考慮垂向摩阻的裂縫擬三維延伸模型

趙金洲，彭 瑀，李勇明，劉作磊，符東宇

（西南石油大學(xué)油氣藏地質(zhì)及開發(fā)工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川成都610500）

考慮垂向摩阻的裂縫擬三維延伸模型

趙金洲，彭 瑀，李勇明，劉作磊，符東宇

（西南石油大學(xué)油氣藏地質(zhì)及開發(fā)工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川成都610500）

裂縫擬三維延伸模型具有極快的收斂速度、令人滿意的計(jì)算精度和較強(qiáng)的適應(yīng)性，但該類模型中沒有考慮垂向摩阻，計(jì)算得到的裂縫高度偏大，不能模擬存在縫高失控的裂縫三維延伸過程。推導(dǎo)存在垂向摩阻的裂縫寬度解析表達(dá)式，考察裂縫張開位移判據(jù)的精度，認(rèn)為對(duì)于常規(guī)水力裂縫沒有必要進(jìn)行小范圍屈服修正。在此基礎(chǔ)上，考慮雙線性流動(dòng)模式和壓裂液的初濾失，建立改進(jìn)的裂縫擬三維延伸模型。實(shí)例模擬分析表明：改進(jìn)模型精度更高；當(dāng)隔層應(yīng)力差較大時(shí)，下縫高的延伸極其緩慢，有利于底水油藏壓裂；當(dāng)隔層應(yīng)力差極小時(shí)，裂縫高度與長(zhǎng)度近似相等，但由于重力差作用，上、下縫高仍有明顯差異。

壓裂；裂縫延伸；擬三維模型；垂向摩阻；裂縫張開位移判據(jù)

裂縫延伸是壓裂工藝的核心問題，裂縫的幾何尺寸、導(dǎo)流能力和有效縫長(zhǎng)直接決定了壓后產(chǎn)能和單井經(jīng)濟(jì)效益［1-2］。20世紀(jì) 50年代以來，Khristianovich、Geertsma、De Klerk和Perkins、Kern、Nordgern等分別建立并完善了 KGD和 PKN模型［3］。Palmer［4-6］和 Clifton［7-8］又引入不同的縫高擴(kuò)展判據(jù)，建立了裂縫擬三維和全三維延伸模型。其中，裂縫擬三維延伸模型以其極快的收斂速度、令人滿意的計(jì)算精度和較強(qiáng)的適應(yīng)性而倍受石油工程師青睞。但該模型中沒有考慮垂向摩阻，許多實(shí)例都證實(shí)，其計(jì)算得到的裂縫高度偏大［9］，并且不能模擬隔層應(yīng)力差不足、存在縫高失控的裂縫三維延伸過程。筆者在Palmer模型和Morales模型［10］的基礎(chǔ)上，考慮雙線性流動(dòng)模式、裂縫張開位移（crack opening displacement，COD）擴(kuò)展判據(jù)和壓裂液的初濾失，建立改進(jìn)的裂縫擬三維延伸模型，并對(duì)該模型的特點(diǎn)和適應(yīng)性進(jìn)行分析。

1 模型假設(shè)條件

假設(shè)條件為：

（1）產(chǎn)層、蓋層和底層是各向同性的線彈性體，并且它們的最小水平主應(yīng)力梯度恒定。

（2）黏性流體在裂縫中的流動(dòng)可以分解成沿縫長(zhǎng)方向的主要線性流動(dòng)和沿縫高方向的次要線性流動(dòng)［11］，如圖1所示。

圖1 黏性液體在裂縫中的流動(dòng)模式Fig.1 Flow pattern in hydraulic fracture of viscous fluid

（3）次要線性流動(dòng)滿足平板壓降方程，流壓中心在與射孔位置相交的水平線上。

（4）主要線性流動(dòng)滿足橢圓管流的壓降方程。

（5）縫寬的分布滿足平面應(yīng)變條件下的England&Green方程。

（6）縫高擴(kuò)展判據(jù)為COD準(zhǔn)則。

（7）選取流壓中心的產(chǎn)層應(yīng)力作為平均產(chǎn)層應(yīng)力，地應(yīng)力梯度沿流壓中心向上為正值，沿流壓中心向下為負(fù)值；流體重力對(duì)縫面應(yīng)力狀態(tài)的影響與地應(yīng)力梯度的影響類似，但是符號(hào)相反。

