圓錐曲線中的易錯點分析

甘肅 張自鶴

圓錐曲線中的易錯點分析

甘肅 張自鶴

圓錐曲線是解析幾何的主要內(nèi)容，在高考試題中分值約占15%，在選擇題、填空題中一般考查基礎(chǔ)知識，解答題中必有一題，常作為把關(guān)題或壓軸題，其考查重點是直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、求曲線方程、最值問題等，著重考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化、分類討論、函數(shù)與方程、運算等方面的能力，對學(xué)生的思維能力、方法要求高，難度較大，但只要打好基礎(chǔ)知識，有意識地防范一些易錯點，盡可能地多得分還是可能的。圓錐曲線中的易錯點較多，本文主要從知識點方面來探尋其致誤的原因及防范措施，以期對廣大同學(xué)有所幫助和警示．知識點方面常見的易錯點主要有以下幾點：

一、忽視圓錐曲線定義中的條件致誤

【例1】若動圓P過點N（－2，0），且與另一圓M：（x－2）2＋y2＝8外切，求動圓P的圓心的軌跡方程．

【錯因分析】忽視雙曲線定義中的條件“差的絕對值”，很容易錯認(rèn)為所求的軌跡就是整個雙曲線．

【正確解析】因為動圓P過點N（－2，0），所以｜PN｜是動圓的半徑．又因為動圓P與圓M相外切，所以｜PM｜＝．故點P的軌跡是以M，N為焦點，實軸長為，焦距｜MN｜為4的雙曲線的左支，則，故動圓P的圓心的軌跡方程為：

【防范措施】（1）熟記圓錐曲線的定義，要特別注意雙曲線定義中的條件“差的絕對值”，搞清楚是整條雙曲線還是僅為其中的一支；（2）認(rèn)真審題，注意數(shù)形結(jié)合，多動手畫示意圖幫助判斷．

【變式訓(xùn)練】已知B（5，0），C（－5，0）是△ABC的兩個頂點，且，求頂點A的軌跡方程．

二、忽視離心率范圍致誤

【例2】已知點F1、F2分別是雙曲線b＞0）的左、右焦點，過點F1且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，若△ABF2為銳角三角形，則該雙曲線離心率e的取值范圍是（ ）

【錯因分析】只考慮由不等關(guān)系解得的范圍，而忽視雙曲線離心率本身的取值范圍．

【防范措施】在求圓錐曲線離心率的范圍時，要注意不同曲線的離心率范圍是不一樣的，橢圓的離心率0＜e＜1，雙曲線的離心率e＞1，拋物線的離心率e＝1，在由不等關(guān)系求出離心率的取值范圍后，還要考慮和所在曲線本身離心率的取值范圍取交集．

【參考答案】1＜e＜2．

三、焦點位置考慮不周致誤

【例3】已知中心在原點，對稱軸為坐標(biāo)軸的雙曲線的一條漸近線方程為4x－3y＝0，并且焦點都在圓x2＋y2＝100上，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

【錯因分析】忽視雙曲線焦點的位置，想當(dāng)然地認(rèn)為焦點只在x軸上或只在y軸上，因考慮不全而犯“對而不全”的錯誤．

【防范措施】在求雙曲線方程時，一定要注意全面考慮，不要漏解．若焦點位置不確定，則常用兩種方法來解決：一是分類討論，分別考慮焦點在x軸和y軸上的情形；二是設(shè)雙曲線方程為的形式．若雙曲線的漸近線方程為bx±ay＝0時，則也可將雙曲線方程設(shè)為的形式來求解，當(dāng)λ＞0時，焦點在x軸上，當(dāng)λ＜0時，焦點在y軸上．

【變式訓(xùn)練】若一拋物線的焦點在x－2y－4＝0，求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

【參考答案】x2＝－8y或y2＝16x．

四、利用點差法解決中點弦問題時忽視判別式致誤

【例4】已知雙曲線2x2－y2＝2，過點P（1，1）能否作直線l，使直線l與雙曲線交于A，B兩點，且線段AB的中點為P（1，1）？若存在，求出它的方程；若不存在，請說明理由．

【錯因分析】利用點差法求出中點弦所在直線的斜率，并寫出方程后，沒有利用判別式來判斷直線與雙曲線是否有交點致誤．

【正確解析】假設(shè)存在l，使得點P（1，1）為線段AB的中點．不妨設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則有x1＋x2＝2，y1＋y2＝2．

2x2－4x＋3＝0，∵Δ＝16－4×3×2＝－8＜0，∴此直線與雙曲線無交點，與假設(shè)矛盾．

故這樣的直線不存在．

【防范措施】點差法是解決圓錐曲線中點弦問題的快捷方法，但點差法使用的前提是以該點為中點的弦的斜率必須存在，因此利用此法求出弦所在直線方程時，必須要驗證直線是否與曲線相交，即要驗證判別式Δ的符號．

