三角形課程難度變化分析及其對(duì)教學(xué)指導(dǎo)的探究

張靜純

一、背景

本課題組成員陳丹媛借助史寧中教授等人的課程難度量化分析的模型，撰寫了文章《三角形課程難度的定量分析比較》，并于2014年10月12日在《考試周刊》發(fā)表，以此作為基礎(chǔ)，分析初中幾何課程三角形的課程難度變化對(duì)初中教師的教學(xué)實(shí)踐的指導(dǎo)。

根據(jù)已發(fā)表的前文，比較2011年版《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）與2000年版《全日制九年義務(wù)教育初中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（試用修訂版）》（以下簡稱《大綱》）?！洞缶V》中課程廣度系數(shù)、課程深度系數(shù)、課程事實(shí)時(shí)間、課程難度系數(shù)分別為G1=39，S1=88，T1=45，N1=131；而《標(biāo)準(zhǔn)》中對(duì)應(yīng)的系數(shù)為G2=41，S2=91，T2=50，N2=126。

二、教學(xué)指導(dǎo)

三角形是常見的幾何圖形之一，在生產(chǎn)和生活中有廣泛的應(yīng)用。教科書通過舉出三角形的實(shí)際例子讓學(xué)生認(rèn)識(shí)和感受三角形，形成三角形的概念。本文借助陳丹媛文獻(xiàn)所得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，可得到《標(biāo)準(zhǔn)》與《大綱》相比，課程難度降低了005，雖然課程廣度、課程深度有所增加，但是因?yàn)檎n程實(shí)施時(shí)間較長，使得課程難度有所降低。接下來，我將分析課程廣度、課程深度、課程實(shí)施時(shí)間、課程難度這四個(gè)影響因素的變化對(duì)初中教師的教學(xué)實(shí)踐的指導(dǎo)。

1課程廣度變化對(duì)教學(xué)實(shí)踐的指導(dǎo)

根據(jù)對(duì)陳丹媛文獻(xiàn)的分析可以得到，《標(biāo)準(zhǔn)》與《大綱》相比，三角形的知識(shí)點(diǎn)從概念方面來說，增加了等腰三角形、直角三角形、三角形的重心三個(gè)內(nèi)容，而且刪除了相似比；從技巧方面來說，增加了會(huì)作三角形的外接圓，刪除了作三角形的角平分線、中線和高?？傮w上說，《標(biāo)準(zhǔn)》下“三角形”的課程廣度有所增加。當(dāng)知識(shí)點(diǎn)既有增加又有減少，初中教師在進(jìn)行授課時(shí)，又應(yīng)該如何把握授課技巧和改變授課方法呢？接下來，我將逐一說明我自己的觀點(diǎn)：《標(biāo)準(zhǔn)》中新增加了等腰三角形、直角三角形的概念，其實(shí)也是從另一方面告訴我們等腰三角形、直角三角形越來越重要。還有就是，在《大綱》中只有三角形的內(nèi)心和外心，《標(biāo)準(zhǔn)》下增加了三角形的重心，內(nèi)心是三角形角平分線的交點(diǎn)，外心是三角形垂直平分線的交點(diǎn)，重心是三角形中線的交點(diǎn)，這三個(gè)知識(shí)點(diǎn)是非常重要的，我們必須牢牢記住。再者，《標(biāo)準(zhǔn)》下增加了作三角形的外接圓，刪除了作三角形的角平分線、中線和高，其實(shí)作三角形的外接圓必須先找出圓心，要找出圓心必須找出三角形的外心，也就是垂直平分線的交點(diǎn)，也就要求我們會(huì)作三角形的高和中線，而《大綱》與《標(biāo)準(zhǔn)》都有要求會(huì)作三角形的內(nèi)切圓，也就是找出圓心，就是找出三角形的內(nèi)心，也就是會(huì)作角平分線。初中學(xué)生好奇心強(qiáng)，特別是對(duì)新鮮事物，所以要盡量避免知識(shí)點(diǎn)的重復(fù)性，保持學(xué)生的這種好奇心，使學(xué)生更好更快地學(xué)好知識(shí)。

2課程深度變化對(duì)教學(xué)實(shí)踐的指導(dǎo)

基于對(duì)三角形課程的分析，可以知道，《標(biāo)準(zhǔn)》相比較于《大綱》，其對(duì)課程深度的賦值有些知識(shí)點(diǎn)有所增加，例如三角形頂點(diǎn)、邊、內(nèi)角、外角、角平分線、中線和高，全等三角形、銳角三角函數(shù)的概念要求和三角形的邊長關(guān)系、直角三角形的全等判定、勾股定理的逆定理這些定理部分；同時(shí)有些知識(shí)點(diǎn)的課程深度賦值卻有所降低，例如相似三角形的概念要求和三角形相似的判定定理、三角形相似的性質(zhì)定理這些定理部分。那課程深度賦值的增加或減少，對(duì)于教師的授課有何影響呢？

