高一數(shù)學(xué)概念的形成導(dǎo)入方式探索

晁冉冉　傅海倫

(山東師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，250014)

柏宗玲

(山東省沂源縣第二中學(xué)，256100)

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○教學(xué)研究○

高一數(shù)學(xué)概念的形成導(dǎo)入方式探索

晁冉冉傅海倫

(山東師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，250014)

柏宗玲

(山東省沂源縣第二中學(xué)，256100)

高一數(shù)學(xué)是整個(gè)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ),然而不少初中數(shù)學(xué)學(xué)得很好的學(xué)生,卻對(duì)高一數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)感到力不從心.究其原因，有很大一部分因素緣于高中數(shù)學(xué)與初中數(shù)學(xué)最大的區(qū)別：高中數(shù)學(xué)概念多并且抽象,學(xué)生難以理解概念的真正含義．下面以概念形成的導(dǎo)入方式為例,對(duì)高一數(shù)學(xué)概念的有效教學(xué)進(jìn)行探索．

一、對(duì)概念形成導(dǎo)入方式的認(rèn)識(shí)

數(shù)學(xué)概念是反映事物在空間形式與數(shù)量關(guān)系方面的關(guān)鍵屬性或本質(zhì)屬性的基本單位．學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時(shí),概念形成是一種重要的概念導(dǎo)入方式．

1.概念形成導(dǎo)入方式的特點(diǎn)

概念形成是指用歸納、概括的方法,從觀察到的一類事實(shí)中概括出有關(guān)的一類事物的共同點(diǎn)，進(jìn)而得出一般規(guī)律的過(guò)程，或者通過(guò)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，在探索解決問(wèn)題的途徑中獲得概念的形式．小學(xué)階段的學(xué)生,主要是因?yàn)樗麄円延械闹R(shí)都比較具體而貧乏,理解能力有限,尤其是低年級(jí)的學(xué)生大部分都是通過(guò)概念形成來(lái)獲得概念．在中學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中沒(méi)有與新概念相聯(lián)系的知識(shí).例如在學(xué)習(xí)“集合”這一概念時(shí),由于剛進(jìn)入高一,學(xué)生還處在具體思維到抽象思維的過(guò)渡時(shí)期，并且認(rèn)知結(jié)構(gòu)中沒(méi)有直接和這一概念相聯(lián)系的知識(shí),因此，采用概念形成的方式來(lái)獲得概念比較好．在學(xué)習(xí)一些初級(jí)概念或者層次較低的概念時(shí),也通常用概念形成來(lái)獲得概念．奧蘇貝爾認(rèn)為，概念的關(guān)鍵特征可以從正反例子中通過(guò)分析概括揭示出來(lái)，這樣的概念屬于初級(jí)概念：而二級(jí)概念則不經(jīng)過(guò)觀察概念的正反例子,直接用定義的形式揭示出來(lái)．如等腰三角形的概念．

2.概念形成導(dǎo)入方式應(yīng)注意的幾個(gè)問(wèn)題

(1)舉例來(lái)自于生活,材料以直觀為主．在應(yīng)用概念形成這一方法對(duì)概念進(jìn)行導(dǎo)入時(shí),在歸納、概括所用的例子階段,應(yīng)盡量列舉學(xué)生實(shí)際生活中的例子,通過(guò)大量的和學(xué)生息息相關(guān)的例子的列舉,不但能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,而且使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)來(lái)源于生活服務(wù)于生活,數(shù)學(xué)只不過(guò)是對(duì)“實(shí)際生活”的進(jìn)一步抽象概括．

