自由左交換代數(shù)的子代數(shù)*

李 羽

（惠州學院 數(shù)學系, 廣東 惠州 516007）

自由左交換代數(shù)的子代數(shù)*

李 羽

（惠州學院 數(shù)學系, 廣東 惠州 516007）

本文通過研究自由左交換代數(shù)的子代數(shù)的生成元的首項之間的關(guān)系證明了自由左交換代數(shù)的二元生成的子代數(shù)也是自由左交換代數(shù).

左交換代數(shù); 正規(guī)字; 子代數(shù)

1 引言

自由群的子群也是自由群[1]是群論中的一個著名的定理. 若一個代數(shù)范疇滿足自由代數(shù)的子代數(shù)還是自由的, 則被稱為Schreier范疇. Kurosh[2]證明了非結(jié)合代數(shù)范疇是Schreier范疇. Shirshov[3]和Witt[4]證明了李代數(shù)范疇是Schreier范疇. 在[5]中, Shirshov證明了交換(反交換)非結(jié)合代數(shù)范疇是Schreier范疇. Shestakov和Umirbaev[6]證明了Akivis代數(shù)范疇是Schreier范疇.

另一方面, 結(jié)合代數(shù)范疇不是Schreier范疇[7]. Bokut, Chen和Zhang[8]證明了Novikov代數(shù)范疇不是Schreier范疇. Kozybaev, Markar-Limanov和Umirbaev[9]證明了自由右對稱代數(shù)的二元生成的子代數(shù)仍是自由右對稱代數(shù). Kozybaev[10]構(gòu)造了自由右對稱代數(shù)的一個五元生成的非自由子代數(shù).

設(shè)k是一個域, A是k上的一個非結(jié)合代數(shù). 若A滿足恒等式x(yz)=y(xz), 則稱A是一個左交換代數(shù). Novikov代數(shù)范疇[11]和對偶萊布尼茲代數(shù)范疇[12]都是左交換代數(shù)范疇的子范疇. 自由左交換代數(shù)最早由A. Dzhumadil'daev 和C. L?fwall[11]所研究, 他們在[11]中給出了自由左交換代數(shù)的線性基底. 本文應(yīng)用組合代數(shù)的方法重寫自由左交換代數(shù)的子代數(shù)的生成元證明了自由左交換代數(shù)的二元生成的子代數(shù)也是自

由左交換代數(shù).

2 自由左交換代數(shù)

設(shè)X是一個良序集. 設(shè)u, v分別是次數(shù)為m, n的非結(jié)合字, 那么我們稱(uv)是次數(shù)為m+n的非結(jié)合字, 用d(uv)表示(uv)的次數(shù). 令X**為X上的全體非結(jié)合字所構(gòu)成的集合. 設(shè)u, v∈X**.

規(guī)定若d(u)＞d(v),

則u＞v.

則規(guī)定u＞v

我們稱這個序為次數(shù)逆字典序. 如無特別說明,文章將使用次數(shù)逆字典序.

定義1. 每一個字母xi∈X 被稱為次數(shù)為1的正規(guī)字, 設(shè)u=(vw)是次數(shù)為m, m＞1的非結(jié)合字, 那么u=(vw)被稱為次數(shù)為m的正規(guī)字, 如果v, w都是正規(guī)字且若w=(w1w2), 則v≥w1.

設(shè)k是一個域, N(X)為所有X上的正規(guī)字所構(gòu)成的集合, kN(X)是由N(X)張成的域k上的向量空間.下面定義kN(X)上的乘法：

設(shè)u, v∈N(X), 若v=xi∈X ,

則令u· v=(uxi); 若v=(v1v2)且u≥v1,

則令u· v=(u(v1v2)); 若v=(v1v2)且u＜v1,

則令u· v=(v1(u· v2)).

定理1 ([11]). kN(X)關(guān)于乘法“·”構(gòu)成了一個由X生成的自由左交換代數(shù), 記為LC(X).

由定理1可知, 對于任意0≠f∈LC(X), f可以被唯一地表示成f=α1u1+α2u2++αnun,

設(shè)f∈LC(X), 用Lf表示作用在LC(X)上的左乘算子, 即: Lf(u)=(fu), u∈LC(X). 特別地,

如果

那么

引理1. 每一個正規(guī)字u∈N(X)都可以被唯一地表示成

其中

證明：對d(u)作數(shù)學歸納法. 若d(u)=1,u=xi, 則原命題顯然成立.

由歸納假設(shè)可知w=LwnLw1(xi),

其中n≥0, xi∈X , wj,1≤j≤n都是正規(guī)字且wn≥≥w1.