【參考答案】存在這樣的直線l，其方程為2x＋4y－3＝0．

五、忽視特殊性、判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系致誤

【例5】已知點A（0，2）和雙曲線4x2－y2＝4，則過點A（0，2）可作幾條直線與雙曲線有且只有一個公共點？

【錯因分析】本題在設(shè)出直線方程與雙曲線方程聯(lián)立消元后，對方程的處理容易出錯，容易忽視此方程的二次項系數(shù)為0的特殊情形，同時也容易忽視過點A（0，2）可向雙曲線的兩支作切線．

【正確解析】由題意可知直線的斜率必存在，故可設(shè)直線方程為y＝kx＋2，代入4x2－y2＝4，整理得（4－k2）x2－4kx－8＝0．

（1）當(dāng)4－k2＝0，即k＝±2時，直線平行于漸近線，與雙曲線只有一個公共點．

（2）當(dāng)4－k2≠0，即k≠±2時，令Δ＝（－4k）2－4（4－ k2）（－8）＝0，解得，此時直線方程為，與雙曲線相切．故過點A（0，2）可作4條直線與雙曲線有且只有一個公共點．

【防范措施】解決過定點的直線與雙曲線位置關(guān)系問題的基本思路有兩個，一是將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立消元后，對所得方程進(jìn)行討論，要特別注意二次項系數(shù)為零的特殊情形，當(dāng)二次項系數(shù)不為零時，借助判別式來討論位置關(guān)系；二是利用數(shù)形結(jié)合思想，借助示意圖來判斷位置關(guān)系．在直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中，雙曲線和拋物線都有特殊情形，要特別注意．

【變式訓(xùn)練】過點A（4，0）的直線與拋物線：y2＝－4x有且只有一個公共點，求直線的斜率k．

六、忽視直線斜率是否存在致誤

【例6】在圓x2＋y2＝4上任取一點P，過點P作x軸的垂線段，D為垂足，點M在線段PD上，且點P在圓上運動．

（1）求點M的軌跡方程；

（2）過定點C（－1，0）的直線與點M的軌跡交于A，B兩點，在x軸上是否存在點N，使為常數(shù)，若存在，求出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

【錯因分析】在解答本題時有兩點容易造成失分：一是在構(gòu)建方程及解方程的過程中，進(jìn)行字符運算時容易失分；二是第（2）題中的求解過程中，忽視對斜率k的討論而失分，常常出現(xiàn)會而不對、對而不全的情形．

【防范措施】（1）在加強思維能力培養(yǎng)的同時，還要重視運算能力的訓(xùn)練，平時要養(yǎng)成認(rèn)真細(xì)心的運算習(xí)慣．（2）凡涉及直線與曲線的位置問題，只要直線的斜率不確定就要進(jìn)行分類討論，考慮斜率是否存在．當(dāng)然，若直線在x軸上的截距為常數(shù)n時，也可以將直線方程設(shè)為x＝my＋n（m為參數(shù)），則可避免討論斜率是否存在．

七、忽視判別式致誤

【例7】已知中心在原點的雙曲線的右焦點為（2，0），右頂點為，若直線與雙曲線恒有兩個不同的交點A和B，，且（其中O為原點），求k的取值范圍．

【錯因分析】容易忽視直線與橢圓相交需滿足消元以后的一元二次方程的Δ＞0．

【防范措施】解決直線與橢圓相交問題時，以下幾點容易造成失分：（1）聯(lián)立方程組前沒能將方程中字母量減到最少，致使聯(lián)立方程過多而失分；（2）忽視直線與橢圓相交需滿足消元以后的一元二次方程的判別式Δ＞0這一條件而失分．

【變式訓(xùn)練】直線l：y＝kx＋1，與雙曲線2x2－y2＝1的右支交于不同的兩點A，B，求實數(shù)k的取值范圍．

解決有關(guān)圓錐曲線的問題時，常常要根據(jù)曲線的幾何性質(zhì)，把曲線的幾何特征轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系（如方程、不等關(guān)系、函數(shù)等），還要重視數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化、分類討論、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用。圓錐曲線內(nèi)容對思維要求高，運算量大，所以失分也就多，除因知識點原因失分外，還要注意運算不過關(guān)也是失分的一大因素，所以在特別關(guān)注以上一些容易失分節(jié)點的同時，也還要高度重視數(shù)學(xué)運算能力的訓(xùn)練，平時要養(yǎng)成認(rèn)真審題、細(xì)心書寫的良好運算習(xí)慣，這也是減少失分的一個因素。高考數(shù)學(xué)不易，圓錐曲線部分得滿分不易，愿同學(xué)們且學(xué)且珍重。

（作者單位：甘肅省臨澤縣第一中學(xué)）