函數(shù)中的常見錯誤解析（下）

湖北 皮冬林

函數(shù)中的常見錯誤解析（下）

湖北 皮冬林

一、基本初等函數(shù)

【易錯點1】忽視對含參數(shù)的二次項系數(shù)為零時的討論

【例1】若不等式（a2－4）x2＋2（a－2）x＋1＞0對一切x∈R恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）

A．a＞2 B．a≥2

C．a＜－2D．a≤－2

【解析】當a2－4＝0時，a＝2或a＝－2，經檢驗a＝2滿足條件；

當a2－4≠0時，若不等式（a2－4）x2＋2（a－2）x＋1＞ 0對一切x∈R恒成立，則a＞2．綜上，滿足條件的實數(shù)a的取值范圍是a≥2，故正確答案為B．

【評注】在解答含參數(shù)的二次型函數(shù)時，若二次項系數(shù)含有參數(shù)，則一定要注意二次項系數(shù)為零時是否滿足題意．本題中若忽視了對a2－4＝0的討論，則很容易錯選為A答案．

【變式】已知函數(shù)f（x）＝（k2－1）x2＋2x－3在區(qū)間（－∞，2］上單調遞增，則實數(shù)k的取值范圍是________．

【易錯點2】忽視冪函數(shù)的系數(shù)為“1”

【例2】（2013·安徽模擬）冪函數(shù)y＝（m2－m＋1）· xm2－2m－3在區(qū)間（0，＋∞）上單調遞減，則實數(shù)m的取值范圍為________．

【解析】由冪函數(shù)y＝（m2－m＋1）xm2－2m－3在區(qū)間（0，＋∞）上單調遞減，得

故滿足條件的實數(shù)m的取值范圍為｛0，1｝．

【評注】本題中若沒有注意到m2－m＋1＝1，容易錯誤地由m2－2 m－3＜0得到－1＜m＜3的錯誤結論．

【變式】已知冪函數(shù)f（x）＝（m2－5 m＋7）xm2－6在區(qū)間（0，＋∞）上單調遞增，則實數(shù)m的取值范圍為________．

【答案】實數(shù)m的取值范圍為m＝3．

【易錯點3】混淆函數(shù)中的“有解”與“恒成立”問題

【例3】（2015·江西調研）已知函數(shù)g（x）＝ax2－2ax＋1＋b（a＞0）在區(qū)間［2，3］上有最大值4和最小值1．設，若不等式f（2x）－k·2x≥0在x∈［－1，1］上有解，求實數(shù)k的取值范圍．

故滿足條件的實數(shù)k的取值范圍為（－∞，1］．

【評注】在函數(shù)中常見到含有參數(shù)的“有解”與“恒成立”問題，在審題中一定要注意理解題意．若k≤f（x）有解，則k≤［f（x）］max；若k≤f（x）恒成立，則k≤［f（x）］min；若k≥f（x）有解，則k≥［f（x）］min；若k≥f（x）恒成立，則k≥［f（x）］max．

【變式】（2014·西安五校模擬）定義域為R的函數(shù)f（x）滿足f（x＋2）＝2f（x），當x∈［0，2）時，f（x）＝若當x∈［－4，－2）時，函數(shù)恒成立，則實數(shù)t的取值范圍為（ ）

A．2≤t≤3B．1≤t≤3

C．1≤t≤4D．2≤t≤4

【易錯點4】對數(shù)式的變形過程不等價

【例4】關于x的方程log2x2－2（｜x｜－1）2＝0根的個數(shù)為________．

【解析】由log2x2－2（｜x｜－1）2＝0可得log2｜x｜＝（｜x｜－1）2，令f（x）＝log2｜x｜，g（x）＝（｜x｜－1）2，易知這兩個函數(shù)均為偶函數(shù)，故只求x＞0時根的個數(shù)即可．當x＞0時，如圖所示，由數(shù)形結合知，兩函數(shù)圖象交點有2個，即此時方程log2x2－2（｜x｜－1）2＝0有兩根；同理，當x＜0時，也有兩根．綜上，滿足條件的根的個數(shù)為4．

