受電弓與剛性接觸網(wǎng)動力耦合方程的數(shù)值解

關(guān)金發(fā)，吳積欽

(西南交通大學(xué) 電氣工程學(xué)院，四川 成都 610031)

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受電弓與剛性接觸網(wǎng)動力耦合方程的數(shù)值解

關(guān)金發(fā)，吳積欽

(西南交通大學(xué) 電氣工程學(xué)院，四川 成都 610031)

摘要:良好的受電弓與剛性接觸網(wǎng)動力相互作用是保證其可靠受流的前提，為研究其動力響應(yīng)，有必要對兩者的動力作用機理進(jìn)行分析。根據(jù)弓網(wǎng)系統(tǒng)的特點，推導(dǎo)受電弓、剛性接觸網(wǎng)、弓網(wǎng)接觸的動力方程，其中剛性接觸網(wǎng)動力方程為偏微分方程，利用Ritz法，轉(zhuǎn)化為常微分方程，通過紐曼數(shù)值積分求解弓網(wǎng)系統(tǒng)動力方程組。計算案例結(jié)果表明：剛性接觸網(wǎng)首跨弛度對弓網(wǎng)動力性能影響較大，剛性接觸網(wǎng)跨距、定位點剛度是影響弓網(wǎng)動力性能的顯著參數(shù)，與有限元法進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)計算結(jié)果比較接近，驗證該方法的有效性。

關(guān)鍵詞：受電弓；剛性接觸網(wǎng)；動力方程；數(shù)值計算

受電弓與剛性接觸網(wǎng)是構(gòu)成地鐵牽引供電網(wǎng)的關(guān)鍵設(shè)備，兩者的動力相互作用，亦稱弓網(wǎng)動力耦合，是影響兩者可靠受流的重要因素，研究兩者的動力作用機理需要對兩者及其耦合模型進(jìn)行動力學(xué)建模、求解、驗證，其中關(guān)鍵是建立兩者統(tǒng)一的垂向微分振動方程。 國內(nèi)外對受電弓與剛性接觸網(wǎng)的仿真建模及結(jié)構(gòu)優(yōu)化有一定研究：Paulin等[1-3]建立受電弓與剛性接觸網(wǎng)動態(tài)仿真模型，受電弓利用simpack建立剛體模型，剛性接觸網(wǎng)利用有限元軟件建立柔性體模型，通過改變仿真參數(shù)，優(yōu)化弓網(wǎng)動態(tài)性能，設(shè)計出Y型截面剛性懸掛，該新型懸掛的線路速度設(shè)計達(dá)110 km/h。為了適應(yīng)更高速度的剛?cè)徇^渡結(jié)構(gòu)，Kobayashi等[4-5]設(shè)計一種新型結(jié)構(gòu)，通過跑車試驗，論證該結(jié)構(gòu)的運行性能能達(dá)110 km/h。Ankur[6]針對剛性接觸網(wǎng)的關(guān)節(jié)式絕緣過度段進(jìn)行弓網(wǎng)建模及仿真，優(yōu)化該處的弓網(wǎng)動態(tài)性能。韓柱先[7]提出剛性接觸網(wǎng)的不平順對弓網(wǎng)受流有影響，高速運行時容易引發(fā)離線現(xiàn)象。劉峰等[8]給出剛性接觸網(wǎng)懸掛結(jié)構(gòu)的等效數(shù)學(xué)模型，并分析影響等效模型的參數(shù)，但并未給出弓網(wǎng)仿真模型。王勝[9]利用有限元法，分析8 m跨距的剛性接觸網(wǎng)模態(tài)，得到剛性接觸網(wǎng)的固有頻率。結(jié)合研究現(xiàn)狀，受電弓與剛性接觸網(wǎng)有不同的動力學(xué)模型，受電弓可等效為歸算質(zhì)量模型、多剛體運動模型、剛?cè)峄旌隙囿w模型，剛性接觸網(wǎng)可等效為連續(xù)梁模型、實體模型。弓網(wǎng)模型多用模態(tài)綜合法或有限單元法進(jìn)行求解。弓網(wǎng)系統(tǒng)為滑動接觸，接觸邊界必然存在非線性現(xiàn)象，故使用有限單元法對弓網(wǎng)模型進(jìn)行直接離散建模的研究者比較多，如文獻(xiàn)[10-16]，但該研究者并未給出弓網(wǎng)模型的微分動力方程、弓網(wǎng)接觸模型的處理、振動響應(yīng)的積分過程，對于弓網(wǎng)動力相互作用機理的研究不足。梅桂明[17]利用模態(tài)綜合法分析弓網(wǎng)系統(tǒng)的動力耦合方程，但并未給出剛性接觸網(wǎng)的微分振動方程以及與受電弓非線性耦合方程的統(tǒng)一求解過程。為進(jìn)一步研究受電弓與剛性接觸網(wǎng)的動力相互作用機理，基于受電弓、剛性接觸網(wǎng)的微分動力方程及兩者耦合接觸算法，利用模態(tài)綜合法對統(tǒng)一微分方程進(jìn)行數(shù)值計算，該方法計算簡單，容易編程實現(xiàn)，求解速度快，計算精度較高。

