關(guān)于線性代數(shù)課程教學(xué)的一些思考

秦勇

（常州工學(xué)院理學(xué)院，江蘇常州213002）

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關(guān)于線性代數(shù)課程教學(xué)的一些思考

秦勇

（常州工學(xué)院理學(xué)院，江蘇常州213002）

摘要：結(jié)合線性代數(shù)課堂教學(xué)，從優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容、加強(qiáng)方法引導(dǎo)、抓好基礎(chǔ)知識、滲透思想方法、采用多媒體輔助教學(xué)五個方面闡述了在線性代數(shù)課程教學(xué)中的一些思考。

關(guān)鍵詞：線性代數(shù)；課程教學(xué)；學(xué)習(xí)興趣；基本方法

線性代數(shù)是高等院校工科專業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)中的一門重要基礎(chǔ)課。線性問題在科學(xué)技術(shù)的各個領(lǐng)域中大量存在，在一定條件下某些非線性問題可以轉(zhuǎn)化為線性問題，尤其是當(dāng)今計算機(jī)的日益普及，使線性代數(shù)的地位和作用得到了較大地提高，工程技術(shù)人員在實(shí)踐中又經(jīng)常會遇到解線性方程組，求解矩陣的特征值和特征向量等問題，因此這就要求工科專業(yè)的大學(xué)生具備線性代數(shù)的基本理論知識，并能熟練地應(yīng)用它。另一方面線性代數(shù)的內(nèi)容具有較高的抽象性，概念特別多，對一般工科院校而言教學(xué)時數(shù)又較少，這些都給學(xué)生的學(xué)習(xí)，教師的教學(xué)增添了難度，最終導(dǎo)致線性代數(shù)的課程教學(xué)不如人意。針對上述情況，本人就工科院校線性代數(shù)的課程教學(xué)談?wù)剛€人的一些思考。

1 根據(jù)教學(xué)時數(shù)，優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容

目前工科院校線性代數(shù)的教學(xué)時數(shù)普遍較少，一般以32課時最為常見。由于受到學(xué)時的限制，在線性代數(shù)課程教學(xué)中不可能深入詳細(xì)地講解全部傳統(tǒng)內(nèi)容［1］，必須突出重點(diǎn)，合理選擇教學(xué)內(nèi)容。首先關(guān)于行列式部分的內(nèi)容，由于當(dāng)今在線性代數(shù)應(yīng)用中已漸漸被淡化，這是因?yàn)榫仃嚴(yán)碚摫容^成熟，它已可取代行列式的大多數(shù)功能，并且矩陣與計算機(jī)相結(jié)合又可省去許多復(fù)雜的和機(jī)械的運(yùn)算，因此在傳統(tǒng)行列式內(nèi)容中可選取兩個方面的內(nèi)容：1）圍繞行列式定義的有關(guān)內(nèi)容（對排列的有關(guān)理論只要結(jié)論，理論證明可略去）；2）圍繞利用行列式的性質(zhì)對行列式用常規(guī)方法計算的有關(guān)內(nèi)容（對于非常規(guī)行列式的計算完全可略去）。其次關(guān)于矩陣部分的內(nèi)容，由于矩陣是線性代數(shù)的工具，這部分內(nèi)容不能省，但對分塊矩陣，只要介紹其運(yùn)算法則，使其能為后面簡化表示矩陣服務(wù)即可，不需要對分塊矩陣詳細(xì)舉例展開討論。另外關(guān)于向量空間部分的內(nèi)容，只要介紹與基和維數(shù)有關(guān)的內(nèi)容，使其能為后面的施密特（Schimidt）正交化服務(wù)即可，其它內(nèi)容都可略去。還有關(guān)于二次型的內(nèi)容，由于用矩陣已經(jīng)可以化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形了，因而用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法就不必在課上介紹了。最后在定理和性質(zhì)的處理上要注意較難的證明可略去（但要正確理解其條件和結(jié)論的含義，重點(diǎn)放在應(yīng)用上），一般的證明根據(jù)實(shí)際教學(xué)情況有的可證明，有的可指導(dǎo)學(xué)生讓學(xué)生課后去學(xué)習(xí)，較易的證明可給出證明過程。