假設(shè)條件（2）引入的流動(dòng)模式比原有的一維流動(dòng)假設(shè)更加接近真實(shí)情況，但裂縫截面依然處在平面應(yīng)變狀態(tài)，因此模型也是擬三維的。通過假設(shè)條件（3）和（7）可以繪制出裂縫任一橫截面處的壁面應(yīng)力狀態(tài)，如圖2所示。

圖2 裂縫壁面應(yīng)力分布Fig.2 Stress on fracture face

對(duì)圖2中的應(yīng)力分布情況，有如下說明：

（1）圖2中的第二項(xiàng)隔層應(yīng)力差值是指蓋層和底層的平均最小水平主應(yīng)力與產(chǎn)層的平均最小水平主應(yīng)力之差，因此第一項(xiàng)產(chǎn)層應(yīng)力才有可能在整個(gè)垂向上均勻分布。

（2）若考慮射孔孔眼在產(chǎn)層的中部則流壓中心和產(chǎn)層中心重合，此時(shí)流壓中心與裂縫中心的偏距可以用s表示。

（3）重力差是指垂向的最小水平主應(yīng)力梯度與壓裂液重力梯度之和，由于最小水平主應(yīng)力梯度必然比壓裂液重力梯度大，因此形成了圖2中第四項(xiàng)重力差的分布情況。

2 模型建立與求解

模型主要可以分為縫寬方程、縫高擴(kuò)展判據(jù)和其他輔助方程3個(gè)部分。

2.1 縫寬方程

England&Green方程［12］的形式為

式中，f（z）為作用于裂縫壁面的偶分布應(yīng)力，MPa；g（z）為作用于裂縫壁面的奇分布應(yīng)力，MPa；F（T）為偶分布應(yīng)力的中間積分函數(shù)，MPa.m；G（T）為奇分布應(yīng)力的中間積分函數(shù)，MPa；z為裂縫垂向剖面上某一點(diǎn)到裂縫中心的距離，m；T為積分中間變量，m；υ為泊松比；E為彈性模量，MPa；W為裂縫寬度，m；l為裂縫半高，m。

England&Green公式的積分過程比較復(fù)雜，在應(yīng)力分布的間斷點(diǎn)或奇偶性改變的點(diǎn)都須通過奇偶分離才能帶入公式進(jìn)行積分。如果處理的非奇非偶應(yīng)力太多，被積函數(shù)就要分成很多段，運(yùn)算過程相當(dāng)復(fù)雜，因此須對(duì)應(yīng)力分布進(jìn)行合并簡(jiǎn)化?？紤]到流體壓力在裂縫中的任何位置都應(yīng)該大于零，可以將圖2中的第三、四和五項(xiàng)加起來對(duì)縫寬的求解進(jìn)行簡(jiǎn)化。圖3即為簡(jiǎn)化后決定縫寬的四組應(yīng)力。

單獨(dú)受其中某一應(yīng)力影響下的縫寬分別可用W1、W2、W3和W4表示，其中W4又由圖3（d）中的3部分構(gòu)成，表示為W41、W42和W43。最終的裂縫寬度應(yīng)該為這6部分的線性疊加。

其中

式中，W1、W2、W3、W41、W42和 W43分別為僅受產(chǎn)層、蓋層、底層和其余應(yīng)力各部分影響下的縫寬，m；pfmax為最大縫內(nèi)流壓，MPa；pmaxup和pmaxlow分別為上尖端和下尖端縫內(nèi)流壓，MPa；σmid和σlow分別為產(chǎn)層和底層最小水平主應(yīng)力，MPa；σup為蓋層最小水平主應(yīng)力，MPa；s為流壓中心與裂縫中心的距離，m；h為產(chǎn)層厚度，m。