(2)正反例子應(yīng)適當(dāng)安排．在剛開始對(duì)概念進(jìn)行教學(xué)時(shí),應(yīng)盡量使用正面例子,因?yàn)檎胬咏o出了概念外延范圍,傳遞的信息最有利于概括,即從正面例子中獲取的信息比反面實(shí)例中獲取的信息更多些.雖然這些信息中可能包含無(wú)關(guān)因素,但是這些無(wú)關(guān)因素能防止學(xué)生出現(xiàn)概括不足,把概念的某一屬性排除在外．隨著學(xué)習(xí)的逐步進(jìn)行,對(duì)概念的屬性有了大致的了解,反面例子就顯得尤為重要,因?yàn)榉蠢c概念本身非常相關(guān),只是少了一個(gè)或幾個(gè)關(guān)鍵特征,這就防止出現(xiàn)過(guò)度概括,把不屬于概念的屬性包含進(jìn)來(lái).反例傳遞的信息有利于對(duì)概念的辨別,有助于加深對(duì)概念本質(zhì)的認(rèn)識(shí)．

(3)讓學(xué)生自己用言語(yǔ)來(lái)表述概念的定義、屬性等．在大量正反例子的列舉以及直觀材料的說(shuō)明后,給學(xué)生留出思考時(shí)間,自己嘗試說(shuō)出某一概念的定義、屬性,這樣既能體現(xiàn)學(xué)生的主體地位,鍛煉學(xué)生的抽象思維能力、概括能力以及語(yǔ)言表達(dá)能力,又能給老師形成反饋,對(duì)知識(shí)進(jìn)行查缺補(bǔ)漏．

(4)反饋要及時(shí),評(píng)價(jià)要科學(xué)．在教學(xué)活動(dòng)時(shí),無(wú)論是老師提出問(wèn)題讓學(xué)生回答,還是學(xué)生向老師提出有關(guān)的問(wèn)題,老師都要及時(shí)給予反饋,讓學(xué)生知道自己為什么對(duì),為什么錯(cuò),使學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)在順應(yīng)和同化的過(guò)程中達(dá)到平衡．評(píng)價(jià)的信息要科學(xué),任何似是而非、模棱兩可的信息都會(huì)干擾學(xué)生對(duì)概念的理解．

二、“集合”概念形成導(dǎo)入方式的案例分析

采用概念形成導(dǎo)入概念的學(xué)習(xí)一般方式為:例子——規(guī)則——例子．“集合”是大部分學(xué)生一進(jìn)入高中時(shí)最初接觸到的概念,如前所述，對(duì)這一概念的導(dǎo)入方式以概念形成方式較好.筆者覺(jué)得原因有兩點(diǎn):一是初中沒(méi)有學(xué)習(xí)與這一概念相關(guān)的知識(shí),不適用于概念同化的方式;二是“集合”這一概念比較容易理解,即使學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中沒(méi)有相關(guān)的知識(shí),但實(shí)際生活中存在與此相關(guān)的很多例子．下面結(jié)合《當(dāng)代教育心理學(xué)》(陳琦，劉儒德主編，北京師范大學(xué)出版社，2002年)中對(duì)概念形成教學(xué)階段的劃分，對(duì)“集合”這一概念形成模式的教學(xué)進(jìn)行案例分析．

階段1呈現(xiàn)概念的定義或數(shù)據(jù)

(1)教師呈現(xiàn)合適的正例和反例

在上課開始,學(xué)生起立,說(shuō)完“老師好”后,讓女生坐下,男生站著(此時(shí)引起學(xué)生的疑惑)→讓男生坐下,女生起立(學(xué)生開始小聲議論)→讓頭發(fā)長(zhǎng)的女生坐下,頭發(fā)短的站著(有幾個(gè)女生坐下又站起,不知是站著還是坐下)

(2)學(xué)生比較正例和反例的特征

老師提出問(wèn)題:① 為什么老師在說(shuō)頭發(fā)長(zhǎng)的女生坐下,頭發(fā)短的女生站著時(shí),有幾個(gè)女生不知是站還是坐呢?② 為什么老師讓男生坐下,女生站起時(shí),剛才不知站還是坐的女生毫不猶豫站起來(lái)呢?

