條件概率的三種求解方法

張瑜

【摘? ? 要】? 本文歸納了求解條件概率的三種方法，并通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單例子驗(yàn)證三種解題的方法，說(shuō)明每一種的方法的優(yōu)劣。

【關(guān)鍵字】? 古典概率;條件概率;樣本空間;樣本點(diǎn)

條件概率在概率論中是一個(gè)很重要的概念，因?yàn)橛蓷l件概率得到概率論中的乘法公式、全概率公式和貝葉斯公式。因此何如求解條件概率也是很重要的內(nèi)容。在教學(xué)中求解條件概率是一個(gè)重點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn)。比如在教學(xué)中，學(xué)生往往分不清楚這樣的兩個(gè)問(wèn)題：（1）求兩次都取到正品的概率。（2）已知第一次取到正品的條件下，求第二次也取到正品的概率。于是對(duì)學(xué)生強(qiáng)調(diào)把問(wèn)題符號(hào)化后，就可以看出第二個(gè)問(wèn)題是一個(gè)條件概率的問(wèn)題，這時(shí)就可以區(qū)分了。在浙江大學(xué)盛驟、謝式千等人編寫的教材《概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》一書中提供了兩種解題方法，一種是定義法：? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，先計(jì)算P（A）、P（AB），再根據(jù)定義式? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 求出條件概率。另外一種是對(duì)于一般的古典概率問(wèn)題，先計(jì)算P（B|A），在事件A發(fā)生的條件下，把A作為樣本空間，用古典概率的方法來(lái)計(jì)算條件概率? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，

其中m表示事件A的樣本點(diǎn)數(shù)，k表示事件AB的樣本點(diǎn)數(shù)。在吳贛昌主編的教材《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》一書中，明確提到也是這兩種方法。實(shí)際上分得細(xì)點(diǎn)可以說(shuō)有三種方法求解條件概率：定義法，A作為樣本空間條件下求概率P（B），還有一種是在A發(fā)生的條件下，在剩余的樣本空間里考慮概率P（B）。

一、基礎(chǔ)知識(shí)

定義：若試驗(yàn)E滿足下列條件：

（1）試驗(yàn)的樣本空間只包含有限個(gè)樣本點(diǎn)，即? ? ?={e1，e2，…en};

（2）每個(gè)樣本點(diǎn)的發(fā)生時(shí)等可能的，即? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，

則稱次試驗(yàn)為等可能概型（古典概型）。

在古典概型中，若樣本空間? ? 只包含n個(gè)樣本點(diǎn)，即有限個(gè)樣本點(diǎn)（基本事件），事件A是? ? ? 中事件，并且事件A中含有k個(gè)樣本點(diǎn)，則事件A發(fā)生的概率為? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，

稱P（A）為古典概率，這個(gè)式子也稱為古典概型中事件A的概率計(jì)算公式。

定義，設(shè)A、B是兩個(gè)事件，且P（A）>0，稱

為在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率。

二、求解條件概率的方法

如果是一般古典概型的題，求解條件概率的方法有三種：

（1）定義法。在整個(gè)樣本空間中先計(jì)算P（A）、P（AB），再由條件概率定義計(jì)算得 。

（2）事件A作為新的樣本空間來(lái)考慮樣本點(diǎn)數(shù)，即在事件A發(fā)生的條件下，A作為新的樣本空間來(lái)考慮樣本點(diǎn)數(shù)，用古典概率的方法求條件概率P（B|A）。

（3）把剩余部分作為新的樣本空間來(lái)考慮樣本點(diǎn)數(shù)，即在事件A發(fā)生的條件下，這里把A發(fā)生之后的部分看作是剩余的樣本空間，而把剩余樣本空間作為新的樣本空間，用古典概率的方法求條件概率P（B|A）。

下面針對(duì)這個(gè)三個(gè)方法來(lái)舉例。

例1一盒子裝有4只產(chǎn)品，其中有3只一等品，1只二等品，從中取產(chǎn)品兩次，每次任取一只，不放回抽樣。設(shè)事件A為“第一次取到的是一等品”，事件B為“第二次取到的是一等品”。試求條件概率P（B|A）。

解：方法1：定義法，由條件概率定義知? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，

先求P（A）、P（AB），而由于本題是任取產(chǎn)品問(wèn)題，可以看成是古典概型的題，由題意知4只產(chǎn)品中任取兩只，每次取一只的整個(gè)樣本空間的樣本點(diǎn)數(shù)為C14·C13，第一次取到一等品的取法為C13·C12+C13·C11（因?yàn)榈诙芜€沒(méi)取，有可能取到一等品，也有可能取到二等品）或C13C13（第一個(gè)C13表示的是第一次從一等品3只中任取一只，第二個(gè)C13表示的是第一次取了一只后從總的剩余的3只中任取一只），故? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?或

，第一次取到一等品，第二次一等品取法為C13C12，故? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，于是由條件概率的定義

。

方法2：在條件概率P（B|A）中，在事件A發(fā)生的條件下，將A作為新的樣本空間考慮樣本點(diǎn)數(shù)，即第一次取到一等品的取法為C13C13（第一個(gè)C13表示的是第一次從一等品3只中任取一只，第二個(gè)C13表示的是第一次取了一只后從總的剩余的3只中任取一只），第二次取到一等品的取法為C13C12 ，故? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。

方法3：在條件概率P（B|A）中，在剩余的樣本空間中考慮樣本點(diǎn)數(shù)，即第一次取到一等品一只（第一次取了結(jié)束了就不考慮了），第二次取的時(shí)候樣本空間就從總的剩余的3只中任取一只的取法為C13，第二次取到一等品的取法為C12，故? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 。

對(duì)比條件概率的三種方法，方法3是最簡(jiǎn)單的，用的是古典概率的方法，并且在計(jì)算分母的樣本空間時(shí)，第一次取了結(jié)束了，第二次取的時(shí)候就不考慮了。其實(shí)方法1中計(jì)算

（分母樣本空間的樣本點(diǎn)數(shù)為：從總的4只產(chǎn)品中任取一只的取法C14，分子事件A的樣本點(diǎn)數(shù)為：第一次取到一等品的取法C13，即第一次取時(shí)，第二次還沒(méi)發(fā)生，沒(méi)發(fā)生就不考慮）;而方法1是用定義，明確、好理解的;方法2是條件作為新的樣本空間來(lái)考慮樣本點(diǎn)數(shù)，比較難理解，但也是一個(gè)解題方法。

【參考文獻(xiàn)】

[1]盛驟，謝式千，潘承毅 編.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（第四版）[M].高等教育出版社，2008：15-16.

[2]吳贛昌 主編.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].中國(guó)人民大學(xué)出版社，2011：18-20.

[3]楊七九 主編.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].上海交通大學(xué)出版社，2018：14.

【項(xiàng)目編號(hào)：2019J0245，云南省教育廳項(xiàng)目，教師類項(xiàng)目，名稱：基于探究式學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)教學(xué)研究】

（1984～），女（白族），云南麗江人，云南大學(xué)旅游文化學(xué)院信息學(xué)院，講師，研究生碩士學(xué)位，計(jì)算數(shù)學(xué)專業(yè)，研究方向：信息安全，網(wǎng)絡(luò)計(jì)算。