高考易錯(cuò)題自測(cè)AB卷
——函數(shù)

河北 郭天總 趙世杰

高考易錯(cuò)題自測(cè)AB卷
——函數(shù)

河北 郭天總 趙世杰

A卷

一、選擇題

1．函數(shù)y＝f（x）的圖象與直線x＝a交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（ ）

A．必有一個(gè) B．1個(gè)或兩個(gè)

C．至多一個(gè)D．可能兩個(gè)以上

2．下列各函數(shù)中，與y＝2x－1是同一個(gè)函數(shù)的是（ ）

A．（2，3）

B．（2，4］

C．（2，3）∪（3，4］

D．（－1，3）∪（3，6］

4．已知f（x）＝2＋log3x，x∈［1，9］，則函數(shù)g（x）＝［f（x）］2＋f（x2）的值域?yàn)椋?）

A．（6，13）B．（－3，＋∞）

C．［6，13］D．（－3，13）

A．奇函數(shù)

B．偶函數(shù)

C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)

D．既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)

6．設(shè)函數(shù)f（x）滿足f（－1）·f（1）＜0，則方程f（x）＝0在區(qū)間［－1，1］內(nèi)（ ）

A．沒(méi)有實(shí)根

B．有唯一實(shí)根

C．有2個(gè)實(shí)根

D．不能確定有無(wú)實(shí)根

8．已知函數(shù)f（x）＝（a2－a＋1）loga＋1x是對(duì)數(shù)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a＝（ ）

A．a(chǎn)＝0或a＝1B．a(chǎn)＝1

C．a(chǎn)＝0D．a(chǎn)＞0且a≠1

10．已知函數(shù)f（x）＝（k2－1）x2＋2x－3在區(qū)間（－∞，2］上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ）

11．設(shè)函數(shù)y＝f（x）的定義域?yàn)镽，則函數(shù)y＝f（x－1）與y＝f（1－x）的圖象關(guān)于（ ）

A．直線y＝0對(duì)稱

B．直線x＝0對(duì)稱

C．直線y＝1對(duì)稱

D．直線x＝1對(duì)稱

12．若不等式（a2－4）x2＋2（a－2）x＋1＞0對(duì)一切x∈R恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）

A．a(chǎn)＞2B．a(chǎn)≥2

C．a(chǎn)＜－2D．a(chǎn)≤－2

二、填空題

13．函數(shù)y＝－x2＋2 mx＋5在［1，＋∞）上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．

14．定義在（0，＋∞）上的函數(shù)f（x）滿足對(duì)任意的x1，x2∈（0，＋∞）（x1≠x2），有（x2－x1）（f（x2）－f（x1））＞0．則滿足的x取值范圍是_______．

15．已知函數(shù)f（x）＝ax（a＞0且a≠1）在區(qū)間［－2，2］上的最大值不大于2，則函數(shù)g（a）＝log2a的值域是________．

16．如果函數(shù)y＝a2x＋2ax－1（a＞0，a≠1）在區(qū)間［－1，1］上的最大值是14，則a的值為________．

B卷

一、選擇題

1．設(shè)集合M＝｛－1，0，1｝，N＝｛－2，－1，0，1，2｝，如果從M到N的函數(shù)f滿足條件：對(duì)M中的每個(gè)元素x與它在N中對(duì)應(yīng)的f（x）之和都是奇數(shù)，則函數(shù)f的個(gè)數(shù)是（ ）

A．8 B．12 C．16 D．18

2．已知函數(shù)f（x）＝｜x－1｜，則下列函數(shù)與函數(shù)f（x）是同一函數(shù)的是（ ）

A．m＞1B．m＜1

C．m≥1D．m≤1

5．下列四個(gè)函數(shù)中，奇函數(shù)的個(gè)數(shù)是（ ）

A．1B．2C．3D．4

6．定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＝2 014x＋log2014x，則在R上函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）

