高考易錯(cuò)題自測(cè)AB卷
——不等式

廣東 張紅紅

高考易錯(cuò)題自測(cè)AB卷
——不等式

廣東 張紅紅

A卷

一、選擇題

1．設(shè)集合P＝｛x｜－5＜x＜1｝，Q＝｛x｜（3－x）（x＋2）＞0｝，則P∩Q＝（ ）

A．（－5，3） B．（－2，1）

C．（－5，－2）D．（－2，3）

A．［－4，0］B．（0，4］

C．［0，4］D．［0，1］

3．不等式ax2＋8ax＋21＜0的解集為（－7，－1），那么a的值是（ ）

A．－3 B．1C．2 D．3

4．關(guān)于x的不等式mx2＋mx＋m＜1的解集為R，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）

5．不等式｜2x＋1｜－｜x－3｜＞2的解集是（ ）

6．已知集合A＝｛x｜x2＋2x＜0｝，B＝則A∪B＝（ ）

A．（－∞，0） B．（－2，＋∞）

C．（－∞，－2）D．（－2，0）

A．［－1，2］

B．［－1，2）

C．（－∞，－1］∪［2，＋∞）

D．（－∞，－1］∪（2，＋∞）

8．若2a＋b＝3，則ab的最大值是（ ）

9．下列結(jié)論正確的是（ ）

A．－5B．－3C．1D．4

12．已知正數(shù)a，b滿足a＋b－ab＋3＝0，則ab的取值范圍是（ ）

A．［2，9］ B．（－2，1）

C．（1，＋∞）D．［9，＋∞）

二、填空題

B卷

一、選擇題

A．8B．9C．12D．16

A．8B．9C．7D．6

A．－1B．0C．1D．2

A．［－2，2］ B．［－1，1］

C．［0，2］D．［0，1］

6．下列函數(shù)中，最小值為4的是（ ）

A．2 B．6C．9D．12

10．若方程x2＋ax＋2b＝0的一個(gè)根在（0，1）內(nèi)，另一個(gè)根在（1，2）內(nèi)，則的取值范圍是（ ）

A．［－2，1］

B．（－2，1）

C．（－∞，－2）∪（1，＋∞）

D．（－∞，－2］∪［1，＋∞）

A．（－∞，0）

B．（2，＋∞）

C．（－∞，－1］∪［2，＋∞）

D．（－2，0）

12．某工廠第一年年底的產(chǎn)量為p，第二年的增長率為a，第三年的增長率為b，這兩年的平均增長率為x，則有（ ）

二、填空題

14．二次方程x2＋（a2＋1）x＋a－2＝0有一個(gè)根比1大，另一個(gè)根比－1小，則a的取值范圍是________．

15．已知實(shí)數(shù)a，b滿足ab＝1，則a＋b的取值范圍是________．

16．對(duì)一切實(shí)數(shù)，不等式x4＋（a－1）x2＋1≥0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．

【參考答案與提示】

A卷

1．B 【解析】由（3－x）（x＋2）＞0，得－2＜x＜3，所以P∩Q＝（－2，1）．

【易錯(cuò)警示】注意（3－x）（x＋2）＞0對(duì)應(yīng)二次函數(shù)y＝（3－x）（x＋2）的圖象開口向下．

2．C 【解析】當(dāng)a＝0時(shí)，得1＜0，該不等式的解集為空集，符合題意；當(dāng)a≠0時(shí)，由解得0＜a≤4．綜上所述，0≤a≤4．故選C．

【易錯(cuò)警示】錯(cuò)選B．錯(cuò)誤原因：忽略了a＝0的特殊情況，誤以為原式只能是一元二次不等式．

3．D 【解析】由題意a＞0且－7，－1是對(duì)應(yīng)方程ax2＋8ax＋21＝0的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系可得（－7）×，所以a＝3．