綜上所述，所取舍的內(nèi)容對線性代數(shù)課程教學(xué)的體系并沒有影響，突出了“應(yīng)用為目的，夠用為尺度”的原則，從而很好地緩解了線性代數(shù)教學(xué)時數(shù)偏緊的問題。

2 加強(qiáng)方法引導(dǎo)，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

教學(xué)是由老師的教與學(xué)生的學(xué)兩方面構(gòu)成的，只有提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，線性代數(shù)的教學(xué)質(zhì)量才能有較好的保障。為提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，在教學(xué)中，首先要向?qū)W生介紹線性代數(shù)的主要內(nèi)容和它的作用，讓學(xué)生了解線性代數(shù)的結(jié)構(gòu)體系。其次要向?qū)W生介紹學(xué)習(xí)線性代數(shù)的方法，遇到抽象問題如何去處理，面對密集概念如何去理解，課前、課上、課后如何去合理利用時間，只有讓學(xué)生充分了解線性代數(shù)的內(nèi)容，明白如何去學(xué)習(xí)，才能增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)的自信心，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。另外在教學(xué)中，要抓住重點(diǎn)，分解難點(diǎn)，化解學(xué)生學(xué)習(xí)的難度。例如在學(xué)習(xí)行列式時，重點(diǎn)是利用行列式的性質(zhì)和展開定理去計算行列式，對于行列式性質(zhì)的證明可啟發(fā)學(xué)生利用行列式定義去處理，并且把具體證明留給學(xué)生課后去解決。行列式的定義比較抽象，講解時可先從具體的二、三階行列式入手，仔細(xì)觀察它們的特點(diǎn)，歸納出一般規(guī)律，然后再定義n階行列式，這樣從具體到抽象，就可化解抽象概念難以理解的難點(diǎn)。又如求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系是線性代數(shù)的一個基本方法，它既是重點(diǎn)又是難點(diǎn)，教材中求基礎(chǔ)解系有關(guān)定理的證明比較抽象，這個證明既花時間，學(xué)生又難以理解。在具體教學(xué)中可考慮從一個具體的齊次線性方程組入手，通過求解這個方程組的通解，再把它改寫成基礎(chǔ)解系的線性組合，再加以驗(yàn)證基礎(chǔ)解系，在此基礎(chǔ)上再歸納出求基礎(chǔ)解系的一般方法。通過這樣由具體到一般再抽象的處理后，學(xué)生就比較容易理解并掌握求基礎(chǔ)解系的方法了，從而避免了定理證明過程中的抽象性，而定理的證明可讓學(xué)生課后自己學(xué)習(xí)?？傊诮虒W(xué)中教師只要抓住重點(diǎn)，分解難點(diǎn)，抽象問題具體化，就能化解學(xué)生的學(xué)習(xí)難度，學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性自然就會提高，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。最后需要注意，在教學(xué)中不能只采用教師講學(xué)生聽這種單一的教學(xué)方法，課堂上，教師要鼓勵學(xué)生積極參與教學(xué)活動，大膽提出問題，如果時間不夠也可鼓勵學(xué)生寫紙條或課后提問，然后教師根據(jù)實(shí)際情況給予集體解答或課后給予個別解答。通過鼓勵學(xué)生積極參與學(xué)習(xí)，可以充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，同時線性代數(shù)的學(xué)習(xí)也會得到有力的保障。