A．1 B．2

C．3D．4

8．已知函數(shù)f（x）＝（a－2）ax（a＞0且a≠1），若對(duì)任意，都有，則a的取值范圍是（ ）

A．（0，＋∞）

B．（0，1）∪（1，＋∞）

C．（0，1）∪［2，＋∞）

D．（0，1）∪（2，＋∞）

9．已知關(guān)于x的方程y＝loga（x2－2ax－2）在區(qū)間［－2，－1］上是增函數(shù)，則a的取值范圍是（ ）

A．充要條件

B．充分不必要條件

C．必要不充分條件

D．既不充分也不必要條件

11．已知奇函數(shù)f（x）滿足f（x）＝f（2－x），則下列直線一定是函數(shù)f（x）圖象對(duì)稱軸的是（ ）

A．x＝－2B．x＝－1

C．x＝2D．x＝4

12．函數(shù)g（x）＝ax2－2ax＋1＋b（a＞0）在區(qū)間［2，3］上有最大值4和最小值1．設(shè)，若不等式f（2x）－k·2x≥0在x∈［－1，1］上有解，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（ ）

A．（0，＋∞）B．（－1，＋∞）

C．（－∞，1）D．（－∞，1］

二、填空題

13．已知函數(shù)f（x）＝ax3－x2＋1在（0，1）上有增區(qū)間，則a的取值范圍是________．

14．關(guān)于x的方程log2x2－2（｜x｜－1）2＝0根的個(gè)數(shù)為________．

15．已知a＞0且a≠1，f（x）＝x2－ax，當(dāng)x∈（－1，1）時(shí)，均有，則a的取值范圍是________．

16．已知函數(shù)f（x）＝ln（a·3－2x＋2·3－x＋1）的定義域?yàn)椋?，＋∞），則實(shí)數(shù)a 的值為________．

【參考答案與提示】

A卷

1．C 【解析】當(dāng)a在y＝f（x）定義域內(nèi)時(shí)，交點(diǎn)的個(gè)數(shù)有1個(gè)，當(dāng)a不在時(shí)，交點(diǎn)的個(gè)數(shù)有0個(gè)．選C．

【易錯(cuò)警示】函數(shù)的定義要求“對(duì)于定義域內(nèi)每一個(gè)x在值域中都有唯一元素與之對(duì)應(yīng)”．本題解題過(guò)程中容易忽視“a不在函數(shù)y＝f（x）定義域內(nèi)”或誤認(rèn)為交點(diǎn)個(gè)數(shù)可以無(wú)數(shù)個(gè)，造成錯(cuò)選A或D．

2．C 【解析】A項(xiàng)、B項(xiàng)與y＝2x－1定義域不同．D項(xiàng)與y＝2x－1對(duì)應(yīng)關(guān)系是不同的．

【易錯(cuò)警示】此類問(wèn)題容易犯的錯(cuò)誤是先化簡(jiǎn)再判斷，兩個(gè)函數(shù)是同一函數(shù)的充要條件是它們的定義域和對(duì)應(yīng)法則分別相同．在判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)，不能對(duì)函數(shù)解析式化簡(jiǎn)．

【易錯(cuò)警示】本題中容易出現(xiàn)將x≠3漏掉的情況，另外對(duì)于求解與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的定義域時(shí)，容易忽略對(duì)真數(shù)大于0的要求．

4．C 【解析】g（x）的定義域?yàn)椋?，3］，又∵g（x）＝（log3x＋3）2－3，∴函數(shù)g（x）的值域?yàn)椋?，13］．選C．

【易錯(cuò)警示】求函數(shù)的值域，應(yīng)先求函數(shù)的定義域；有關(guān)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間類問(wèn)題，應(yīng)先考慮函數(shù)的定義域，因?yàn)楹瘮?shù)的單調(diào)區(qū)間為函數(shù)定義域的子區(qū)間．