【易錯(cuò)警示】不能把握不等式解集區(qū)間端點(diǎn)和對(duì)應(yīng)方程的根的關(guān)系．

【易錯(cuò)警示】錯(cuò)誤一：沒有將各段求解的結(jié)果與前提條件求交集；錯(cuò)誤二：分類討論之后，各段求解結(jié)果沒有求并集．

6．A 【解析】A＝（－2，0），B＝（－∞，－1］，所以A∪B＝（－∞，0）．

11．D 【解析】如圖，目標(biāo)函數(shù)z＝（x＋1）2＋（y－1）2的幾何意義是表示可行域內(nèi)任意一點(diǎn)（x，y）與定點(diǎn)M（－1，1）之間距離的平方．由圖可知，最短距離即為點(diǎn)M到直線2x＋y－2＝0的距離d，易得d2＝．故選D．

【易錯(cuò)警示】錯(cuò)選B．忽略了表達(dá)式的幾何意義是距離的平方．

12．D 【解析】由a＋b－ab＋3＝0得a＋b＝ab－3．因?yàn)?/p>

13．（－∞，1）∪（6，＋∞） 【解析】由原不等式移項(xiàng)得，等價(jià)于（6－x）（x－1）＜0，解得x＜1或x＞6．故原不等式的解集是（－∞，1）∪（6，＋∞）．

【易錯(cuò)警示】本題極易出現(xiàn)如下錯(cuò)解：兩邊同乘以x－1得3x＋2＜4（x－1），解得x＞6，所以不等式的解集為（6，＋∞）．警示：不等式兩邊同乘正數(shù)不改變方向，同乘負(fù)數(shù)改變方向．按以上錯(cuò)解思路，必須討論x－1的符號(hào)．

B卷

【易錯(cuò)警示】先構(gòu)造定值（常數(shù)），再進(jìn)行常數(shù)代換．

【易錯(cuò)警示】利用基本不等式求最值時(shí)，必須滿足“和為定值”或“積為定值”；所以，常常配湊成“和為定值”或“積為定值”．

3．B 【解析】將目標(biāo)函數(shù)z＝mx＋y化成y＝－mx＋z后，如圖所示平移到與可行域的邊界AB所在直線重合時(shí)，截距z取得最大值，此時(shí)邊界上的無窮多個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)（x，y）使z＝mx＋y取得最大值，所以－m＝kAB＝，則，故選B．

【易錯(cuò)警示】“若有無窮多個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)（x，y）”也可表達(dá)為“有無窮多個(gè)最優(yōu)解”．y＝－mx＋z與另兩條邊界重合時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取最小值有無窮多個(gè)最優(yōu)解，不合題意．

4．A 【解析】由x2＋4x＋y2－ 2y得表示如圖所示區(qū)域上任意一點(diǎn)N（x，y）到定點(diǎn)M（－2，1）的距離d的平方與5之差．當(dāng)距離d最小值2時(shí)x2＋4x＋y2－2y取最小值22－5＝－1，此時(shí)N（x，y）為（0，1）．故選A．

【易錯(cuò)警示】錯(cuò)誤一：誤認(rèn)為最優(yōu)解在可行域邊界頂點(diǎn)處取得，將頂點(diǎn)O，A，B的坐標(biāo)直接代入比較后得最小值0；錯(cuò)誤二：將距離d的最小值2錯(cuò)當(dāng)成x2＋4x＋y2－2y的最小值．

5．A 【解析】｜x｜＋｜y｜≤1表示正方形內(nèi)部，xy≥0表示一、三象限內(nèi)的點(diǎn)，綜合兩者得如圖所示區(qū)域．將目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋y化成y＝－2x＋z后，平移直線y＝－2x使之過B（1，0）時(shí)z＝2x＋y取最大2，過M（－1，0）時(shí)取最?。?．故選A．

【易錯(cuò)警示】錯(cuò)選B．將目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋y化成y＝－2x＋z后，在與可行域的邊界所在直線比較斜率后，沒有把握好其傾斜角（傾斜程度）的大?。崾荆寒?dāng)兩角同為銳角或同為鈍角時(shí)，斜率越大則傾斜角越大．

【易錯(cuò)警示】一是畫錯(cuò)已知的不等式組表示的平面區(qū)域，特別是畫圖時(shí)的隨意性，導(dǎo)致根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義確定最優(yōu)解時(shí)位置出錯(cuò)；二是不能逆向應(yīng)用z的最大值得到最優(yōu)解，發(fā)現(xiàn)關(guān)系4a＋b＝9；三是不會(huì)將2a2＋b2轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值．

