等比數列中的四種思想方法

邱志華

一、分類討論思想

例1.設數列的前項和，則 。

分析：利用數列中的項與前項和之間的關系，可以把題中的關系式轉化為與之間的關系式，從而得知是等比數列，進而求出的通項公式。

解析：當時， ，；當時， ，，即。又，是首項為1， 公比為2的等到比數列， 當時也滿足此式，故數列的通項公式是 。

點評：此類問題需要分類討論，公式使用的前提條件是，所以當時，我們要看求出的數值能否滿足求出的通項公式。如果滿足，該通項公式就是所求的通項公式；如果不滿足，通項公式就要寫成分段函數的形式。

二、方程思想

例2.在等比數列中， ，，，求和。

分析：將轉化為，與66聯立解方程組求解。

解析：由題意得：，即

解得，或。

若，則，解得，

此時，∴。

若，則，解得，

此時，。

綜上所述，，。

點評：關于等比數列的運算問題，一般利用通項公式和前 項和公式構造方程求解，所以學生要靈活運用等比數列的性質。

三、對稱思想

例3.有四個數，前三個數是等比數列，其積為216，后三個數是等差數列，其和為36，求這四個數。

分析：若直接列方程組求解比較麻煩，注意到前三個數和后三個數都有個中間項，其他與中間項對稱的前后兩項可以由中間項加（乘）一個數或減（除）相同的這個數而得到。

解析：設這四個數分別為，，，，

則即 ，

這四個數別為3、6、12、18。

點評：利用對稱性設這四個數，在進行乘積或加法運算的時候能消去一個參數，從而便于計算。

四、化歸與轉化思想

例4.在數列中，，求通項公式。

分析：觀察式子的特點，可知既不是等差數列，又不是等比數列，要對其進行構造。在式子的兩邊同時加上1，就能發(fā)現數列是一個等比數列，從而可以求出數列的通項公式。

解析：，

又，，數列是以2為首項，2為公比的等比數列。

，即。

點評：若數列滿足p（p≠1，為非零常數），則可令來構造等比數列，并利用對應項相等求出λ的值，進而求出通項公式，這就是利用了化歸與轉化思想。

（作者單位：江西省撫州市廣昌縣第二中學）