含參導(dǎo)數(shù)問題的五種求解策略

甘肅 張建虎

含參導(dǎo)數(shù)問題的五種求解策略

甘肅 張建虎

以函數(shù)為載體，以導(dǎo)數(shù)為工具，考查函數(shù)性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)應(yīng)用為目標(biāo)，是最近幾年函數(shù)與導(dǎo)數(shù)交匯試題的顯著特點(diǎn)和命題趨向．運(yùn)用導(dǎo)數(shù)確定含參數(shù)函數(shù)的參數(shù)取值范圍是一類常見的探索性問題，主要是求存在性問題或恒成立問題中的參數(shù)的范圍．解決這類問題，主要是運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，通過分離參數(shù)、數(shù)形結(jié)合、分類討論等思維方法進(jìn)行求解．而求解策略的恰當(dāng)選擇，取決于求解策略是否準(zhǔn)確，本文就此類含參數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題做如下闡述．

1．分離參數(shù)，化為最值問題

（1）當(dāng)a＝1時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；

（2）當(dāng)x∈［1，2］時(shí)，不等式f（x）＞2恒成立，求a的取值范圍．

【評注】本題中，參數(shù)a可以用含x的函數(shù)來表示，因此想到分離參數(shù)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為最值問題．上述解法可以實(shí)施的前提是變量a可以比較方便地“分離”出來，用含x的函數(shù)來表示，且可以確定新函數(shù)g（x）＝f′（x）在區(qū)間（－1，1）是單調(diào)遞增的．若變量a無法分離，或新函數(shù)h（x）的單調(diào)性無法確定（h（x）存在極值點(diǎn)，但又無法求出此極值點(diǎn)），那“分離參數(shù)”這個(gè)方法在此就不合適了．為此，本題還提供一種對此類問題的一般性解法．

【變式練習(xí)】設(shè)函數(shù)f（x）＝kx3－3x＋1，x∈R，若對于任意x∈［－1，1］都有f（x）≥0成立，求k的取值范圍．

【提示】分x＞0，x＝0，x＜0依次討論并對k的取值范圍求交集，即得k＝4．

2．分類討論，逐一分析

題目見【例1】

【評注】雖然解法一可以避免分類討論，簡潔程度明顯優(yōu)于解法二．但解法二給出了求函數(shù)最值的基本方法，適用范圍較廣，也要引起足夠的重視．

【變式練習(xí)】函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）＝a（x＋1）（x－a），若f（x）在x＝a處取得極大值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

【提示】對a進(jìn)行逐一分類討論．答案是a∈（－1，0）．

3．化為以參數(shù)為新變元的問題

【例2】 已知函數(shù)f（x）＝x2＋alnx－2，若f（x）＋1≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

【分析】本題雖然可以分離參數(shù)，但需對lnx是否大于0討論，這樣一個(gè)問題變成了兩個(gè)問題，比較浪費(fèi)時(shí)間．

∴a＝－2是φ（a）的極大值點(diǎn)，也是φ（a）的最大值點(diǎn)．

∴φ（a）≤φ（－2）＝0，又φ（a）≥0，∴a＝－2，即a∈｛－2｝．

【評注】“分離參數(shù)”的解法雖然比較簡潔，但有一定的局限性．當(dāng)分離參數(shù)的方法受阻時(shí)，只能轉(zhuǎn)為直接求最值，同時(shí)，分離參數(shù)后，對新函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)討論會陷入既無法定號、又無法求出極值點(diǎn)的尷尬境地，因此不適合用分離參數(shù)解決．只能直接對f（x）求導(dǎo)，討論其單調(diào)性，求出f（x）最小值（是一個(gè)關(guān)于a的函數(shù)），進(jìn)而轉(zhuǎn)化為對關(guān)于參數(shù)a的函數(shù)的分析．

4．逆推求函數(shù)最值，進(jìn)而得出參數(shù)范圍

【例3】（2012·新課標(biāo)卷）設(shè)函數(shù)f（x）＝ex－ax－2．

（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若a＝1，k為整數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，（x－k）f′（x）＋x＋1＞0，求k的最大值．

