基于加權(quán)整體最小二乘的礦區(qū)平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法

汪 洋，陳小軼，楊 旭

（安徽理工大學(xué)測繪學(xué)院，安徽淮南232001）

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基于加權(quán)整體最小二乘的礦區(qū)平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法

汪 洋，陳小軼，楊 旭

（安徽理工大學(xué)測繪學(xué)院，安徽淮南232001）

摘 要：常用的平面坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換模型四參數(shù)轉(zhuǎn)換法在實(shí)際工程應(yīng)用中，由于公共點(diǎn)一般分布在較小的范圍內(nèi)，點(diǎn)之間的距離較近，因此傳統(tǒng)的四參數(shù)轉(zhuǎn)換模型中旋轉(zhuǎn)參數(shù)和平移參數(shù)之間的相關(guān)性較大，容易導(dǎo)致法方程病態(tài)，進(jìn)而影響轉(zhuǎn)換參數(shù)的精度，文中從重合點(diǎn)坐標(biāo)重心化的轉(zhuǎn)換模型出發(fā)，還原出重心化之前的四參數(shù)。通過加權(quán)整體最小二乘的轉(zhuǎn)換分析及迭代計(jì)算，驗(yàn)證運(yùn)用加權(quán)整體最小二乘（WTLS）方法轉(zhuǎn)換的參數(shù)質(zhì)量比最小二乘（LS）、整體最小二乘（TLS）方法得到的參數(shù)質(zhì)量有顯著改善。

關(guān)鍵詞：四參數(shù)轉(zhuǎn)換法；最小二乘；整體最小二乘；加權(quán)整體最小二乘

平面坐標(biāo)的四參數(shù)轉(zhuǎn)換是在局部范圍內(nèi)兩套不同的坐標(biāo)系統(tǒng)之間最常用的轉(zhuǎn)換方法，4個轉(zhuǎn)換參數(shù)一般是利用重合點(diǎn)的兩套平面坐標(biāo)值，通過一定的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行計(jì)算得到的。目前主要使用的是LS方法求解轉(zhuǎn)換參數(shù)，而這種方法認(rèn)為源坐標(biāo)沒有誤差，而只對目標(biāo)坐標(biāo)進(jìn)行改正，TLS方法在認(rèn)為坐標(biāo)等權(quán)的條件下對源坐標(biāo)和目標(biāo)坐標(biāo)都進(jìn)行改正，這兩種方法與實(shí)際的情況不太符合，因此本文提出WTLS方法在顧及了不同坐標(biāo)值的精度不同的條件下對源坐標(biāo)和目標(biāo)坐標(biāo)進(jìn)行改正，更加符合實(shí)際情況，在統(tǒng)計(jì)上也具有明顯的優(yōu)勢，并且對轉(zhuǎn)換模型進(jìn)行重心化處理且還原重心化以前的四參數(shù)，解決在一個小區(qū)域內(nèi)的轉(zhuǎn)換模型的法方程病態(tài)問題。

1　坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換模型

設(shè)有兩個坐標(biāo)系A(chǔ)和B，A為源平面坐標(biāo)系，B為目標(biāo)平面坐標(biāo)系。A中有一點(diǎn)P的準(zhǔn)確坐標(biāo)為（x1，y1），設(shè)該點(diǎn)在相應(yīng)的目標(biāo)坐標(biāo)系中的準(zhǔn)確坐標(biāo)為（x2，y2），則平面四參數(shù)的轉(zhuǎn)換模型為［1－2］

式中：Δx和Δy為坐標(biāo)平移參數(shù)；K為尺度比參數(shù)；α為旋轉(zhuǎn)角參數(shù)。

為了方便處理，引入中間參數(shù)：

得到

式（1）可變換為

當(dāng)公共點(diǎn)的數(shù)目N＞2，傳統(tǒng)的方法是采用經(jīng)典最小二乘求解轉(zhuǎn)換參數(shù)，對N個公共點(diǎn)建立誤差方程為

式中：角標(biāo)Ai表示源坐標(biāo)系中的第i個點(diǎn)；Bi表示目標(biāo)坐標(biāo)系中的第i個點(diǎn)，i＝1，2，…，N。若將上式改寫成整體的矩陣形式：

其中

利用間接平差原理求得參數(shù)Z后，將參數(shù)P和Q代入式（2）便能得到尺度比參數(shù)K和旋轉(zhuǎn)角參數(shù)α。

2　法方程病態(tài)處理及WTLS理論推導(dǎo)