3 抓住基礎(chǔ)知識，注重基本方法

除了優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容，對線性代數(shù)的基礎(chǔ)知識，基本方法始終應(yīng)該是教學(xué)的重點(diǎn)，學(xué)生之所以對學(xué)習(xí)線性代數(shù)產(chǎn)生畏難情緒，除了其抽象的原因外，另一個重要原因就是線性代數(shù)的概念密集，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中很難把握其基本知識、基本方法，因此在教學(xué)中應(yīng)該抓住基本知識，注重基本方法。例如，在行列式教學(xué)中，基本知識就是行列式定義、性質(zhì)及展開定理，基本方法就是計算行列式。另外在教學(xué)中，教師要準(zhǔn)確把握重點(diǎn)、難點(diǎn)，重視基本知識的講解，注重基本方法的歸納和應(yīng)用。例如矩陣作為線性代數(shù)的工具，其理論體系比較成熟，因此在教學(xué)中要圍繞矩陣的基本知識，基本方法作為一條主線展開教學(xué)。矩陣的四則運(yùn)算重點(diǎn)抓住逆矩陣，矩陣的初等變換重點(diǎn)的基本知識是矩陣的秩，矩陣的階梯形和行最簡行，矩陣的初等變換，初等變換不改變矩陣的秩?；痉椒ㄊ乔竽婢仃嚕缶仃嚨闹?。向量組的相關(guān)性部分其重點(diǎn)基本知識是向量組的線性相關(guān)性，向量組的秩，向量組的極大線性無關(guān)組。基本方法是用定義判別向量組的相關(guān)性，用矩陣的初等行變換1）判別矩陣列向量組之間的相關(guān)性；2）求矩陣列向量組的秩；3）求矩陣列向量組的極大無關(guān)組；4）把向量組的每個向量用其極大無關(guān)組線性表示。線性方程組重點(diǎn)基本知識是線性方程組的有解判別定理，基礎(chǔ)解系，線性方程組與增廣矩陣的1-1對應(yīng)關(guān)系?；痉椒ㄊ抢镁仃嚨男谐醯茸儞Q解線性方程組。而掌握了行列式計算和解線性方程組后，用這兩個基本方法結(jié)合特征值和特征向量的概念就可以解決矩陣相似對角化的問題，結(jié)合施密特正交化，就可解決實(shí)對稱矩陣的正交相似對角化問題，結(jié)合二次型與實(shí)對稱矩陣1-1對應(yīng)的關(guān)系，再通過實(shí)對稱矩陣的正交相似對角化又可把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形。綜上可以看到只要抓住了矩陣這個工具，也就抓住了線性代數(shù)的牛鼻子，也就把握住了工科院校線性代數(shù)的課程教學(xué)。

4 結(jié)合課堂教學(xué)，滲透思想方法

線性代數(shù)包含了豐富的數(shù)學(xué)知識，蘊(yùn)含了許多數(shù)學(xué)的思想方法，這些數(shù)學(xué)思想方法都蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識的體系中，需要教師在教學(xué)中逐步去挖掘。數(shù)學(xué)思想方法對學(xué)生的學(xué)習(xí)有普遍的指導(dǎo)意義，有利于培養(yǎng)學(xué)生良好的思維方式和習(xí)慣，為將來進(jìn)一步發(fā)展打下扎實(shí)的基礎(chǔ)，因此教師要結(jié)合課堂教學(xué)，將豐富多彩的數(shù)學(xué)思想方法抽象出來，強(qiáng)化學(xué)生對知識創(chuàng)新過程的認(rèn)識。例如，利用方程組的系數(shù)矩陣推出的矩陣的初等變換，在這里有些學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中并沒有理解變換的思想，把它與行列式性質(zhì)的化簡混為一談，習(xí)慣用等號來代替矩陣的初等變換記號，因此，在教學(xué)中要強(qiáng)調(diào)矩陣的初等變換是把一個矩陣按一定規(guī)律化為另一個矩陣，這是一種變換，前后兩個矩陣并不是相等的關(guān)系，并且解線性方程組，求矩陣的秩，判別矩陣列向量組的相關(guān)性，求矩陣列向量組的極大無關(guān)組等問題都需要用到這個變換，這樣學(xué)生就會對變換的思想有足夠清晰的認(rèn)識，看到了變換思想的重要性。又如線性方程組與增廣矩陣是1-1對應(yīng)的，利用化歸思想，可把解線性方程組的問題化為對矩陣進(jìn)行初等變換的問題；同樣二次型與實(shí)對稱矩陣是1-1對應(yīng)的，利用化歸思想，又可把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形的問題轉(zhuǎn)化為實(shí)對稱矩陣的對角化問題。又如分類思想，向量組可按線性相關(guān)和線性無關(guān)進(jìn)行分類，這樣通過逆否命題可把向量組線性相關(guān)的問題轉(zhuǎn)化為向量組線性無關(guān)的問題，反之亦然，而教材中往往只敘述向量組線性相關(guān)的命題或線性無關(guān)的命題，這樣通過分類的思想就可解決向量組線性無關(guān)或線性相關(guān)的問題了。數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的反映就是數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)學(xué)思想方法具有高度抽象性和概括性，在教學(xué)中，教師在傳授數(shù)學(xué)知識的同時，更要注重提煉數(shù)學(xué)知識中的數(shù)學(xué)思想方法，將教材中隱藏在數(shù)學(xué)知識背后的數(shù)學(xué)思想方法挖掘出來，精心設(shè)計教學(xué)過程，使數(shù)學(xué)思想方法的滲透能在教學(xué)過程中得以實(shí)現(xiàn)，從而使線性代數(shù)的課程教學(xué)過程成為發(fā)展培養(yǎng)學(xué)生較好數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的過程。