當(dāng)裂縫未穿過產(chǎn)層時(shí)受到對(duì)稱應(yīng)力的影響，裂縫寬度的最終表達(dá)式退化為

其中

式中，W′為裂縫在層內(nèi)延伸時(shí)的縫寬，m；W1′為僅受凈壓力影響時(shí)的縫寬，m；W2′為僅受重力差影響時(shí)的縫寬，m；W3′為僅受對(duì)稱摩阻影響時(shí)的縫寬，m；γf為地應(yīng)力梯度，MPa/m；γl為流體重力梯度，MPa/ m；k為對(duì)稱縫中垂向壓降，MPa/m。

文獻(xiàn)［13］和［14］中認(rèn)為式（3）中對(duì)稱摩阻對(duì)縫寬的影響W′3可表示為

式中，We′為錯(cuò)誤公式計(jì)算出的僅受對(duì)稱摩阻影響的縫寬，m。

將式（3）和式（4）的模擬結(jié)果繪制曲線，如圖4所示。圖4中黑色實(shí)線為式（3）得出的結(jié)果，而藍(lán)色點(diǎn)線為式（4）得出的結(jié)果。實(shí)線在縫高范圍內(nèi)［-30，30］為負(fù)，表示摩阻的影響是降低縫內(nèi)壓力，減小縫寬。點(diǎn)線在裂縫中心為正，認(rèn)為摩阻的存在增大了縫寬，這明顯與實(shí)際不符。不僅如此，在式（4）中裂縫尖端處摩阻對(duì)縫寬的影響不等于零，這也與實(shí)際不符，因?yàn)樵诹芽p的尖端，兩個(gè)壁面會(huì)有交點(diǎn)，該尖端相當(dāng)于一個(gè)固定約束，不論受到任何應(yīng)力作用，該處的相對(duì)位移必須為零。在計(jì)算對(duì)稱摩阻的影響時(shí)，應(yīng)該采用式（3）而非式（4）。

圖3 決定縫寬的四組應(yīng)力Fig.3 Four stress groups deciding fracture width

圖4 僅有對(duì)稱摩阻影響下的裂縫寬度Fig.4 Fracture width only under the influence of vertical symmetric resistance

2.2 縫高擴(kuò)展判據(jù)

縫高擴(kuò)展判據(jù)主要有Rice推導(dǎo)的應(yīng)力強(qiáng)度因子公式［15］和 Clifton引入的縫高擴(kuò)展判據(jù)（原文獻(xiàn)［7］中的公式錯(cuò)誤，具體可見下文的推導(dǎo)過程和參考文獻(xiàn)［16］）兩種。

式中，p（z）為縫內(nèi)流壓，MPa；Kup和Klow分別為上尖端和下尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子，MPa.m1/2；KICup和KIClow分別為上尖端和下尖端斷裂韌性，MPa.m1/2；a為距離裂縫尖端的微小距離，m。

文獻(xiàn)［17］～［19］中稱式（5）為靜態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子，式（6）為動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子。為了求證這種說法，通過數(shù)學(xué)彈性力學(xué)對(duì)式（6）進(jìn)行推導(dǎo)。

假設(shè)在無限大平面中有一長(zhǎng)為2l的裂縫處在平面應(yīng)變狀態(tài)。以該裂縫的中心為原點(diǎn)，縫長(zhǎng)方向?yàn)閤軸建立直角坐標(biāo)系，如圖5所示。

圖5 擴(kuò)展判據(jù)幾何示意圖Fig.5 Geometry sketch diagram of crack propagation criterion

