在探究中構(gòu)建關(guān)系模型

周信國　李海東

關(guān)系模型就是表示數(shù)量之間關(guān)系的模型。小學數(shù)學中常見的數(shù)量關(guān)系包括速度、時間和路程關(guān)系，單價、數(shù)量和總價關(guān)系，工作時間、工作效率和工作總量關(guān)系，正比例關(guān)系和反比例關(guān)系等。如果學生能熟練應用這些數(shù)量關(guān)系解決實際問題，他們的學習就會事半功倍。因此，教師要注重引導學生自主建構(gòu)數(shù)量關(guān)系模型。江蘇省優(yōu)質(zhì)課比賽一等獎獲得者顧憲聰老師執(zhí)教的“常見的數(shù)量關(guān)系”為我們做了很好的示范。他大膽放手，引導學生用數(shù)學眼光尋找數(shù)量關(guān)系，分析數(shù)量關(guān)系。學生在觀察、比較和歸納活動過程中理解并掌握了數(shù)量關(guān)系，自主構(gòu)建了數(shù)量關(guān)系的模型，發(fā)展了數(shù)學思維，提升了數(shù)學探究能力。顧老師的課堂幽默、風趣、富有感染力，整節(jié)課洋溢著濃濃的數(shù)學味。

一、初步探究中構(gòu)建關(guān)系模型

師（出示情境圖）：你能很快整理出圖中的條件嗎？

生：把鋼筆買幾支和每支幾元放在一起，把5本練習本和每本3元放在一起，這樣整理才有條理。

師：每支12元可以寫成12元/支，讀作十二元每支，它表示什么意思？

生：一支鋼筆12元。

師：你能把每本3元寫成這樣的形式嗎？

生：3元/本，表示1本練習本3元，讀作三元每本。

師：經(jīng)過整理，你能很快求出什么問題？

生：買鋼筆要12×4=48元，買練習本要3×5=15元。

師：你是怎樣想的？

生：每支鋼筆12元，4支就是4個12；每本練習本3元，5本就是5個3。

師：如果文件夾的價錢是4元/個，想買2個文件夾。老師要問什么問題？

生：文件夾要多少錢？

師：這兒的12元/支、3元/本、4元/個，我們都可以稱為商品的單價。

師：買的4支、5本、2個叫作——

生：數(shù)量。

師：買每種文具一共用的錢數(shù)其實就是——

生：總價。

師：怎么求總價？

生：數(shù)量×單價=總價。

師：求鋼筆總價是用鋼筆單價乘以鋼筆數(shù)量，那么求練習本的總價呢？

生：練習本的單價×練習本的數(shù)量=練習本的總價。

師：文件夾呢？

生：文件夾的單價×文件夾的數(shù)量=文件夾的總價。

師：關(guān)于這三個數(shù)量之間的關(guān)系，你還想到了什么？

生：總價÷數(shù)量=單價。

師：能結(jié)合這里的例子說一說嗎？

生：練習本一共要15元，練習本的單價是3元，用練習本的總價÷單價=數(shù)量。

師：已知三個量中其中的——（兩個）就可以求出——（另一個量）

師：像單價的這種表示形式在生活中還有很多?？?！水果店中奇異果的單價是——

生：4元/個。

師：牛肉店里五香牛肉的單價是——

生：20元/盒。

師：茶餐廳中香蕉奶昔的單價是——

生：32元/份。

師：選一個你最感興趣的單價介紹一下。

生：五香牛肉的單價是一盒20元。

師：如果買2盒五香牛肉，總價是多少？

生：20×2=40（元）。

師：如果買3盒呢？

生：20×3=60（元）。

師：現(xiàn)在想買5盒呢？

生：5×20=100（元）。

師：可以寫成20×5嗎？

生：可以。

師：看這些算式——20×2=40（元）、20×3=60（元）和20×5=100（元），你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：都是單價×數(shù)量=總價。單價不變，數(shù)量變，總價跟著變。