1系統(tǒng)微分振動方程

剛性接觸網(wǎng)匯流排與接觸線一體按錨段劃分，其截面相對長度之比很小，可等效為梁，匯流排上方通過定位線夾間隔一定跨距固定，定位線夾若沒彈性元件，其剛度很大，可假設(shè)為簡支固定，若設(shè)有彈性元件，具有一定的懸掛剛度，用一垂向彈簧替代，剛性接觸網(wǎng)整體為連續(xù)梁結(jié)構(gòu)，見圖1，其動力微分方程如式(1)。式(1)中，表示剛性接觸網(wǎng)隨時間空間變化的垂向振動位移；ρ，A，E，I和L為剛性接觸網(wǎng)的密度、截面面積、彈性模量、慣性矩、半錨段長度；fc表示弓網(wǎng)接觸力；ρAg為重力載荷；x0和t0為受電弓在接觸網(wǎng)上的初始里程、初始時刻。若式(1)右部為0，則動力方程為考慮支座反力連續(xù)梁的自由振動響應(yīng)。式(1)右邊為2項載荷，弓網(wǎng)接觸力與重力，重力沿連續(xù)梁分布施加，弓網(wǎng)接觸力為隨速度移動的載荷，其大小也隨時間變化，用狄拉克函數(shù)表示。由于剛性接觸網(wǎng)的彎曲剛度較低，在重力的作用下，需要考慮其弛度變化對受電弓的影響，故引入重力載荷，在作用t0時間后，剛性接觸網(wǎng)位移達(dá)到重力平衡位移，再計算受電弓對接觸網(wǎng)的動力作用。

受電弓采用歸算質(zhì)量模型，見圖1，其特點為容易解析其精度亦滿足工程計算，其動力學(xué)方程改寫成矩陣形式，見式(2)。受電弓以速度v通過接觸網(wǎng)，受電弓上施加f0的靜態(tài)抬升力，由于加載時間在to時間后，fo乘上一個階躍函數(shù)θ。

受電弓與剛性接觸網(wǎng)的滑動摩擦屬于邊界非線性，處理接觸問題利用罰函數(shù)法，其計算方程見式(3)。受電弓于剛性接觸網(wǎng)上滑動有可能出現(xiàn)離線狀態(tài)，此時，弓網(wǎng)接觸力fc大小由剛性接觸網(wǎng)位移與弓頭位移決定，假設(shè)弓頭位移點為mp3，當(dāng)弓頭在剛性接觸網(wǎng)上方，見圖1，弓頭與接觸網(wǎng)發(fā)生滲透，設(shè)滲透位移為Δκ，罰函數(shù)法，即計算每一個時間步的接觸網(wǎng)與弓頭位移差作為滲透位移，滲透位移與接觸剛度kc的乘積為弓網(wǎng)接觸力，當(dāng)弓頭在接觸網(wǎng)的下方，接觸力變?yōu)?，見式(4)。式(5)～(6)為剛性接觸網(wǎng)的邊界條件與初始條件。

式(1)～(6)組成剛性接觸網(wǎng)與受電弓系統(tǒng)的耦合動力方程組。

fc(t-t0)δ(x-(x0+v(t-t0)))-ρAg

(1)

(2)

fc(t-t0)=kcΔκ(t-t0)

(3)

Δκ(t-t0)=

(4)

(5)

(6)

圖1　受電弓與剛性接觸網(wǎng)振動耦合模型Fig.1 Ribration coupling model of pantograph and rigid conductor rail

2模態(tài)變換及程序編制

剛性接觸網(wǎng)動力方程，見式(1)，是一個4階偏微分方程，為了進(jìn)行解析計算，需要將其轉(zhuǎn)化為二階常微分方程，為此采用Ritz法。引入剛性接觸網(wǎng)的正則坐標(biāo)qk(t)，用三角函數(shù)和雙曲函數(shù)擬合梁的正則陣型函數(shù)，見式(7)，代入邊界條件式(5)和初始條件式(6)，得到剛性接觸網(wǎng)的解析解方程，見式(8)，NM為模態(tài)截斷階數(shù)。