(3)學(xué)生形成和檢驗(yàn)假設(shè)

學(xué)生通過(guò)比較正反例的比較,小組討論給出答案:因?yàn)轭^發(fā)長(zhǎng)短沒(méi)有給出確定的標(biāo)準(zhǔn),因此無(wú)法判斷自己頭發(fā)的長(zhǎng)短,故有幾個(gè)女生也不知是該站著還是坐下;而老師讓男生坐下,女生站起時(shí),每個(gè)人都很明確的知道自己屬于那個(gè)群體．

教師給予表?yè)P(yáng)后作出總結(jié):像我們班全體學(xué)生組成的群體,我們班男生組成的群體以及我們班女生組成的群體就成為一個(gè)集合,而頭發(fā)長(zhǎng)的女生因?yàn)闆](méi)有給出確定的標(biāo)準(zhǔn),成員都不確定,所以像這樣的群體不能成為一個(gè)集合；并且我們班里的每位同學(xué)都是獨(dú)一無(wú)二的,這也就說(shuō)明一個(gè)群體里的成員不能相同；我們班里的同學(xué)不管座次發(fā)生怎樣的變化,我們現(xiàn)在同學(xué)組成的這個(gè)群體都是一個(gè)群體,也就是同一個(gè)集合．

(4)學(xué)生根據(jù)這些基本的特征給出一個(gè)定義

班級(jí)全體女生可以組成一個(gè)集合,頭發(fā)長(zhǎng)的女生不能組成一個(gè)集合說(shuō)明了集合的確定性;每個(gè)集合里的成員必須獨(dú)一無(wú)二說(shuō)明了集合的互異性;班級(jí)里學(xué)生的座次發(fā)生變化但集合不變,說(shuō)明集合的無(wú)序性．學(xué)生自己組織語(yǔ)言,通過(guò)合作交流給出集合的定義．

階段2驗(yàn)證概念的猜想

(1)學(xué)生判斷新的例子是否符合概念

老師給出幾個(gè)例子讓學(xué)生判斷:

① 全體整數(shù)是否構(gòu)成一個(gè)集合?

② 中國(guó)所有的省是否構(gòu)成一個(gè)集合?

③ 中國(guó)所有的較長(zhǎng)的河是否構(gòu)成一個(gè)集合?

④ 我們班性格開朗的同學(xué)是否構(gòu)成一個(gè)集合?

(2)老師分析確認(rèn)假設(shè),并下定義

通過(guò)以上的學(xué)習(xí)我們知道一個(gè)群體是否能夠成集合,必須滿足三種屬性:確定性、互異性、無(wú)序性,這三種屬性也成為集合的三要素,也是判斷一個(gè)群體是否構(gòu)成集合的標(biāo)準(zhǔn)．

(3)學(xué)生舉例

老師給出概念后,讓學(xué)生自己舉例,并及時(shí)給與反饋與評(píng)價(jià)．

階段3分析思考過(guò)程和思維策略

(1)學(xué)生描述思考的過(guò)程

讓學(xué)生用語(yǔ)言表達(dá)出自己的思考過(guò)程,對(duì)學(xué)生的疑惑進(jìn)行解答,保證學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)達(dá)到平衡．

(2)學(xué)生討論假設(shè)和特征的意義

讓學(xué)生討論集合三要素對(duì)于集合的意義,如果沒(méi)有著三要素會(huì)怎么樣?

(3)學(xué)生討論假設(shè)的類型

這一過(guò)程可以作為預(yù)習(xí)下一知識(shí)點(diǎn)的開端,即“集合”有幾種方法可以表述?讓學(xué)生自己思考、討論與交流,以進(jìn)一步增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)新知識(shí)的認(rèn)識(shí),提高其思維品質(zhì)．

以上三個(gè)階段層層深入,從抽象到概括,從現(xiàn)象到本質(zhì),逐步升華,幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)規(guī)律,不斷將“集合”知識(shí)歸入系統(tǒng),并提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力．