5．A 【解析】當(dāng)x＜－1時(shí)，－x＞1，則f（－x）＝－（x2－2）；當(dāng)｜x｜≤1時(shí)，f（－x）＝0；當(dāng)x＞1時(shí)，－x＜－1，則f（－x）＝－（－x2＋2），所以f（－x）＝－f（x），即函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，正確答案為A．

【易錯(cuò)警示】對(duì)于分段函數(shù)奇偶性的判斷，要弄清“x”與“－x”所分別對(duì)應(yīng)的解析式．

6．D 【解析】f（x）在［－1，1］內(nèi)是否連續(xù)和單調(diào)都未知，故不能確定f（x）＝0在［－1，1］內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

【易錯(cuò)警示】連續(xù)不斷的函數(shù)在區(qū)間［a，b］內(nèi)有f（a）·f（b）＜0時(shí)，函數(shù)在區(qū)間（a，b）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)；連續(xù)不斷的單調(diào)函數(shù)在區(qū)間［a，b］內(nèi)有f（a）·f（b）＜0時(shí)，函數(shù)在區(qū)間（a，b）內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)．本題中很容易忽視連續(xù)性與單調(diào)性的條件，從而錯(cuò)選B．

7．B 【解析】由已知可得

【易錯(cuò)警示】本題中最常見(jiàn)的錯(cuò)誤是混淆分段函數(shù)的分類標(biāo)準(zhǔn)，將f（1＋2x）錯(cuò)誤地寫成f（1＋2x）＝從而錯(cuò)選C．在高考中對(duì)類似知識(shí)點(diǎn)的考查較多，而且有一定難度．

8．B 【解析】由題意得a2－a＋1＝1，解得a＝0或a＝1，又a＋1＞0且a＋1≠1，所以a＝1．

【易錯(cuò)警示】指數(shù)（對(duì)數(shù)）函數(shù)是形式定義，要求系數(shù)為1，底數(shù)大于零且不為1．

9．C 【解析】據(jù)題意知3a－1＜0且0＜a＜1，及x＝1時(shí)

（3a－1）×1＋4a≥loga1，解得，選C．

【易錯(cuò)警示】“分而不斷”是分段函數(shù)的最重要特點(diǎn)，因此對(duì)于分段函數(shù)中的已知單調(diào)性求參數(shù)取值范圍問(wèn)題，不但要保證函數(shù)在每一段上是單調(diào)的，還要注意保證函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)是單調(diào)的，即要注意在定義域分界點(diǎn)附近的單調(diào)性．

10．D 【解析】k2－1＝0時(shí)，滿足條件；k2－1≠0時(shí)，有綜上選D．

【易錯(cuò)警示】本題容易忽略k2－1＝0，對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)含參數(shù)的二次函數(shù)問(wèn)題，應(yīng)對(duì)參數(shù)分類討論，分類討論的標(biāo)準(zhǔn)就是二次項(xiàng)系數(shù)與0的關(guān)系．

11．D 【解析】f（x）、f（－x）的圖象向右平移1個(gè)單位分別得到f（x－1）、f（1－x）的圖象，選D．

【易錯(cuò)警示】有關(guān)函數(shù)圖象的對(duì)稱問(wèn)題，一定要分清是“一個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱性”與“兩個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱性”．

12．B 【解析】a2－4＝0時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)a＝2滿足條件；a2－4≠0時(shí)，則綜上得a≥2．

【易錯(cuò)警示】對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)含參數(shù)的一元二次不等式問(wèn)題，應(yīng)對(duì)參數(shù)分類討論，此題容易犯的錯(cuò)誤是忽略對(duì)a2－4的討論，另外要能夠正確區(qū)分含有參數(shù)的“能成立”與“恒成立”問(wèn)題．

13．m≤1 【解析】y＝－x2＋2 mx＋5的對(duì)稱軸為x＝m，由數(shù)形結(jié)合可知m≤1．

【易錯(cuò)警示】本題容易錯(cuò)誤理解為函數(shù)y＝－x2＋2 mx＋5的單調(diào)減區(qū)間是［1，＋∞），從而得出m＝1的錯(cuò)誤結(jié)論．在解題中要注意，“在區(qū)間上單調(diào)”指該區(qū)間是函數(shù)相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子區(qū)間；“單調(diào)區(qū)間是”指該區(qū)間就是函數(shù)的相應(yīng)最大單調(diào)區(qū)間．