【評注】本題在對log2x2－2（｜x｜－1）2＝0進行變形時，容易得出log2x＝（｜x｜－1）2的錯誤結論，這是在對含對數(shù)的式子進行變形時不等價而產生的錯誤，在做題時要特別關注變形的等價性．

【變式】關于x的不等式logax2＞1（0＜a＜1）的解集為________．

二、函數(shù)的圖象

【易錯點5】忽視函數(shù)變化速度的“相對性”

【評注】高考題中的函數(shù)圖象問題多用排除法，掌握各基本初等函數(shù)變化速度的“相對性”對正確解題很關鍵．若不能理解本題中當x＞0時，函數(shù)y＝3x呈“爆炸性”增長的趨勢，極易錯誤選擇選項D．

【變式】函數(shù)f（x）＝x2－2x在x∈R上的零點的個數(shù)（ ）

A．0 B．1

C．2D．3

【答案】D

【易錯點6】忽視指數(shù)函數(shù)圖象的“漸近線”

【例6】若關于x方程｜3x－1｜＝k有兩個解，則實數(shù)k的取值范圍為（ ）

A．0＜k＜1B．k＞0

C．k≥0D．k＞1

【解析】函數(shù)y＝｜3x－1｜的圖象是由函數(shù)y＝3x的圖象向下平移一個單位后，再把位于x軸下方的圖象沿x軸翻折到x軸上方得到的，如圖所示．當0＜k＜1時，直線y＝k與函數(shù)y＝｜3x－1｜的圖象有兩個不同的交點，即關于x的方程｜3x－1｜＝k有兩個解，故正確答案為選項A．

【評注】本題中“x軸是函數(shù)y＝3x圖象的漸近線”容易掌握，但對其部分圖象進行翻折變換后直線y＝1是函數(shù)y＝｜3x－1｜圖象的一部分的漸近線很容易被忽略，故本題容易錯誤選擇選項B．

【變式】若曲線｜y｜＝2x＋1與直線y＝b沒有公共點，則b的取值范圍是________．

【簡解】曲線｜y｜＝2x＋1與直線y＝b的圖象如圖所示，則b應滿足的條件是b∈［－1，1］．

【易錯點7】混淆“分段函數(shù)的分類標準”導致作錯函數(shù)圖象

【簡解】y＝f（x）－g（x）恰有4個零點，即關于x的方程f（x）＋f（2－x）＝b有四個不等實根，根據(jù)數(shù)形結合思想知，函數(shù)y＝f（x）＋f（2－x）與函數(shù)y＝b的圖象有四個不同交點．所以關鍵是要求出y＝f（x）＋f（2－x）的解析式并作出其圖象．將x與2－x分別以y＝f（x）的分類標準“2”進行分類得故由數(shù)形結合思想知b 的取值范圍為，選正確答案為D選項．（注：本題的關鍵是如何正確找到分段函數(shù)的分類標準，很容易錯將分段函數(shù)y＝f（x）＋f（2－x）按數(shù)“2”分成兩段．）

三、函數(shù)的零點

【易錯點8】錯認為函數(shù)在區(qū)間（a，b）內存在唯一零點的充要條件是f（a）·f（b）＜0

【例8】設函數(shù)f（x）滿足f（－1）·f（1）＜0，則方程f（x）＝0在區(qū)間［－1，1］內（ ）

A．沒有實根

B．有唯一實根

C．有2個實根

D．不能確定有無實根

【解析】因為函數(shù)f（x）在區(qū)間［－1，1］內是否連續(xù)和單調都未知，所以不能確定方程f（x）＝0在區(qū)間［－1，1］內的零點個數(shù)，故正確答案為D選項．

【評注】圖象連續(xù)不斷的函數(shù)在區(qū)間［a，b］內有f（a）· f（b）＜0時，函數(shù)在區(qū)間（a，b）內至少有一個零點；連續(xù)不斷的單調函數(shù)在區(qū)間［a，b］內有f（a）·f（b）＜0時，函數(shù)在區(qū)間（a，b）內有且只有一個零點．本題中很容易忽視連續(xù)性與單調性的條件，從而錯選B．

A．0 B．1

C．2 D．無數(shù)

（作者單位：湖北省宜昌市第七中學）