師：如果現(xiàn)在老師想買2個奇異果、2盒五香牛肉和2份香蕉奶昔，誰的總價最多？為什么？

生：香蕉奶昔單價是32元/份，單價最大。它們的數(shù)量一樣，單價越大，總價越多。

【賞析】數(shù)學來源于生活。在教學中，顧老師引導學生用數(shù)學眼光觀察生活中購物的實際問題，在初步認識單價后，引導學生學會改寫單價、讀出單價，然后學生根據(jù)已知條件提出問題，再在問題解決中認識數(shù)量和總價后，直至自主發(fā)現(xiàn)“數(shù)量、單價和總價”三者之間的關(guān)系，構(gòu)建“數(shù)量×單價=總價”的計算模型，并舉一反三地發(fā)現(xiàn)“總價÷數(shù)量=單價”以及“總價÷單價=數(shù)量”。三個數(shù)量中，最核心、最重要的是單價，顧老師通過奇異果、五香牛肉和香蕉奶昔等商品信息幫助學生進一步認識單價，促進學生在隨機應用中進一步理解并掌握“數(shù)量×單價=總價”這個基本數(shù)學模型。學生在模型構(gòu)建中不但發(fā)現(xiàn)了積的變化規(guī)律（單價不變，數(shù)量變，總價跟著變），而且初步感悟了模型思想和變與不變的數(shù)學思想，還在分析和對比中梳理了“數(shù)量、單價和總價”三者之間的關(guān)系，增進了學生對數(shù)量關(guān)系的認識，增強了學生數(shù)學學習中的探究意識和模型意識。

二、深入探究中構(gòu)建關(guān)系模型

師：老師從南京開車來學校，每小時行90千米；徐老師騎自行車來學校，每分鐘行200米。這些都可以稱為速度。2小時、10分鐘就是——

生：時間。

師：一共行多長的路就是——

生：路程。

師：速度在生活中很常見，舉個例子吧。

生：徐老師騎車每分鐘行200米就是速度。

生：顧老師開車每小時行90千米也是速度。

師：烏龜?shù)乃俣仁敲糠?米，可以改寫成2米/分；聲音的速度是每秒340米，能改寫嗎？

生：340米/秒。

師：表示什么意思？

生：聲音的速度是每秒340米。

師：真好。還能說說其他速度嗎？

生：公路限速120千米/時。

生：一輛汽車的速度是100千米/時。

師：當前的速度是100千米/時。如果一輛車行駛在這條路上，超速嗎？

生：不超速。

師：像這兒的每分、每秒、每時行的路程，我們都把它稱為——

生：速度。

師：速度、時間和路程三者之間有什么關(guān)系？

（課件出示研究提示：1.寫：把速度改寫成另外一種形式；2.算：分別求出汽車和自行車行駛的路程；3.想：速度、時間和路程之間有什么關(guān)系？學生完成后展示交流。）