【易錯(cuò)警示】在求解與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式時(shí)，往往是利用函數(shù)的單調(diào)性將“f”符號(hào)脫掉，使其轉(zhuǎn)化為具體的不等式求解，此時(shí)應(yīng)特別注意函數(shù)的定義域．

【易錯(cuò)警示】解決簡(jiǎn)單的指數(shù)方程或不等式的求解問(wèn)題應(yīng)利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，要特別注意底數(shù)a的取值范圍，并在必要時(shí)進(jìn)行分類討論．

【易錯(cuò)警示】在使用換元法解決問(wèn)題時(shí)，要注意引入的新元的取值范圍，另外注意不要忽略對(duì)底數(shù)a進(jìn)行分類討論．

B卷

1．D 【解析】x為－1，1時(shí)，在N中只能對(duì)應(yīng)－2，0或2，當(dāng)x＝0時(shí)，N中只能對(duì)應(yīng)－1或1，故選D．

【易錯(cuò)警示】“從M到N的函數(shù)f”具有“唯一性”、“方向性”，即要求M中每一個(gè)元素在N中“有且只有”一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，但不要求N中的每一個(gè)元素在M中有“對(duì)應(yīng)”或“唯一對(duì)應(yīng)”，故找函數(shù)f的過(guò)程要分為“三步”而不是“三類”，所以用乘法計(jì)數(shù)原理，而不是加法計(jì)數(shù)原理，很容易錯(cuò)選A選項(xiàng)．

2．B 【解析】?jī)蓚€(gè)函數(shù)是同一函數(shù)的充要條件是它們的定義域和對(duì)應(yīng)法則分別相同．A選項(xiàng)與f（x）的定義域不同；C、D選項(xiàng)與f（x）的對(duì)應(yīng)法則不同．選B．

【易錯(cuò)警示】本題中C選項(xiàng)的定義域與對(duì)應(yīng)法則看似與函數(shù)f（x）相同，但其分段的分類標(biāo)準(zhǔn)與函數(shù)f（x）不相同，要注意辨別，不能錯(cuò)選C選項(xiàng)．

【易錯(cuò)警示】在復(fù)合函數(shù)中求抽象函數(shù)定義域有關(guān)問(wèn)題時(shí)，由于沒(méi)有告訴函數(shù)解析式，進(jìn)行運(yùn)算時(shí)要注意兩個(gè)原則：一是定義域總是給定函數(shù)中自變量取值范圍的集合；二是同一對(duì)應(yīng)法則內(nèi)的變量因式取值范圍的集合相同．

5．B 【解析】（1）中f（x）的定義域不關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱；分x＞0，x＜0討論可知（4）是偶函數(shù)，選B．

【易錯(cuò)警示】判斷函數(shù)奇偶性時(shí)，首先要看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；若定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則f（x）為非奇非偶函數(shù)，其次判斷f（x）與f（－x）、－f（x）的關(guān)系，也可轉(zhuǎn)化為判斷f（x）±f（x）是否為0，簡(jiǎn)化求解過(guò)程．

【易錯(cuò)警示】奇函數(shù)f（x）若在x＝0處有定義，則f（0）＝0．利用這一性質(zhì)解決與奇函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題可以起到事半功倍的效果．

【易錯(cuò)警示】本題的關(guān)鍵是如何正確找到分段函數(shù)的分類標(biāo)準(zhǔn)，易錯(cuò)將分段函數(shù)y＝f（x）＋f（2－x）按數(shù)“2”分成兩段．

