之后運用符號函數進行映射生成Bernoulli分布的隨機矩陣，將該序列用來構造測量矩陣。通過二維圖像的不同隨機矩陣的仿真對比發(fā)現，本文算法構造出的矩陣是有效的和可行的。

1　壓縮感知

1.1改進的粒子群算法

假設一維信號X∈RN×1，X可通過一組N×N正交基ψ＝{ψ1，ψ2，…，ψN}進行表達，其表達式如公式（1）所示[5，6]：

公式（1）中，θk＝＜X，ψk＞，X，θ均為N×1維向量。當信號X在某個正交基ψ上當且有K＜＜N個非0系數θk，此時Ψ是信號X的稀疏基。

稀疏采樣時，信號X可以被投影在測量矩陣Φ上，因此采樣數據Y可以表示成：

其中，Y表示M×1的被測量矩陣，Φ表示M×N（M＜＜N）的測量矩陣。由公式（1）和公式（2）可以得到采樣數據和變換矩陣之間的關系式（3）：

稀疏采樣可以大大減少采集數據的數量，提高數據采集效率。然而，稀疏采樣也會導致信號的重構和恢復出現“病態(tài)”問題。壓縮感知理論認為信號重構問題可以轉化成求解l0范數最小化問題[7]：

2　基于混沌矩陣的Bernoulli測量矩陣的構造

已知Logistic混沌系統(tǒng)的表達式如公式（5）所示：

公式（5）中，xn∈[-1，1]，μ∈[1.872，2.0]，當公式（5）的初始值x0＝0.23，0.37或0.7的時候，其產生的序列為混沌序列。

將Logistic混沌系統(tǒng)產生的混沌序列{xn}，通過公式（6）符號映射函數轉換成新的映射序列{an}。

根據參考文獻[9]可知，當μ＝2.0時，Logistic混沌系統(tǒng)產生的混沌序列xn符合Bernoulli分布，同時滿足RIP性質，所以將Logistic混沌序列進行符號映射所產生的映射序列an作為壓縮感知的測量矩陣。

混沌矩陣的Bernoulli測量矩陣的構造步驟如下：

（1）根據公式（5）Logistic混沌系統(tǒng)生成混沌序列{xn}，該序列長度為n，其中n＝M×N-1。依據反復實驗對比的結果可知，當μ＝2.0時，初始值x0＝0.23，0.37或0.7時，它們重構誤差分別為0.098，0.083，0.090，由此可知，本文選取初始值xo＝0.37，μ＝2.0。

（2）將步驟（1）生成的Logistic混沌序列通過公式（6）進行符號函數映射，生成映射序列{an}。

（3）設定截斷長度為N，將映射序列{an}截斷，構造出維度大小為M×N的測量矩陣Φ。

參考文獻[5]中算法的復雜度遠遠大于o（N2），而本文提出算法的復雜度為o（M×N）（M＜＜N），復雜度遠低于相關參考文獻中算法的復雜度。

圖1　序列和直方圖對比圖Fig.1　Comparison between sequence and histogram（a）Bernoulli sequence（b）Histogram of Bernoulli sequence（c）Logistic_Bernoulli sequence（d）Histogram of Logistic_Bernoulli sequence

由Logistic-Bernoulli和Bernoulli隨機序列對比圖和直方圖對比圖可知，Logistic-Bernoulli隨機序列中1和-1的數量差不多多，比值接近于1，說明Logistic-Bernoulli隨機序列的穩(wěn)定性和平均性較好，優(yōu)于未改進的Bernoulli隨機序列。

3　基于Logistic-Bernoulli測量矩陣的OMP算法信號重構

3.1OMP算法

匹配追蹤類方法進行信號稀疏重建的實質是求解最小lo范數的問題，本文采用正交匹配追蹤（OMP）算法。OMP算法利用Gram-Schmidt正交化方法將所選原子進行正交處理，經過正交化之后的信號投影在正交原子的空間上，獲得信號在原子投影空間上的信號分量和信號余量，之后運用同樣方法繼續(xù)分解信號余量。

匹配追蹤類算法相關系數u，主要通過計算信號余量r和感知矩陣Φ中各個原子之間內積的絕對值獲得[8]：

同時運用最小二乘法實現信號逼近和余量更新：

基于Logistic-Bernoulli測量矩陣的OMP算法的算法流程如下：

輸入：維度大小為M×N的Logistic-Bernoulli測量矩陣Φ

Step1：初始余量ro＝Y，迭代次數n＝1，索引值集合Λ＝?，J＝?