由對(duì)比可知，三角形的全等判定的課程難度賦值沒有變化，說明全等三角形這一內(nèi)容是非常重要的，而直角三角形的全等判定作為一個(gè)單獨(dú)的知識(shí)點(diǎn)，再增加其難度賦值。相似三角形與全等三角形的內(nèi)容有些許相同，但相對(duì)而言，相似三角形的內(nèi)容難度較大，為控制《標(biāo)準(zhǔn)》下的三角形的課程難度，所以減少難度較大的知識(shí)點(diǎn)的難度賦值是十分必要的。因其難度的降低，三角形的相似判定定理或性質(zhì)定理不再單獨(dú)作為一道題目，例如：

如圖，DE是△ABC的中位線，延長DE至F使EF=DE，連接CF，則S△CEF∶S四邊形BCED的值為（）

A1∶3 B2∶3

C1∶4 D2∶5

由題目可知，首先，我們可以證明△ADE≌△CFE（SAS），得到S△ADE=S△CFE；再因?yàn)镈E是△ABC的中位線，可知△ADE∽△ABC，得到S△ADE∶S△ABC=1∶4，因此可以知道所求的結(jié)果為A選項(xiàng)。從這道題知道，該題目主要的考點(diǎn)：相似三角形的判定性質(zhì)、全等三角形的判定性質(zhì)、三角形的中位線定理。就這個(gè)題目而言，對(duì)于相似三角形這個(gè)知識(shí)點(diǎn)我們可以很清晰地看出來，既讓我們必須學(xué)會(huì)了解三角形的定義和定理，又不會(huì)出現(xiàn)太過刁鉆的問題，降低了相似三角形該知識(shí)點(diǎn)的難度，從而使得一道題目可以出現(xiàn)好幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)又不至于難度太大，讓學(xué)生無法解答。因此，教師在講解的時(shí)候需要多注意知識(shí)的系統(tǒng)性，在教新知識(shí)的同時(shí)也要注意新舊知識(shí)的聯(lián)系。

3課程實(shí)施時(shí)間的變化對(duì)教學(xué)實(shí)踐的指導(dǎo)

由數(shù)據(jù)分析可知，《標(biāo)準(zhǔn)》中的三角形的課程實(shí)施時(shí)間較長，增加了五個(gè)課時(shí)。課時(shí)的增加一方面是因?yàn)檎n程廣度、課程深度的增加，所以需要增加課程實(shí)施時(shí)間來輔助教師的授課，以避免教師對(duì)新課的講解不夠具體，學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解不夠徹底；另一方面需要注意的是，因課時(shí)的增加，教師不應(yīng)過多地補(bǔ)充難題、怪題，而是應(yīng)該多注意幫助學(xué)生理解新舊知識(shí)的聯(lián)系，使學(xué)生形成一個(gè)系統(tǒng)的知識(shí)面。

4課程難度變化對(duì)教學(xué)實(shí)踐的指導(dǎo)

《標(biāo)準(zhǔn)》比《大綱》的課程難度降低了005，由課程難度量化分析模型N=αG/T+（1-α）S/T可知，雖然三角形的內(nèi)容的課程廣度、課程深度都增加了，但是課程實(shí)施時(shí)間較長，使得其可比廣度、可比深度都略微降低。課程難度過高不切合實(shí)際，讓學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握更加系統(tǒng)才是真理，所以降低課程難度是非常必要的。從課程廣度而言，雖然知識(shí)點(diǎn)個(gè)數(shù)增加了，但是增加的知識(shí)點(diǎn)都是難度較小，平時(shí)比較常用到的，相對(duì)的，就是刪除了難度較大也不常用的知識(shí)點(diǎn)，有增加也有刪除，是為了控制知識(shí)點(diǎn)的個(gè)數(shù)在適量的范圍之內(nèi)；從課程難度而言，對(duì)難度較大的知識(shí)點(diǎn)，如相似三角形這些內(nèi)容的難度賦值都有所降低，而對(duì)于常用的知識(shí)點(diǎn)其難度賦值卻有所上升，如直角三角形的全等判定，從而我們可以知道，根據(jù)新時(shí)代的發(fā)展，我們課本學(xué)習(xí)的知識(shí)要多與實(shí)際相聯(lián)系，特別是要注重這些內(nèi)容的掌握程度，使得我們“學(xué)有所用”；再從課程實(shí)施時(shí)間而言，因?yàn)槿切握n程廣度、課程深度的增加，為了避免教師授課時(shí)無法對(duì)知識(shí)進(jìn)行具體的講解，相應(yīng)地需要增加課時(shí)，但是，增加課時(shí)不是為了讓教師補(bǔ)充過多的課外知識(shí)或者怪題、難題，而是應(yīng)該注重課本內(nèi)容，多培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立思考能力，使學(xué)生養(yǎng)成一定的思維能力和推理能力，增強(qiáng)對(duì)新舊知識(shí)的聯(lián)系能力，形成一個(gè)知識(shí)系統(tǒng)。

總而言之，《標(biāo)準(zhǔn)》下的三角形的課程難度的降低，與課程廣度、課程難度、課程實(shí)施時(shí)間都有著一定的聯(lián)系，這給我們的啟示就是，若課程廣度、課程深度不變，而課程實(shí)施時(shí)間增加，會(huì)相應(yīng)地減少課程難度。