根據(jù)Westergaard應(yīng)力函數(shù)理論，在邊界條件不相等的情況下將復(fù)空間的應(yīng)力函數(shù)假設(shè)為

由柯西-黎曼條件、應(yīng)力函數(shù)定義可得各應(yīng)力分量的表達(dá)式為

式中，σx為x方向正應(yīng)力，MPa；σy為y方向正應(yīng)力，MPa；τxy為xoy平面切應(yīng)力，MPa。

應(yīng)力函數(shù)須滿足3個(gè)邊界條件：①|(zhì)x|＞l時(shí)，σy＞σh；②|x|＜l時(shí)，σy=0；③無窮遠(yuǎn)處，σy=σh，σx=σv（若考慮縫內(nèi)有均勻壓力作用，則σh為最小水平主應(yīng)力與縫內(nèi)壓力的差值［20］）。根據(jù)前兩個(gè)邊界條件可以假設(shè)解析函數(shù)Z有如下形式：

利用邊界條件③、式（8）和（9）可以解出在x軸上z趨于無窮大時(shí)，σy=σh，σx=σh-2A，因此A=（σh-σv）/2。

將式（9）轉(zhuǎn)換為尖端的局部坐標(biāo)系，有

式中，r為裂縫尖端局部坐標(biāo)中的徑向距離，m；θ為裂縫尖端局部坐標(biāo)中與x軸正向的夾角，（°）；σh為最小水平主應(yīng)力，MPa；σv為垂向應(yīng)力，MPa。

考慮r?l，可以略去分子中的reiθ和分母中的r2e2iθ并分離實(shí)部和虛部，得

解析函數(shù)Z的導(dǎo)數(shù)為

略去式（12）中的無窮小量并分離實(shí)部和虛部有

將式（11）和（13）帶入式（8）可得應(yīng)力分量的表達(dá)式為

式中，KI為I型應(yīng)力強(qiáng)度因子，MPa.m1/2。

在r?l時(shí)，（σh-σv）可以忽略，運(yùn)用平面應(yīng)變條件下的物理方程和幾何方程，可得位移分布為

式中，u為忽略高階小量的裂縫面切向位移；v為忽略高階小量的裂縫面法向位移，m。

在距離尖端微小距離a處裂縫的張開位移應(yīng)該等于2v。令r=a，θ=π?？梢詫?dǎo)出Clifton引入的縫高擴(kuò)展判據(jù)（a?l）為

由式（16）可知，原始文獻(xiàn)［7］中的表達(dá)式是錯(cuò)誤的。從該推導(dǎo)過程不難看出，全程均未考慮載荷變化和裂縫擴(kuò)展。最終的表達(dá)式也只是裂縫尖端張開位移（式（16）中表示為縫寬）與斷裂韌性的關(guān)系，并沒有擴(kuò)展速度或者加載速度對(duì)裂縫擴(kuò)展的影響。由此可知，式（6）是一個(gè)完全彈性條件下的裂縫張開位移判據(jù)，并不是所謂的動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子。Clifton引入該判據(jù)，是為了僅讓裂縫尖端的應(yīng)力、應(yīng)變場(chǎng)控制裂縫的延伸，以提高全三維模型的計(jì)算速度。

采用式（5）模擬時(shí)，須將如圖3的應(yīng)力分布情況帶入式（5），重新計(jì)算一組新的縫高擴(kuò)展判據(jù)。采用式（6）模擬時(shí)，可直接令式（2）中z=l-a和z=a-l處的縫寬等于式（6）中的臨界值（方程的右端），并聯(lián)立二式解非線性方程組得到半縫高l和流壓中心與裂縫中心的距離s。再將得到的l和s帶入式（2）即可計(jì)算縫寬截面。為了避免再次推導(dǎo)基于式（5）的復(fù)雜方程，采用式（6）作為本文的縫高擴(kuò)展判據(jù)。

2.3 COD判據(jù)應(yīng)用

COD判據(jù)一般應(yīng)用于彈塑性情況，須對(duì)裂縫長(zhǎng)度進(jìn)行小范圍屈服修正，在原有裂縫長(zhǎng)度的基礎(chǔ)上加上ry。巖石的斷裂韌性一般為1～2 MPa.m1/2，屈服強(qiáng)度大約為20 MPa。通過估計(jì)出的屈服區(qū)域尺寸最多只能達(dá)到毫米級(jí)別［21］。

