基本不等式解題“五先五后”策略

陜西 李 歆（特級(jí)教師）

基本不等式解題“五先五后”策略

陜西 李 歆（特級(jí)教師）

基本不等式是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是求解函數(shù)最值和證明不等式的重要工具，也是高考中?？嫉闹匾R(shí)點(diǎn)．但同學(xué)們?cè)诮忸}時(shí)，因?qū)静坏仁降摹皟?nèi)涵”理解膚淺，對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的“題情”識(shí)別不清，導(dǎo)致二者之間的“嫁接”鏈條缺失，造成解題的出錯(cuò)率往往較高，有鑒于此，本文介紹基本不等式解題的“五先五后”策略，供同學(xué)們復(fù)習(xí)時(shí)參考．

一、先變形，后拆項(xiàng)

二、先判斷，后添項(xiàng)

【點(diǎn)撥】（1）“1”的代換法是數(shù)學(xué)中最常用的一種解題方法，此解正是通過(guò)的巧妙實(shí)施，才使解題順利通暢，達(dá)到了“山重水復(fù)疑無(wú)路，柳岸花明又一村”的效果．

三、先放縮，后疊乘

【分析】這是一個(gè)數(shù)列不等式，通常用數(shù)學(xué)歸納法證明，但從k到k＋1難度較大，注意到不等式左邊每一項(xiàng)中的分?jǐn)?shù)分母依次相差2，可考慮依次先將前面分?jǐn)?shù)的分子變?yōu)楹竺娣謹(jǐn)?shù)的分母，然后利用基本不等式放縮后再用疊乘的方法解決．

以上各式兩邊分別相乘，得

【點(diǎn)撥】數(shù)列不等式的證明，是高考考查的熱點(diǎn)和重點(diǎn)．解這類問(wèn)題，要從不等式內(nèi)在的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)入手，尋找突破口．此解通過(guò)把不等式左邊乘積中的各項(xiàng)，分別轉(zhuǎn)化為兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)的形式，從而為應(yīng)用基本不等式搭起了一個(gè)平臺(tái)，使問(wèn)題解決精彩絕妙．

四、先分離，后消元

【例4】已知x，y∈R＋，且x－y＝xy，x－4y－a＝0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

【分析】實(shí)數(shù)a在條件等式x－4y－a＝0中，可知a＝x－4y，但此式含有兩個(gè)未知數(shù)x和y，可由另一個(gè)條件等式x－y＝xy中把x或y分離出來(lái)，然后代入求解．

【點(diǎn)撥】此題也可以利用“1”的變形技巧求解：由x－y＝ xy，得，則，以下略．

五、先引參，后代入

（作者單位：陜西省武功縣教育局教研室）