一類含有等式的向量題的解題方法

浙江 李承法

一類含有等式的向量題的解題方法

浙江 李承法

向量題目常有等式c＝λa＋μb（λ，μ∈R）出現(xiàn)，對于這類等式相關(guān)問題處理得當(dāng)，可有效提高解題效率．筆者就此類問題常用的解題方法作了整理，以饗讀者．

一、兩邊平方法

【評注】將等式化為c＝λa＋μb（λ，μ∈R）形式后，若已知其中的向量?；驃A角的，可采用兩邊平方法求得問題的解．

【變式練習(xí)】在平面上給定邊長為1的正三角形OAB，動(dòng)點(diǎn)C滿足，則點(diǎn)C的軌跡為（ ）

A．線段 B．圓 C．橢圓 D．雙曲線

二、兩邊數(shù)量積法

A．30° B．45°

C．60° D．90°

【評注】已知向量等式中有關(guān)向量的?；驃A角的，可以在等式兩邊同時(shí)乘上適當(dāng)?shù)南蛄?，得到方程或方程組，從而求得問題的解．

A．外心B．內(nèi)心

C．重心D．垂心

三、幾何法

【例4】O是平面上一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的（ ）

A．外心 B．內(nèi)心

C．重心 D．垂心

【評注】利用向量加法的平行四邊形法則或者平面向量基本定理，圖形的幾何性質(zhì)（本例運(yùn)用解直角三角形）數(shù)形結(jié)合來處理，直觀易解．

四、坐標(biāo)法

【例6】（2013·溫州一模）已知平面向量a，b，e，滿足｜e｜＝1，a·e＝1，b·e＝2，｜a－b｜＝2，則a·b的最小值是________．

【解析】設(shè)e＝（1，0），a＝（x，y），b＝（m，n），則可得x＝1，m＝2，∴a＝（1，y），b＝（2，n），由｜a－b｜＝2得｜（－1，yn）｜＝2，∴1＋（y－n）2＝4，（y－n）2＝3，即y2＋n2＝2yn＋3，又y2＋n2≥－2yn，∴y2＋n2＝2yn＋3≥－2yn，∴yn≥

【評注】在題設(shè)條件中有多個(gè)向量等式時(shí)，用向量的坐標(biāo)來轉(zhuǎn)化方程（組）或者不等式組來求解．

【變式練習(xí)】（2015·浙江模擬）已知向量a⊥b，｜a－b｜＝2，定義：cλ＝λa＋（1－λ）b，其中0≤λ≤1，若，則｜c(diǎn)λ｜的最大值為（ ）

五、投影定義法

【例7】如圖4，O為△ABC的外心，AB＝4，AC＝2，∠BAC為鈍角，M是邊BC的中點(diǎn)，則的值為（ ）

A．4B．5C．7D．9

【變式練習(xí)】（2013·溫州一模）已知平面向量a，b，e，滿足｜e｜＝1，a·e＝1，b·e＝2，｜a－b｜＝2，則a·b的最小值為____________．

【簡解】如圖5，設(shè)e，a，b都以O(shè)為起點(diǎn)，終點(diǎn)分別為E，A，B，由向量數(shù)量積的幾何意義知，點(diǎn)A在垂直于e的直線l1上，且O到直線l1的距離為1，點(diǎn)B在垂直于e的直線l2上，且O到直線l2的距離為2，由｜a－b｜＝2知，｜AB｜＝2，設(shè)M為線段AB的中點(diǎn)，由向量積化恒等式得a·b＝，因此求a·b的最小值就轉(zhuǎn)化為求｜OM｜的最小值．顯然點(diǎn)M的軌跡為垂直于e的一條直線l3，而O到直線l3的距離為

在各地模擬題和高考題中，含有c＝λa＋μb（λ，μ∈R）的向量題屢屢出現(xiàn)，?？汲Ｐ?，對這樣的向量試題不應(yīng)該懼怕，綜上可知用向量的“數(shù)”和“形”兩個(gè)屬性，運(yùn)用兩邊平方，兩邊數(shù)量積，坐標(biāo)法或幾何法，涉及平面向量數(shù)量積的問題還可以用投影—數(shù)量積幾何意義或者向量積化恒等式來求解，可以有效解決問題．

（作者單位：浙江省開化中學(xué)）