三、促進(jìn)高一數(shù)學(xué)概念形成的導(dǎo)入方式的教學(xué)建議

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中要求:在教學(xué)中應(yīng)該強(qiáng)調(diào)對(duì)基本概念和基本思想的理解和掌握,對(duì)一些核心概念和基本思想,要貫穿高中數(shù)學(xué)的始終,幫助學(xué)生逐步加深理解.在數(shù)學(xué)活動(dòng)中要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從具體事例抽象出數(shù)學(xué)概念的過(guò)程,在初步運(yùn)用中初步理解概念的本質(zhì)．可以看出,新課程理念不僅重視概念形成的過(guò)程,而且更加重視概念抽象的過(guò)程.而高一又是學(xué)生由具體思維過(guò)渡到抽象思維的階段，因此,這就要求我們?cè)跀?shù)學(xué)概念的教學(xué)中,應(yīng)該注重從以下幾個(gè)方面來(lái)促進(jìn)高一數(shù)學(xué)概念形成的導(dǎo)入方式的教學(xué).

1.解決好學(xué)生概念學(xué)習(xí)的心向問(wèn)題

學(xué)生概念學(xué)習(xí)的心向是促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)概念形成的必要前提．高一學(xué)生數(shù)學(xué)概念形成的導(dǎo)入方式,就應(yīng)該幫助學(xué)生產(chǎn)生積極的有意義的學(xué)習(xí)心向.例如,強(qiáng)調(diào)創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)膯?wèn)題情境,概念形成導(dǎo)入方式的教學(xué),我們創(chuàng)設(shè)的問(wèn)題情境盡可能與學(xué)生的實(shí)際生活有關(guān)系,或者使學(xué)生產(chǎn)生興趣,這樣有助于誘發(fā)學(xué)生產(chǎn)生有意義的心向．此外,向?qū)W生提供現(xiàn)實(shí)的感性資料也有助于學(xué)生產(chǎn)生積極的心向,應(yīng)該采用同時(shí)呈現(xiàn)的方式,以利于學(xué)生從中進(jìn)行分析、比較,這樣可以減輕學(xué)生的記憶負(fù)擔(dān)．

2.注重概括,從共同特征中抽象出本質(zhì)屬性

要讓學(xué)生進(jìn)行充分的自主活動(dòng),使他們有機(jī)會(huì)經(jīng)歷概念產(chǎn)生的過(guò)程,了解概念產(chǎn)生的條件,把握概念形成的規(guī)律,在分析和比較的基礎(chǔ)上,引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)對(duì)其共同屬性進(jìn)行抽象、并從共同特征中抽象出本質(zhì)屬性．例如,問(wèn)題串的設(shè)置既可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行積極思考,又可以使學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)生沖突,因此要求設(shè)置的問(wèn)題應(yīng)該由易到難,逐步揭示概念的特征．在對(duì)問(wèn)題串進(jìn)行解答時(shí)要促使學(xué)生積極討論,合作學(xué)習(xí),只有在交流合作中才能碰撞出智慧的火花,才能得出最全面、合理的結(jié)果．

3.及時(shí)歸于已有的概念系統(tǒng)

必須使新概念納入到已有的概念系統(tǒng)中去,使新概念與認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的起基礎(chǔ)作用的數(shù)學(xué)概念建立起實(shí)質(zhì)的聯(lián)系．這樣可以使概念的記憶效果提高,并有利于用已掌握的概念去吸收和理解新的知識(shí)．

4.概念形成導(dǎo)入與同化導(dǎo)入的方式可以是兩者的結(jié)合

筆者雖然以概念形成導(dǎo)入方式在“集合”概念教學(xué)中為例,但不是說(shuō)某一個(gè)概念只能用概念形成的方式導(dǎo)入,而另一個(gè)概念只能用概念同化的方式導(dǎo)入,恰恰相反,在實(shí)際教學(xué)中我們可以將兩種導(dǎo)入方式結(jié)合起來(lái)使用．