2．1 轉(zhuǎn)換模型重心化處理

在上述模型中，在源坐標(biāo)系下的點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)、尺度縮放和平移，旋轉(zhuǎn)中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，尺度縮放和平移是將原點(diǎn)為起點(diǎn)的矢徑作為對象。在實(shí)際工程應(yīng)用中，公共點(diǎn)一般分布在較小的范圍內(nèi)，由于點(diǎn)之間的距離較近，上述模型中旋轉(zhuǎn)參數(shù)和平移參數(shù)之間的相關(guān)性較大，容易導(dǎo)致法方程病態(tài)，從而影響轉(zhuǎn)換參數(shù)的精度。針對此問題，可先對重合點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行重心化處理，重新確定平面直角坐標(biāo)系，再求解四參數(shù)。

將N個公共點(diǎn)的源坐標(biāo)和目標(biāo)坐標(biāo)都進(jìn)行重心化：

其中

式中：（xAg，yAg）和（xBg，yBg）分別為兩套坐標(biāo)系的重心坐標(biāo)，確定以后就作為常數(shù)處理。這就相當(dāng)于建立為以各自坐標(biāo)重心為新的坐標(biāo)原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系，此時(shí)各點(diǎn)的坐標(biāo)已均勻分布其中。重心化后的轉(zhuǎn)換模型為

將式（8）改寫成整體矩陣形式后，利用最小二乘的間接平差原理同樣可求得重心化后的兩套坐標(biāo)系統(tǒng)之間的轉(zhuǎn)換參數(shù)（Δx′，Δy′，P，Q）T，這一過程中法方程的病態(tài)性已被大大削弱。

由于實(shí)際中需要解決的仍是重心化前兩套坐標(biāo)系統(tǒng)間的轉(zhuǎn)換問題，上述過程得到的四參數(shù)不能直接使用。本文從重心化后的轉(zhuǎn)換模型出發(fā)，還原出了重心化前的四參數(shù)。推導(dǎo)過程：

由式（6）和式（7）可得

顯然，右端括號中的各項(xiàng)均與i無關(guān)，式（10）與式（3）轉(zhuǎn)換模型的形式完全相同，也驗(yàn)證了重心化前后求得的參數(shù)P，Q是不變的（旋轉(zhuǎn)角α和尺度比參數(shù)K不變），從而還原出未重心化的兩套坐標(biāo)系之間的平移參數(shù)為

2．2 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的EVI模型及誤差轉(zhuǎn)換分析

在實(shí)際應(yīng)用中，源坐標(biāo)和目標(biāo)坐標(biāo)一般都是觀測所得，因此坐標(biāo)值都是具有一定誤差的，然而在使用最小二乘求解四參數(shù)時(shí)，始終認(rèn)為源坐標(biāo)沒有誤差，這與實(shí)際情況不符，運(yùn)用加權(quán)整體最小二乘可以合理地解決此問題。

假設(shè)N個公共點(diǎn)的源坐標(biāo)和目標(biāo)坐標(biāo)向量分別為XA和XB，其方差－協(xié)方差陣分別為DXA和DXB。對源坐標(biāo)和目標(biāo)坐標(biāo)分別重心化后得到的向量分別為X′A和X′B，由于重心坐標(biāo)作為常數(shù)處理，因此X′A和X′B的方差－協(xié)方差陣仍與未重心化時(shí)相同。令先驗(yàn)單位權(quán)中誤差為σ0，可分別得到重心化源坐標(biāo)和目標(biāo)坐標(biāo)的協(xié)因數(shù)陣：

式（7）的轉(zhuǎn)換模型為

式中，i＝1，2，…，N，e（＊）均表示對應(yīng)＊位置變量的誤差部分，因此寫成整體的矩陣形式就是EIV模型［3－5］：

顯然觀測向量L的協(xié)因數(shù)陣QL＝QX′B，主要的問題在于如何確定列向量化系數(shù)陣的協(xié)因數(shù)陣QA。將列向量化的系數(shù)陣vec（A）對重心化后的源坐標(biāo)向量X′A求導(dǎo)［6］：

式中：m＝2 N，矩陣G∈R（2 N×4）×2 N。由于系數(shù)陣A的前兩列均為常數(shù)，故矩陣G的前（2 N×2）行均為零。對于后（2 N×2）行，注意特殊導(dǎo)數(shù)：

式中：i＝1，2，…，N，根據(jù)系數(shù)陣的構(gòu)成規(guī)律容易得到

除這些位置外，矩陣G中其它位置均為零，這也便于進(jìn)行算法實(shí)現(xiàn)。獲得矩陣G后，由誤差傳播律，可計(jì)算列向量化系數(shù)陣的協(xié)因數(shù)陣：

2．3 WTLS迭代計(jì)算

將LS估計(jì)的參數(shù)結(jié)果作為初值，利用基于Newton－Gauss法的WTLS迭代算法便能得到重心化后的兩套坐標(biāo)之間的四參數(shù)，同樣可代入式（11）還原出重心化之前的坐標(biāo)系統(tǒng)之間的平移參數(shù)。