式中，σs為屈服應(yīng)力，MPa；KIC為斷裂韌性，MPa. m1/2；ry為等效縫長(zhǎng)的修正因子，m。

不考慮式（17）的修正不會(huì)造成太大誤差，且回避了測(cè)試屈服強(qiáng)度帶來的困難，因此本模型中并沒有進(jìn)行小范圍屈服修正。

對(duì)于COD擴(kuò)展判據(jù)的應(yīng)用，值得注意的是變量a的取值。一些文獻(xiàn)認(rèn)為a的取值應(yīng)該約為0.5 m，但并未給出詳細(xì)的論證過程。在復(fù)分析［22］和斷裂力學(xué)理論的指導(dǎo)下可進(jìn)行不同a取值的誤差分析。將式（8）帶入平面應(yīng)變下的物理方程［23］可得y方向的位移為

式中，G為剪切模量，MPa；v*為精確的裂縫面法向位移，m。

通過復(fù)函數(shù)積分、柯西-黎曼條件和坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，可由式（9）的解析函數(shù)得到θ=π時(shí)各函數(shù)的表達(dá)式為

將式（19）帶入式（18）可得局部坐標(biāo)系下裂縫壁面y方向位移的表達(dá)式為

從式（20）可以看出，y方向的位移（裂縫半寬）不受垂向應(yīng)力的影響，這與長(zhǎng)期以來裂縫模擬的基本思想吻合。令無因次距離D=r/l，結(jié)合式（20）和（15）可得無因次相對(duì)誤差Ψ的計(jì)算式為

將式（21）的模擬結(jié)果繪制在圖6中，可以看出事實(shí)上a（即r）并沒有最優(yōu)取值。a越小越好，但不能等于零，否則式（6）和式（2）會(huì)線性相關(guān)，無法求解縫高。將a取為0.5 m確實(shí)已經(jīng)具有了較高精度，但按照目前計(jì)算機(jī)的運(yùn)行能力將a取得更小也完全可以實(shí)現(xiàn)。建議將a取到0.01 m以下，盡量提高運(yùn)算精度。

圖6 無因次距離對(duì)誤差的影響Fig.6 Influence of dimensionless distance on relative error

2.4 其他輔助方程

主要線性流方向壓降為

式中，kμ為稠度系數(shù)，MPa.sn；n為流態(tài)指數(shù)；Q為沿縫長(zhǎng)方向的流量，m3/s；Wmax為垂向上的最大縫寬，m；x為縫長(zhǎng)方向某一點(diǎn)到井底距離，m。

次要線性流向上流動(dòng)的壓降k1為

式中，vup為向上流動(dòng)的流速，m/s；Wup為流壓中心以上的平均縫寬，m。

次要線性流向下流動(dòng)的壓降k2為

式中，vlow為向下流動(dòng)的流速，m/s；Wlow為流壓中心以下的平均縫寬，m。

考慮初濾失的物質(zhì)平衡方程為

式中，C為濾失系數(shù)，m/s1/2；t為時(shí)間，s；tp為水力裂縫中某處剛開始接觸液體的時(shí)刻，s；Ae為裂縫截面積，m2；Vsp為初濾失量，m3/m2。

2.5 模型求解

模型的求解過程如圖7所示。

圖7 計(jì)算程序框圖Fig.7 Flow chart of computer program

3 實(shí)例模擬分析

3.1 高應(yīng)力差的精度

Y-324井壓裂目標(biāo)層厚14 m，隔層力學(xué)性質(zhì)良好，頂層應(yīng)力差5.65 MPa，底層應(yīng)力差7.32 MPa。蓋層、產(chǎn)層和底層的斷裂韌性分別為1.8、1.1和2.2 MPa.m1/2，彈性模量和泊松比分別為23 GPa和0.28，濾失系數(shù)變化較大取平均值約為1.74× 10-4m/s1/2，稠度系數(shù)和流態(tài)指數(shù)分別為1.4 MPa. sn和0.6。目標(biāo)井采用3.7 m3/min的中高排量注液50 min后得到了圖8中的施工監(jiān)測(cè)凈壓力曲線。