【解析】（1）f（x）的定義域?yàn)椋ǎ?，＋∞），f′（x）＝ex－a．

若a≤0，則f′（x）＞0，f（x）在（－∞，＋∞）單調(diào)遞增．

若a＞0，則當(dāng)x∈（－∞，lna）時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x∈（lna，＋∞）時(shí)，f′（x）＞0，所以f（x）在（－∞，lna）上單調(diào)遞減，在（lna，＋∞）上單調(diào)遞增．

（2）由于a＝1，所以（x－k）f′（x）＋x＋1＝（x－k）（ex－1）＋x＋1．

由（1）知，函數(shù)h（x）＝ex－x－2在（0，＋∞）單調(diào)遞增．而h（1）＜0，h（2）＞0，所以h（x）在（0，＋∞）存在唯一的零點(diǎn)．故g′（x）在（0，＋∞）存在唯一的零點(diǎn)．設(shè)此零點(diǎn)為α，則α∈（1，2）．

當(dāng)x∈（0，α）時(shí)，g′（x）＜0；當(dāng)x∈（α，＋∞）時(shí)，g′（x）＞0．所以g（x）在（0，＋∞）的最小值為g（α）．又由g′（α）＝0，可得eα＝α＋2，所以g（α）＝α＋1∈（2，3）．

由于①式等價(jià)于k＜g（α），故整數(shù)k的最大值為2．

【評注】本題中，由于g′（x）不能直接定號，因此采取以g′（x）為新的起點(diǎn)，令h（x）＝ex－ax－2，進(jìn)而對h（x）進(jìn)行求導(dǎo)分析．由對h′（x）的符號討論得出h（x）的單調(diào)性，進(jìn)而得出h（x）的最值；再由h（x）的符號，得出g（x）的單調(diào)性，進(jìn)而得出g（x）的最值．可謂步步逆推，思維縝密．

5．?dāng)?shù)形結(jié)合解含參數(shù)的導(dǎo)數(shù)題

（解法1）代數(shù)邏輯逐一推理求解

直線l：y＝kx－1與曲線y＝f（x）沒有公共點(diǎn)，等價(jià)于關(guān)于x的方程在R上沒有實(shí)數(shù)解，即關(guān)于x的方程：在R上沒有實(shí)數(shù)解．

令g（x）＝xex，則有g(shù)′（x）＝（x＋1）ex，

當(dāng)x∈（－∞，－1）時(shí)，g′（x）＜0．所以g（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（－1，＋∞）時(shí)，g′（x）＞0．所以g（x）單調(diào)遞增．故當(dāng)x＝－1時(shí)，，同時(shí)當(dāng)x趨于＋∞時(shí)，g（x）趨于＋∞，所以g（x）的取值范圍為

綜上①②，得k的最大值為1．

（解法2）以“形”助“數(shù)”，圖形直觀求解

直線l：y＝kx－1與曲線y＝f（x）沒有公共點(diǎn)，等價(jià)于關(guān)于x的方程在R上沒有實(shí)數(shù)解，等價(jià)于函數(shù)的圖象無交點(diǎn)．

【評注】畫出與條件相對應(yīng)的圖形，實(shí)現(xiàn)“數(shù)”向“形”的轉(zhuǎn)化，再根據(jù)“形”的特征及性質(zhì)，建立符合條件的關(guān)系式，實(shí)現(xiàn)“形”向“數(shù)”的轉(zhuǎn)化，這種“數(shù)”與“形”融為一體的解題方法，是解函數(shù)綜合問題的重要方法．因此，巧妙運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”思想解題，可以化抽象為具體，回避數(shù)的冗長與生澀難懂，效果事半功倍．

【變式練習(xí)】（2011·河南省聯(lián)考）已知函數(shù)f（x）＝x3＋2x2－ax＋1．若函數(shù)g（x）＝f′（x）在區(qū)間（－1，1）上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

【提示】此題可以用分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為3x2＋4x＝a在區(qū)間（－1，1）上的有解問題，也可轉(zhuǎn)化為直線y＝a與曲線y＝3x2＋4x在（－1，1）上的交點(diǎn)問題，同時(shí)要數(shù)形結(jié)合．

（作者單位：甘肅省張掖市臨澤一中）