9．B 【解析】∵a＞0且a≠1，∴u＝x2－2ax－2在［－2，－1］內(nèi)單調(diào)遞減，∴0＜a＜1且（－1）2＋2a－2＞0，選B．

【易錯(cuò)警示】復(fù)合函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題重在將其分拆成簡(jiǎn)單函數(shù)后分析簡(jiǎn)單函數(shù)各自單調(diào)性，分拆后很容易忽視原函數(shù)的定義域，特別是在求解與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問(wèn)題時(shí)，要注意保證真數(shù)大于零．

10．C 【解析】a＝－1不滿足充分性；反之，a＝0時(shí)滿足，a＜0時(shí)，即選C．

【易錯(cuò)警示】對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)含參數(shù)的二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式問(wèn)題，應(yīng)對(duì)參數(shù)分類討論，此題容易犯的錯(cuò)誤是忽略對(duì)a的討論．

11．B 【解析】f（x）圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，又f（x）是奇函數(shù)，則f（x）圖象關(guān)于直線x＝－1對(duì)稱．

【易錯(cuò)警示】在對(duì)稱性問(wèn)題中若有f（a＋x）＝f（b－x）成立，則函數(shù)f（x）圖象關(guān)于直線對(duì)稱；若有成立，則函數(shù)f（x）圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．

【易錯(cuò)警示】在函數(shù)中常見(jiàn)到含有參數(shù)的“能成立”與“恒成立”問(wèn)題，在審題中一定要注意理解題意．若k≤f（x）有解，則k≤［f（x）］max；若k≤f（x）恒成立，則k≤［f（x）］min；若k≥f（x）有解，則k≥［f（x）］min；若k≥f（x）恒成立，則k≥［f（x）］max．

【易錯(cuò)警示】在解題中要注意，“存在單調(diào)區(qū)間”指該區(qū)間內(nèi)有相應(yīng)單調(diào)性，也可能有別的單調(diào)性，即該區(qū)間內(nèi)可能既有增區(qū)間，也有減區(qū)間．

14．4 【解析】令f（x）＝log2｜x｜，g（x）＝（｜x｜－1）2，這兩個(gè)函數(shù)均為偶函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，數(shù)形結(jié)合知兩函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè)；同理，當(dāng)x＜0時(shí)，也有兩根．綜上，滿足條件的根的個(gè)數(shù)為4．

【易錯(cuò)警示】本題在對(duì)log2x2－2（｜x｜－1）2＝0進(jìn)行變形時(shí)，容易得出log2x＝（｜x｜－1）2的錯(cuò)誤結(jié)論，這是在對(duì)含對(duì)數(shù)的式子進(jìn)行變形時(shí)不等價(jià)而產(chǎn)生的錯(cuò)誤，在做題時(shí)要特別關(guān)注變形的等價(jià)性．

15．1＜a≤2 【解析】x∈［－1，1］時(shí)，0＜a＜1時(shí)，，解得時(shí)，，綜上可得1＜a≤2．

【易錯(cuò)警示】對(duì)于指數(shù)函數(shù)的底數(shù)a（a＞0且a≠1），在不清楚其取值范圍時(shí)，應(yīng)分a＞1和0＜a＜1進(jìn)行討論，另外要能夠正確區(qū)分含有參數(shù)的“有解”與“恒成立”問(wèn)題．

16．－15 【解析】∵不等式a·3－2x＋2·3－x＋1＞0的解集為（1，＋∞），令m＝3x得m2＋2 m＋a＞0（m＞0）的解集為（3，＋∞），∴3是關(guān)于m的方程m2＋2 m＋a＝0的根，代入可得a＝－15．

【易錯(cuò)警示】函數(shù)f（x）的定義域?yàn)槟硡^(qū)間，則該區(qū)間為函數(shù)有意義的最大范圍；函數(shù)f（x）在某區(qū)間上有意義，則該區(qū)間是函數(shù)定義域的子集．另外在使用換元法解決問(wèn)題時(shí)，要注意引入的新元的取值范圍．

（作者單位：河北省邯鄲市永年縣第二中學(xué)）