9．C 【解析】已知不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)閳D中的△ABC及其內(nèi)部，三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（3，1），B（4，2），C（1，2）．將目標(biāo)函數(shù)變形得y＝－kx＋z，當(dāng)z最小時(shí)，直線的縱截距最?。Y(jié)合動(dòng)直線y＝－kx＋z繞定點(diǎn)A的“旋轉(zhuǎn)分析”易得當(dāng)斜率－k滿足時(shí)，直線當(dāng)且僅當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)（3，1）時(shí)縱截距最?。仕髮?shí)數(shù)k的取值范圍是．故選C．

【易錯(cuò)警示】錯(cuò)選B，將動(dòng)直線z＝kx＋y的斜率錯(cuò)當(dāng)成k．

10．C 【解析】由已知畫出二次函數(shù)f（x）＝x2＋ax＋ 2b的簡圖，可知可以看成是a－O－b坐標(biāo)平面內(nèi)可行域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)N（a，b）與定點(diǎn)A（－2，2）的連線的斜率．二元一次不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示（不含邊界）．因?yàn)閗AB＝1，kAD＝－2，垂線AC的斜率不存在（可理解為無窮大），由斜率與傾斜角的關(guān)系可知，kAN∈（－∞，－2）∪（1，＋∞），故選C．

【易錯(cuò)警示】錯(cuò)誤一：將區(qū)域邊界畫成實(shí)線，錯(cuò)選D；錯(cuò)誤二：沒有注意到NA的連線中有一條是傾斜角為90°的直線，錯(cuò)選B．

【易錯(cuò)警示】代入分段函數(shù)f（x）的表達(dá)式時(shí)，沒有將自變量按區(qū)間進(jìn)行討論．

12．C 【解析】依題意得，該工廠第二年的產(chǎn)量為p（1＋a），第三年的產(chǎn)量為p（1＋a）（1＋b）．則p（1＋x）2＝p（1＋a）·（1＋b）．于是（1＋x）2＝（1＋a）（1＋b）≤．故選C．

【易錯(cuò)警示】錯(cuò)解：令x＋1＝t，則x＝t－1，則原式得y＝所以函數(shù)取最小值3．錯(cuò)誤原因：基本不等式取等號(hào)時(shí)，），此時(shí)取不到等號(hào)．

14．－1＜a＜0 【解析】設(shè)f（x）＝x2＋（a2＋1）x＋a－2，由簡圖可知解得－1＜a＜0．

【易錯(cuò)警示】常見錯(cuò)解是直接求出兩根的大小，將其分別與1，－1比大小，因得到的無理不等式求解煩瑣而造成錯(cuò)誤．對(duì)于二次方程根的分布問題，應(yīng)根據(jù)條件畫出簡圖，再從圖形上找出某些特殊點(diǎn)的對(duì)應(yīng)函數(shù)值的符號(hào)，有時(shí)還得聯(lián)系對(duì)稱軸的位置和判別式Δ的正負(fù)．

15．（－∞，－2］∪［2，＋∞） 【解析】當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)，a，當(dāng)a＜0，b＜0時(shí)，（－a）＋（－b）≥，所以a＋b的取值范圍是

【易錯(cuò)警示】忽視了“一正二定三相等”中的“正”的條件．

16．a(chǎn)≥－1 【解析】令x2＝t（t≥0），原式得t2＋（a－1）t＋1≥0恒成立．分離參數(shù)a，得（1－a）t≤t2＋1．當(dāng)t＝0時(shí)，上式恒成立，此時(shí)恒成立，所以．而t＞0，因?yàn)椋裕?－a≤2，即a≥－1．綜上所述，a≥－1．

【易錯(cuò)警示】錯(cuò)解成－1≤a≤3．將t2＋（a－1）t＋1≥0在［0，＋∞）恒成立誤看成在R上恒成立．謹(jǐn)記：換元法換元時(shí)，產(chǎn)生“新元”，必須等價(jià)考慮新元范圍．

（作者單位：廣東省惠來縣第一中學(xué)）