圖8 Y-324井實(shí)例分析Fig.8 Case study of well Y-324

將該井的相關(guān)地質(zhì)和施工參數(shù)代入本文模型后計(jì)算得到了圖8紅色的凈壓力曲線。對(duì)比表明，在后期注液穩(wěn)定的時(shí)段，模型計(jì)算的凈壓力與監(jiān)測(cè)得到的凈壓力擬合程度很高；但在施工前期，由于本文模型沒有考慮地層起裂等因素的影響，凈壓力差異較大。但總體來說計(jì)算結(jié)果與監(jiān)測(cè)結(jié)果符合良好，模型對(duì)凈壓力的預(yù)測(cè)具有較高精度。

Y-324井試井解釋縫長(zhǎng)為115.1 m，測(cè)井解釋上縫高為21.82 m，下縫高為10.71 m。利用經(jīng)典模型模擬的水力裂縫動(dòng)態(tài)縫長(zhǎng)為108 m，上縫高為24.82 m，下縫高為15.3 m；可以看出經(jīng)典模型模擬的縫高偏大、縫長(zhǎng)不足。本文模型考慮了垂向壓降，縫高會(huì)明顯受限，模擬輸出的動(dòng)態(tài)縫長(zhǎng)為115 m，上縫高為20.25 m，下縫高為12.75 m，比常規(guī)模型更加接近實(shí)測(cè)結(jié)果。

圖9為不同注液時(shí)刻的裂縫幾何形態(tài)，裂縫在施工初期延伸快，隨著時(shí)間的推移延伸越來越慢，特別是下縫高基本處在停滯狀態(tài)。只要能夠選取高應(yīng)力隔層或采取行之有效的控縫高技術(shù)、直接或間接地增加隔層應(yīng)力差就能夠?qū)崿F(xiàn)在不溝通底水的條件下對(duì)油氣藏實(shí)施較大規(guī)模的改造。

圖9 Y-324井裂縫幾何形態(tài)Fig.9 Fracture geometry of well Y-324

3.2 低應(yīng)力差的模擬

常規(guī)擬三維模型一般只能模擬隔層應(yīng)力差大于2 MPa的情況，不能對(duì)隔層應(yīng)力差不足存在縫高失控的裂縫三維延伸過程進(jìn)行模擬。本文中建立的模型考慮了垂向壓降變化，可以在一定程度上解決此類問題。

X-11324井的主力產(chǎn)層巨厚，不存在明顯的巖性和應(yīng)力隔層，蓋層、產(chǎn)層和底層的斷裂韌性約為1.1、1.2和1.2 MPa.m1/2，彈性模量和泊松比分別為40 GPa和0.25，由于有裂縫平均濾失量大，濾失系數(shù)取2.3×10-4m/s1/2，稠度系數(shù)和流態(tài)指數(shù)分別為1.2 MPa.sn和0.52。目標(biāo)井頂、底的隔層應(yīng)力差僅有1.0和1.2 MPa，常規(guī)的擬三維模型不能進(jìn)行有效模擬。但應(yīng)用本文中建立的模型可以輸出近似半圓形的裂縫形態(tài)（圖10），與施工經(jīng)驗(yàn)吻合。本文中建立的模型不僅可以提高在高應(yīng)力差條件下裂縫模擬的精度，還可以解決常規(guī)擬三維模型不能進(jìn)行低應(yīng)力差條件下裂縫模擬的問題。

圖10 X-11324井裂縫幾何形態(tài)Fig.10 Fracture geometry of well X-11324

圖10的模擬結(jié)果顯示當(dāng)隔層應(yīng)力差不足時(shí)，上縫高和下縫高的延伸都難以控制；但主要還是在重力差因素的影響下向上延伸。由于縫高失控，縫寬會(huì)大幅度降低，施工90 min后也不到4 mm，大大限制了加砂量，影響壓后裂縫導(dǎo)流能力。