生：汽車速度是90千米/時，自行車速度是200米/分。

師：表示什么意思？

生：90千米/時就是汽車行90千米要1小時。

生：汽車速度90千米/時×時間2時=路程180千米；自行車速度200米/分×時間10分=路程2 000米。

師：你發(fā)現(xiàn)了——

生：路程=速度×時間。

師：感謝你們幫老師算出南京到江陰的路程是180千米。如果現(xiàn)在老師改騎摩托車，需要多少時間？（出示：摩托車速度是60千米/時。）

生：180÷60=3（時）。

師：如果以后從南京到江陰開通動車要多少時間？（出示：動車速度是180千米/時。）

生：1個小時。

師：怎么求時間？

生：路程÷速度=時間。

師：如果要求速度呢？

生：路程÷時間=速度。

師：你還有什么發(fā)現(xiàn)？

生：動車最快，摩托車最慢。

生：路程不變，速度越快，時間越少。

師：說得真好。隨著交通工具的發(fā)展，速度越來越快，時間卻越來越少。這三者之間的關(guān)系有沒有變？

生：沒有，都是路程=速度×時間。

【賞析】路程、時間和速度三個數(shù)量中，速度是核心。顧老師先根據(jù)實際情況引導學生初步認識速度、時間和路程，學習速度的改寫、讀法和意義，接著引導學生認識“超速”，再引導學生通過自主寫、算、讀和交流，合作發(fā)現(xiàn)了這三種數(shù)量之間的關(guān)系——“路程=速度×時間”“路程÷速度=時間”“路程÷時間=速度”，從而建立了三個新的數(shù)學模型。學生在構(gòu)建數(shù)學模型的過程中發(fā)現(xiàn)“路程不變，速度越快，時間越少”的規(guī)律，但三者之間的關(guān)系不變，都是“路程=速度×時間”。把實際問題抽象成數(shù)學模型的過程中，學生不僅深刻理解了速度的內(nèi)涵，還理清了路程、速度和時間之間的數(shù)量關(guān)系。鮮活、多樣、由淺入深的探究練習，不僅幫助學生在解決簡單實際問題中進一步理解并掌握了所建構(gòu)的數(shù)學模型，而且?guī)椭鷮W生在建模活動中體會到數(shù)學學習的價值，感知了聯(lián)系和發(fā)展的觀點，進一步感悟了數(shù)學模型思想和變與不變的數(shù)學思想。

三、溝通聯(lián)系中深化關(guān)系模型

師：總價=單價×數(shù)量、路程=速度×時間，都是我們生活中常見的數(shù)量關(guān)系。能不能用自己的方式表示這兩個數(shù)量關(guān)系呢？

生：總數(shù)=每份數(shù)×份數(shù)。

師：這兒的每份數(shù)、份數(shù)和總數(shù)指什么呢？

生：總數(shù)在這兒指總價，每份數(shù)指單價，份數(shù)指數(shù)量。

生：每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)。總數(shù)就是總價和路程，每份數(shù)就是單價和速度，份數(shù)就是數(shù)量和時間。

師：真厲害，把兩個都說進去了。

師：你能編一道關(guān)于總價、單價、數(shù)量或者路程、速度、時間的數(shù)學問題嗎？

生：買一個杯子要10元，買3個杯子一共要多少錢？

師：誰能回答？

生：三個杯子一共要30元。一個杯子10元，3個杯子就是3個10，用乘法算。

師：用的什么數(shù)量關(guān)系？

生：單價×數(shù)量=總價。

生：買3瓶可樂，每瓶要3元。一共要多少元？3×3=9（元）。

師：用的是什么數(shù)量關(guān)系？

生：單價×數(shù)量=總價。

生：一輛動車每小時能行300千米，行了3小時。行了多少千米？每小時行300千米，行了3小時，3個300，就是900千米。

師：用了什么數(shù)量關(guān)系？

生：速度×時間=路程。

【賞析】數(shù)學模型最重要的作用就是用數(shù)學語言解釋現(xiàn)實世界。史寧中教授認為，在小學數(shù)學“數(shù)與代數(shù)”部分，本質(zhì)上只有“總量=部分量+部分量”和“總數(shù)=每份數(shù)×份數(shù)”兩種模型。從這種意義上說，學生所發(fā)現(xiàn)的數(shù)量關(guān)系其實是乘法意義的一種具體化。在教學中，顧老師引導學生嘗試用自己的話總結(jié)數(shù)量關(guān)系式與乘法意義的聯(lián)系，溝通了數(shù)量關(guān)系之間的聯(lián)系。學生把兩個似乎不同的數(shù)量關(guān)系融為一體，從而使所學知識真正具有了數(shù)學模型的價值。編題不僅培養(yǎng)了學生的數(shù)學語言表達能力，而且培養(yǎng)了學生應用數(shù)學模型的能力。學生在應用中不僅加深了對所構(gòu)建模型的理解和認識，而且在加深理解中內(nèi)化了數(shù)學模型。

整節(jié)課，顧老師把教學重點放在“數(shù)量關(guān)系”的教學上，通過呈現(xiàn)數(shù)學味的現(xiàn)實情境，引導學生經(jīng)歷知識的“生長”過程，促使學生在現(xiàn)實背景中和問題解決過程中，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間的內(nèi)在聯(lián)系，體會和抽象出數(shù)學模型，探索了更深層次的數(shù)學規(guī)律，提升了學生的綜合數(shù)學素養(yǎng)。