放縮思想在恒成立和存在性問題中的運用

鄧國平

“恒成立”與“存在性”是數(shù)學高考的重點與熱點之一，通常由不等式、函數(shù)、方程、數(shù)列等相互結合起來，是培養(yǎng)學生數(shù)學能力的良好素材，其解題思想就是放縮思想。本文結合例題，逐一剖析放縮思想在解題中的應用。

一、恒成立問題和存在性問題的基本類型

第一，恒成立問題的轉化。①恒成立；恒成立。②能成立；能成立。

第二，設函數(shù)、，對任意的∈，存在∈，使得≥，則≥。

第三，設函數(shù)、，對任意的∈，存在∈，使得≤，則≤。

第四，設函數(shù)、，存在∈，存在∈，使得≥，則≥。

第五，設函數(shù)、，存在∈，存在∈，使得≤，則≤。

第六，設函數(shù)、，對任意的∈，存在∈，使得=。設在區(qū)間上的值域為，在區(qū)間上的值域為，則?。

二、先分離參數(shù)，再放縮，后構造函數(shù)題型

例1.若≤1，不等式恒成立，求實數(shù)的范圍。

分析：求的范圍，關鍵是利用參數(shù)分離的方法把參數(shù)分離出來。

解：令∈∈∞，原不等式可變?yōu)椤?/p>

即只要，∵（）2≤，∴。

評析：該題先采用分離變量，再運用恒成立的方法處理，從而得到變量的取值范圍。在解答這類問題時，學生可以考慮利用函數(shù)的單調性、函數(shù)的圖像、二次函數(shù)的配方法、三角函數(shù)的有界性、均值定理、函數(shù)求導等知識求出函數(shù)的最值。

三、注意恒成立問題與存在性問題的區(qū)別

例2.已知函數(shù)∈，。①若?∈，均有≤，求的取值范圍；②?1∈，?2∈，使得≤成立，求的取值范圍。

解：①構造函數(shù)，則≥0

≥，≥∈∞。

②原問題可轉化為≤，而

，。

恒成立問題與存在性問題是高中數(shù)學的常見問題，經常與參數(shù)的范圍緊密聯(lián)系在一起。在教學過程中，教師可以運用函數(shù)的性質和圖像，結合換元思想、化歸思想、數(shù)形結合思想、函數(shù)與方程等展開教學。

總而言之，在數(shù)學教學過程中，要想提高恒成立問題與存在性的教學效果，教師必須注意以下兩方面：第一，激發(fā)學生數(shù)學學習的興趣。眾所周知，學習興趣是學習動力的源泉，是構成學習動機最真實、最活躍的心理成分。托爾斯泰曾說過：“成功的教學所需的不是強制， 而是激發(fā)學生的興趣。”有興趣的學習，不僅能使學生全神貫注，而且能引發(fā)學生的積極思考。可見，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，是提高教學質量的前提；第二，充分發(fā)揮教師的主導作用。教師的主要目的是傳道、授業(yè)、解惑，在講課過程中，教師運用多年的教學經驗，把知識點融于學生的常識中，就很容易激發(fā)學生的學習興趣。因此，教師要深鉆教材、吃透教材，找出規(guī)律、緊扣重點，突破難點、認真?zhèn)湔n，才能培養(yǎng)學生的邏輯思維與觀察能力， 開發(fā)學生的智力。

（作者單位：江西省南昌市新建二中學）