因為u是正規(guī)字, 所以v≥wn,

從而有

其中n≥0, xi∈X , v, wj,1≤j≤n都是正規(guī)字且v≥wn≥≥w1. 證畢.

引理2. 設(shè)u, v∈N(X)且v=LvnLv1(xi),

其中n≥1, xi∈X.證明：對n作數(shù)學歸納法.

綜上可得當n=1時原命題成立.考慮n＞1的情形. 若u≥vn,

則u· v=LuLvnLv1(xi)原命題顯然成立.

若u＜vn,

則u· v=vn(u· Lvn-1Lv1(xi)).根據(jù)歸納假設(shè)得u· Lvn-1Lv1(xi)=Lvn-1LvsLuLvs-1Lv1(xi),

其中 vn≥≥vs＞u≥vs-1≥≥v1. 證畢.

引理3. ([11]) 若u, v, w∈N(X)且u＞v,

則 u· w＞v· w, w· u＞w· v .

3 二元生成的子代數(shù)

引理4. 設(shè)f是LC(X)的任意一個非零元. 那么LC(X)的由f所生成的子代數(shù)也是自由左交換代數(shù)且f是這個子代數(shù)的自由生成元.

證明：假設(shè)f是代數(shù)相關(guān)的. 那么存在一個非零多項式p(y)∈L(y)使得在LC(X)中有p(f)=0成立. 設(shè)

定理2. 自由左交換代數(shù)的二元生成的子代數(shù)也是自由左交換代數(shù).

根據(jù)引理[4]可知f1,f2是一個以g為自由生成元的自由左交換代數(shù). 證畢.

[1] SCHREIER O. Die Untergruppen der freien Gruppen[J]. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg,1927(5)∶161 – 183.

[2] KUROSH A G. Nonassociative free algebras and free products of algebras[J]. Mathematical Sbornik,1947(62)∶239 – 262.

[3] SHIRSHOV A I. On subalgebras of free Lie Algebras[J]. Mathematical Sbornik,1953(33)∶ 441 – 453.

[4] WITT E. Die Unterringe der freien Lieschen ring[J]. Mat. Z.,1956(64)∶195 – 216.

[5] SHIRSHOV A I. On subalgebras of free commutative and anti-commutative algebras[J]. Mathematical Sbornik,1954(76)∶ 81-88.

[6] SHESTAKOV P I, UMIRBAEV U U. Free Akivis Algebras, Primitive Elements, and Hyperalgebras[J]. Journal of Algebra, 2002(250)∶ 533 –548.

[7] BOKUT L A, KUKIN G P. Algorithmic and combinatorial algebra[M]. Dordrecht∶ Kluwer Academic Publishers,1994.

[8] BOKUT L A, CHEN Y Q, ZHANG Z R. Gr?bner–Shirshov bases method for Gelfand–Dorfman–Novikov algebras[J]. Journal of Algebra its Applications, DOI∶ 10.1142/S0219498817500013

[9] KOZYBAEV D, MAKAR-LIMANOV L, UMIRBAEV U. The freiheitssatz and automorphisms of free right-symmetric algebras[J]. Asian-European Journal of Mathematics,2008(1)∶ 243 – 254.

[10] KOZYBAEV D. On the structure of universal multiplicative algebras of free right-symmetric algebras. Vestnik KazNU,2007(3)∶3 – 9.

[11] DZHUMADIL′DAEV A, L?FWALL C. Trees, free right-symmetric algebras, free Novikov algebras and identities[J]. Homology, Homotopy and Applications,2002(4)∶ 165 – 190.

[12] LODAY J-L. Cup product for Leibniz cohomology and dual Leibniz algebras[J]. Mathematica Scandinavica,1995(77)∶189 – 196.

【責任編輯：吳躍新】

Subalgebras of Free Left-commutative Algebras

LI Yu
(Department of Mathematical Sciences, Huizhou University, Huizhou 516007, Guangdong China)

In this paper, we prove that two generated subalgebras of free left-commutative algebras are also free by the research on the relations between the leading terms of the generators of subalgebras of free left-commutative algebras.

Left-commutative algebra; Normal word; Subalgebra

A

1671 - 5934 (2016)03 - 0084 - 05

2016 -

國家自然科學基金項目(Nos. 11401246; 11426112; 11501237), 廣東省自然科學基金項目（Nos.1414050000365; 1414050000488）, 廣東高校優(yōu)秀青年教師培養(yǎng)計劃項目（No.YQ2015155）, 惠州學院博士科研基金項目（Nos. C513.0210; C513.0209）.

李 羽（1982 - ）, 廣東龍門人，講師，博士，研究方向為組合代數(shù)及其應(yīng)用.