4 結(jié) 論

（1）通過引入雙線性流動(dòng)模式和垂向摩阻，建立了改進(jìn)的裂縫擬三維延伸模型，該模型可以解決常規(guī)模型縫高估計(jì)過大和不能模擬低應(yīng)力差儲(chǔ)層裂縫延伸的問題。

（2）推導(dǎo)了在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)作用下的裂縫寬度表達(dá)式，指出了前期擬三維模型中關(guān)于對(duì)稱摩阻對(duì)縫寬影響的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，認(rèn)為模擬時(shí)應(yīng)該選取本文推導(dǎo)的計(jì)算式。

（3）推導(dǎo)了Clifton引入的縫高擴(kuò)展判據(jù)，指出了原始文獻(xiàn)中的錯(cuò)誤，并驗(yàn)證了該判據(jù)的精度，認(rèn)為應(yīng)該將判據(jù)中的變量距離尖端的微小距離a取到0.01 m以下，以盡量提高精度。

（4）對(duì)于常規(guī)水力裂縫無須對(duì)裂縫尖端進(jìn)行小范圍屈服修正，在對(duì)縫高進(jìn)行模擬時(shí)可將地層作為線彈性體。

（5）當(dāng)隔層應(yīng)力差較大時(shí)下縫高的延伸極其緩慢，有利于底水油藏的壓裂；當(dāng)隔層應(yīng)力差極小時(shí)裂縫高度與長(zhǎng)度近似相等，但由于重力差作用，上、下縫高仍有明顯差異。

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（編輯 李志芬）

A pseudo 3D fracture propagation model with consideration of vertical flow resistance

ZHAO Jinzhou，PENG Yu，LI Yongming，LIU Zuolei，F(xiàn)U Dongyu
（State Key Laboratory of Oil&Gas Reservoir Geology and Exploitation，Southwest Petroleum University，Chengdu 610500，China）

Pseudo 3D fracture propagation models can be used to simulate the process of hydraulic fracturing treatment，which have rapid convergence speed，satisfactory computing accuracy and flexible adaptation.However，these models neglected the effect vertical flow resistance，so they are unable to simulate fracture propagations in the formation lack of stress difference between the upper/lower layers，and the predicted fracture heights are larger than the real ones in most cases.In deriving a fracture width expression with vertical flow resistance and analyzing the accuracy of crack opening displacement（COD）criterion，it has realized that the correction with a small scale yielding is unnecessary for hydraulic fracturing.Therefore，an improved pseudo 3D fracture propagation model with vertical flow resistance was established considering a dual linear flow pattern and the loss of fracture fluid.The calculation results of a case study show that the new model is more accurate. In addition，the propagation of lower fracture height is very slow at the condition of a higher stress difference，which is good for fracturing in bottom water reservoirs.While at the condition of an extremely low stress difference，the fracture height is nearly equal to the fracture length，but there are still significant difference between upper and lower fracture heights due to the gravity effect.

hydraulic fracturing；fracture propagation；pseudo 3D model；vertical flow resistance；crack opening displacement criterion

TE 357.1

A

1673-5005（2016）01-0069-10 doi：10.3969/j.issn.1673-5005.2016.01.010

2015-04-24

國(guó)家自然科學(xué)基金重大項(xiàng)目（51490653）；國(guó)家“973”重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃（2013CB228004）

趙金洲（1962-），男，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)橛蜌獠貕毫阉峄碚撆c應(yīng)用。E-mail：zhaojz@swpu.edu.cn。

彭瑀（1988-），男，博士研究生，研究方向?yàn)橛蜌獠貕毫阉峄碚撆c應(yīng)用。E-mail：pengyu_frac@foxmail.com。

引用格式：趙金洲，彭瑀，李勇明，等.考慮垂向摩阻的裂縫擬三維延伸模型［J］.中國(guó)石油大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2016，40（1）：69-78.

ZHAO Jinzhou，PENG Yu，LI Yongming，et al.A pseudo 3D fracture propagation model with consideration of vertical flow resistance［J］.Journal of China University of Petroleum（Edition of Natural Science），2016，40（1）：69-78.