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    因式分解中的整體思想

    2016-03-28 05:43:58左加亭
    初中生天地 2016年32期
    關(guān)鍵詞:公因式因式整體

    □左加亭

    因式分解中的整體思想

    □左加亭

    整體思想是重要的數(shù)學(xué)思想之一,在因式分解中,從整體思想出發(fā),不僅能使問題的解決化繁為簡,而且對提高解題能力是大有裨益的.現(xiàn)將幾種常見的整體處理方法介紹如下:

    一、整體提取公因式

    例1分解因式(2-3 x)2+3 x-2.

    分析:因為(2-3 x)2=(3 x-2)2,把(3 x-2)作為整體,后兩項3 x-2添上帶正號的括號,得+(3 x-2),從而可以發(fā)現(xiàn)整體公因式(3 x-2).

    解:原式=(3 x-2)2+(3 x-2)

    =(3 x-2)(3 x-2-2)

    =(3 x-2)(3 x-4).

    點評:如果沒有整體意識,本題的解法則需要先計算,這將破壞現(xiàn)成的公因式(3x-2)而使接下去的分解有小小的難度.

    二、整體運用公式法

    例2分解因式(2 x-3)2+4(3-2 x)+4.

    分析:把(2 x-3)作為整體,多項式變形為(2 x-3)2-4(2 x-3)+4可以發(fā)現(xiàn)能用完全平方公式分解.

    解:原式=(2 x-3)2-4(2 x-3)+4

    =[(2 x-3)-2]2

    =(2 x-5)2.

    點評:初步分解后,要對因式進行同類項的合并處理.

    三、整體變形用公式

    例3分解因式(x2-2 x-1)(x2-2 x+1)-3.

    分析:把x2-2 x作為整體,原式變形為(x2-2 x)2-4,至此可以發(fā)現(xiàn)能用平方差公式分解.

    解:原式=[(x2-2 x)-1][(x2-2x)+1]-3

    =(x2-2 x)2-1-3

    =(x2-2 x)2-4

    =(x2-2 x+2)(x2-2 x-2).

    點評:如果不是把x2-2 x作為整體,而是先計算,則分解將難以進行下去.

    四、構(gòu)造整體再分解

    例4分解因式(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1.

    分析:把第一個因式(x+1)與第四個(x+4)相乘,第二個(x+2)與第三個(x+3)相乘,所得的積將出現(xiàn)相同的二次項和一次項,即都含有x2+5 x,再把x2+5 x作為整體進一步變形.

    解:原式=[(x+1)(x+4)] [(x+2)(x+3)]+1

    =[(x2+5x)+4][(x2+5 x)+6]+1

    =(x2+5 x)2+10(x2+5 x)+25

    =(x2+5 x+5)2.

    點評:根據(jù)題目特征構(gòu)造整體,是對整體思想的進一步理解與運用,是一種較高層次的思維活動.

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