在實(shí)際計(jì)算中，可將最小二乘的參數(shù)估計(jì)結(jié)果作為初值，進(jìn)行迭代計(jì)算［7－9］：

1）令EA（0）＝0，（0）＝N－1c，N＝ATA，c＝ATL，A（0）＝A－EA（0）＝A，

3　算例分析

以礦區(qū)兩套坐標(biāo)算例數(shù)據(jù)為例，5個重合點(diǎn)在源坐標(biāo)系ξ－η和目標(biāo)坐標(biāo)系X－Y下的如表1所示。

表1　兩套坐標(biāo)系下的坐標(biāo)值　m

已知兩套坐標(biāo)的權(quán)陣分別為

PX－Y＝diag［10 14．285 7 0．892 9 1．428 6 7．142 9 10 2．222 2 3．225 97．692 3 11．111 1］，

通過對以上的權(quán)陣求逆便能得到相應(yīng)的協(xié)因數(shù)陣。分別運(yùn)用傳統(tǒng)的LS方法、TLS（各坐標(biāo)值的權(quán)相等）方法和WTLS方法求解四參數(shù)［10－15］，計(jì)算前，先對公共點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行重心化，在TLS和WTLS計(jì)算過程中，迭代收斂精度取為10－10。將各方法的求參結(jié)果見表2。

表2　各種估計(jì)方法求得的四參數(shù)

從表2中可以看出，TLS方法與LS方法的求參結(jié)果差異較小，WTLS方法求得的四參數(shù)與LS 和TLS方法均有著明顯的差異，可見不同的權(quán)值對轉(zhuǎn)換參數(shù)的影響比較大。

3．1坐標(biāo)殘差對比分析

各計(jì)算方法所得的坐標(biāo)殘差見表3～表5。

表3　LS的坐標(biāo)殘差　m

表4　TLS的坐標(biāo)殘差　m

LS方法只對目標(biāo)坐標(biāo)進(jìn)行改正，TLS方法在認(rèn)為坐標(biāo)等權(quán)的條件下對源坐標(biāo)和目標(biāo)坐標(biāo)進(jìn)行改正，而WTLS方法是在顧及不同坐標(biāo)值的精度不同的條件下對源坐標(biāo)和目標(biāo)坐標(biāo)進(jìn)行改正，更加符合實(shí)際情況，在統(tǒng)計(jì)上也具有明顯的優(yōu)勢。

表5　WTLS的坐標(biāo)殘差　m

3．2 中誤差對比分析［16］

表6給出了不同計(jì)算方法所得四參數(shù)的中誤差。

表6　單位權(quán)中誤差和四參數(shù)的中誤差

對表6中的結(jié)果進(jìn)行分析：TLS方法與LS方法相比，四參數(shù)的中誤差在保留的位數(shù)內(nèi)并沒有差異，因此TLS方法并未能提高四參數(shù)的精度。然而WTLS方法得到的參數(shù)中誤差明顯較小，四參數(shù)的中誤差分別為TLS和LS方法的92．5%、72．5%、86．4%和74．3%，因此，WTLS方法能夠有效提高四參數(shù)的精度。

4　結(jié) 論

1）重心化轉(zhuǎn)換模型可以解決小范圍內(nèi)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換過程中法方程病態(tài)的問題。

2）WTLS的方法求解坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型四參數(shù)，可以提高轉(zhuǎn)換參數(shù)的求解精度，并滿足顯著性要求。

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［責(zé)任編輯：李銘娜］

A method of planare coordinate system transformation based on weighted total least－wquares adustment

WANG Yang，CHEN Xiaoyi，YANG Xu

（School of Geodesy and Geomatics，Anhui University of Science ＆Technology，Huannan 32001，China）

Abstract：Common planar four parameters coordinate transformation model in practical application has a strong correlation between the rotation parameter and translation parameters，which can lead to the illconditioned equation coefficient matrix and even affect the accuracy of the transformation parameters．That is due to the following reasons：firstly common points are distributed in local region and secondly the distance between those points is short．This paper restores the four－parameter based on the transformation model of common coordinate points centralized to original shape．By using the converting analysis of weighted total least－squares adjustment and iterative calculation，it verifies the quality of converting parameters is greatly improved via the comparison of the WTLS method and the LS，TLS method．

Key words：four parameters conversion method；LS；TLS；weighted total least－squares adjustment

作者簡介：汪 洋（1987－），男，碩士研究生

收稿日期：2015－04－09；修回日期：2015－08－20

中圖分類號：P216

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1006－7949（2016）01－0034－05