Step2：計算相關系數u，并將u中最大值對應的索引值存入J中；

Step3：更新ΦΛ，其中Λ＝Λ∪J0；

Step5：若∥rnew-r∥≥ε2，令r＝rnew，n＝n＋1，轉步驟Step2；否則，停止迭代。

3.2評價指標

假設W，H分別表示圖像的寬度和高度，I，?分別表示原始圖像和重構圖像。本文運用圖像信噪比作為重構效果的評價指標。二維圖像的信噪比公式如（10）所示：

4　仿真實驗

為了驗證本文算法的有效性，同時為降低實驗計算量，圖像采用大小為256’256的標準測試圖像，以Lena圖像為研究對象，研究在壓縮比等于0.5時，基于Logistic-Bernoulli測量矩陣、Bernoulli測量矩陣和Gaussion測量矩陣三者之間的圖像重構效果，對比圖如圖2所示：

圖2　不同測量矩陣的重構效果Fig.2　Reconstruction results of different measurement matrix（a）Lena image（b）Measurement matrix of Logistic_Bernoulli（c）Measurement matrix of Bernoulli（d）Measurement matrix of Gaussion

由圖2不同測量矩陣的重構效果可知，基于Logistic-Bernoulli測量矩陣的圖像重構效果優(yōu)于Bernoulli測量矩陣和Gaussion測量矩陣的重構效果。為了進一步驗證算法的有效性和可靠性，分別以Lena、Cameraman和Barbara三幅標準測試圖像，對比不同壓縮比下，重構圖像的信噪比，其對比結果如圖3所示：

圖3　不同圖像，壓縮比和信噪比的變化圖Fig.3　Different image, variation of compression ratio and PSNR（a）Lena（b）Cameraman（c）Barbara

由圖3不同圖像，壓縮比和信噪比的變化圖可知，隨著壓縮比的提高，圖像重構信噪比不斷增加，此外基于Logistic-Bernoulli測量矩陣圖像重構的信噪比優(yōu)于Bernoulli矩陣和Gaussion矩陣，從而證明了本文算法的可靠性和有效性。

5　結論

針對傳統(tǒng)測量矩陣具有隨機性和平均性差的缺點，將Logistic混沌序列引入壓縮感知理論，構造出新的Logistic-Bernoulli測量矩陣并將其應用于壓縮感知代替?zhèn)鹘y(tǒng)的測量矩陣，構建出基于Logistic-Bernoulli測量矩陣的OMP信號重構算法。實驗結果表明，基于Logistic-Bernoulli測量矩陣圖像重構的信噪比優(yōu)于Bernoulli矩陣和Gaussion矩陣，從而證明了本文算法的可靠性和有效性。

[1] Donoho D. Compressed sensing[J]. IEEE Transactions on Information Theory，2006，52（4）:1289-1306

[2] Candes E.Compressive sampling[C]. Madrid，Spain:Proceedings of the International Congress of Mathematicians，2006

[3] Yu L，Barbot JP，ZhengG，etal.Compressivesensingwithchaoticsequence[J].IEEESignalProcessingLetters，2010，17（8）:731-734

[4]顧國生，戰(zhàn)蔭偉.一種混沌序列在壓縮感知觀測矩陣構造中的應用[C]//第十五屆全國圖像圖形學學術會議，2010:111-114

[5] Candes E，Romberg J. Sparsity and incoherence incompressive sampling[J]. Inverse Problems，2007，23（3）:969-985

[6]方紅，章權兵，韋穗.基于亞高斯隨機投影的圖像重建方法[J].計算機研究與發(fā)展，2008，45（8）:1402-1407

[7]方紅，章權兵，韋穗.基于非常稀疏隨機投影的圖像重建方法[J].計算機工程與應用，2007，43（22）:25-27

[8]孫玉寶，肖亮，韋志輝，等.基于Gabor感知多成份字典的圖像稀疏表示算法研究[J].自動化學報，2008，34（11）:1379-1387

Image Compressed Sensing Reconstruction Algorithm Based on Improved Bernoulli Chaotic Matrix

CAI Rong-wen
Hangzhou Wanxiang Ploytechnic,Hangzhou 310023，China

Abstract:To break through the shortcoming of poor stability in the traditional measurement matrix，this paper used an excellent stochastic property of Logistic to turn the Bernoulli measurement matrix into chaotic one with a very low complexity. Chaotic sequence was generated by Logistic chaotic system and then used the sign function to become the stochastic matrix of Bernoulli distribution to be used to construct the measurement matrix. Experimental results showed that signal-to-noise ratio of image reconstruction based on the chaotic Bernoulli measurement matrix was better than Bernoulli and Gaussion matrix，which proved the reliability and effectiveness of the proposed algorithm.

Keywords:Bernoulli measurement matrix；chaotic sequence；Logistic system；map reconstruction algorithm

作者簡介：蔡榮文（1974-），男，浙江蒼南人，本科，講師，主要研究方向計算機應用. E-mail:wxxycrw@126.com

基金項目：浙江省高等學校訪問學者教師專業(yè)發(fā)展項目:基于圖像處理的火災煙霧智能探測研究（FX2014196）

收稿日期：2014-10-11修回日期: 2014-12-23

中圖法分類號：TP391.1文獻標示碼：A

文章編號：1000-2324（2016）01-0107-04