5 轉(zhuǎn)變教育觀念，改革教學(xué)手段

隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，人類步入了信息時代，現(xiàn)代教育技術(shù)隨著計算機(jī)的發(fā)展，逐漸走進(jìn)了課堂，其重要標(biāo)志就是計算機(jī)多媒體輔助教學(xué)，其全新的概念帶來了課堂教學(xué)的變革。教師既是知識的傳播者又是教學(xué)活動的組織者，更需要不斷轉(zhuǎn)變教育觀念，改革教學(xué)手段，只有這樣才能為線性代數(shù)的課堂教學(xué)注入新的活力。多媒體是以文字、圖象、聲音和視頻等多種媒體傳遞信息，在課堂上使用這種輔助教學(xué)，可使教學(xué)內(nèi)容圖文并茂且生動形象，這從根本上改變了傳統(tǒng)課堂上以板書為主的單調(diào)教學(xué)模式，更易引起學(xué)生的注意。另外更重要的是多媒體輔助教學(xué)為解決教學(xué)過程中內(nèi)容多與課時少的矛盾提供了一個強(qiáng)有力的工具，它可在相同時間內(nèi)傳遞更多的信息，使學(xué)生在有限時間內(nèi)接觸更多的知識。但多媒體輔助教學(xué)也有其不足之處，在使用多媒體課件時，沒有板書，這樣從邏輯推理的角度看，學(xué)生的思維可能會出現(xiàn)斷裂，最終導(dǎo)致學(xué)生不清楚教師在講什么，因此為避免上述情況的發(fā)生，教師要精心設(shè)計并制作電子教案，使這個教案在教學(xué)過程中類似于板書，盡量適合學(xué)生的思維過程，信息要一行一行的出現(xiàn)，不要一次出一屏，以免造成信息的泛濫，同時要多增加前后內(nèi)容的鏈接，采取必要的回放，對重要的例題和方法必要時可停下，邊講邊讓學(xué)生做筆記，總之要讓學(xué)生在聽課時充分感受到上課內(nèi)容的循序漸進(jìn)。當(dāng)然要做到這些也不是容易的事，教師平時要多多學(xué)習(xí)如何制作多媒體課件，做不到這一點(diǎn)，把人家的課件拿來不結(jié)合自己所教學(xué)生的具體情況而盲目使用結(jié)果只會適得其反。

線性代數(shù)課堂教學(xué)是一個值得探討的問題，提高線性代數(shù)課堂教學(xué)的質(zhì)量是師生的共同愿望。以上是本人在線性代數(shù)課程教學(xué)中的一些思考，提出來和各位同仁一起探討交流，共同提高。

參考文獻(xiàn)：

［1］教育部非數(shù)學(xué)類專業(yè)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程教學(xué)指導(dǎo)分委員會.工科類本科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程教學(xué)基本要求（修訂稿）［J］.大學(xué)數(shù)學(xué)，2004，20（1）：1-6.

［2］同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.線性代數(shù)第5版［M］.北京：高等教育出版社，2007.

［3］劉坤，許定亮.線性代數(shù)［M］.南京：南京大學(xué)出版社，2009.

（責(zé)任編輯：郝安林）

Some Thinking on Course Teaching of Linear Algebra

QIN Yong
（School of Science，Changzhou Institute of Technology，Changzhou 213002，China）

Abstract：In this paper，combined with the classroom teaching of linear algebra thought in course teaching of lin?ear algebra is expounded from five aspects to the optimization of teaching content，strengthening method guid?ance，grasp the basic knowledge，penetrating thought method，using multimedia assistant teaching.

Key words：linear algebra；course teaching；learning interest；basic methods

中圖分類號：G420

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1673-2928（2016）02-0113-03

收稿日期：2015-12-23

作者簡介：秦勇（1958-），男，江蘇常州人，常州工學(xué)院副教授，從事有序代數(shù)研究。