Φi(x)=A1cos(ax)+A2sin(ax)+A3cosh(ax)+A4sinh(ax)

(7)

(8)

將式(8)代入式(1)得

(9)

(10)

利用狄拉克函數(shù)的抽樣特性，將式(10)代入式(9)，化簡為

(11)

又陣型坐標(biāo)與陣型的對應(yīng)關(guān)系，式(11)中的i和h為等值變化，將廣義坐標(biāo)微分方程展開以矩陣形式改寫式(11)得

(12)

聯(lián)立式(2)，(3)，(4)和(12)，利用紐曼數(shù)值積分，求解以上耦合方程，受電弓位移時間歷程可直接從式(2)得到，剛性接觸網(wǎng)位移時間歷程由求得的廣義坐標(biāo)式(12)回代到式(8)獲得。具體計算流程見圖2，程序編寫利用MATLAB語言。

聯(lián)立式(2)，(3)，(4)和(12)，利用紐曼數(shù)值積分，求解以上耦合方程，受電弓位移時間歷程可直接從式(2)得到，剛性接觸網(wǎng)位移時間歷程由求得的廣義坐標(biāo)式(12)回代到式(8)獲得。具體計算流程見圖2，程序編寫利用MATLAB語言。

圖2　數(shù)值解微分動力方程組的計算流程Fig.2 Numerical calculated flow of differential dynamic equations

3算例

3.1驗證本計算方法

為驗證數(shù)值計算方法的有效性，利用有限元法建立相同弓網(wǎng)參數(shù)的計算模型，有限元計算中剛性接觸網(wǎng)利用歐拉梁建立動力學(xué)模型，接觸力利用罰函數(shù)計算，有限元計算參考文獻(xiàn)[18]，與本案對比，計算案例的弓網(wǎng)參數(shù)見表1，表1中受電弓與剛性接觸網(wǎng)參數(shù)結(jié)合成都地鐵二號線中部分線路設(shè)計參數(shù)，其中匯流排材料為鋁合金，錨段長度取100 m，跨距一般為10 m，即定位點為9個，受電弓運行速度為80 km/h，即4.5 s，接觸剛度參考文獻(xiàn)[18]。

參考圖2，首先由式(12)組成剛性接觸網(wǎng)的質(zhì)量、剛度矩陣，求出剛性接觸網(wǎng)的固有頻率與陣型，對比有限元法的得到的固有頻率，見表2。表2中模態(tài)法與有限元法各階固有頻率均接近。圖3為模態(tài)法得到的前4階剛性接觸網(wǎng)的陣型。

表1　受電弓與剛性接觸網(wǎng)參數(shù)

表2　模態(tài)法與有限元法固有頻率比較

圖3　前4階振型Fig.3 Top four mode shapes

重力作用下剛性接觸網(wǎng)產(chǎn)生位移，一般稱為弛度，其位移曲線見圖4，可以發(fā)現(xiàn)首、末跨的位移較大。圖5為受電弓的弓頭位移，發(fā)現(xiàn)當(dāng)受電弓通過首、末跨，弓頭位移最小，通過第2和9跨時，弓頭位移最大，這連續(xù)兩跨的位移差最大。結(jié)合圖4中結(jié)論，可得出當(dāng)受電弓進(jìn)出剛性接觸網(wǎng)時對受電弓的垂向產(chǎn)生沖擊，從而激發(fā)受電弓的振動加劇。

弓網(wǎng)系統(tǒng)通過弓網(wǎng)接觸力耦合運動，圖6為弓網(wǎng)接觸力波形，發(fā)現(xiàn)當(dāng)受電弓進(jìn)入剛性接觸網(wǎng)時，接觸力波動較大，從第2跨起至第9跨變化較小，末跨變化也較大，但波動少，可得出剛性接觸網(wǎng)首跨的靜態(tài)位移需要減小。圖7為剛性接觸網(wǎng)上某一點位移隨時間的變化曲線。

對比圖4至圖7可以得出模態(tài)法與有限元法的計算結(jié)果接近。

為進(jìn)一步分析首跨弛度對弓網(wǎng)動態(tài)性能的影響，給出不同速度等級的接觸力曲線，見圖8，可以發(fā)現(xiàn)，不同速度等級，接觸力在剛性接觸網(wǎng)首跨處的波動均較大，說明首跨的弛度影響在不同速度等級均存在振動較大的影響。

3.2剛性接觸網(wǎng)參數(shù)對弓網(wǎng)動力性能的影響

弓網(wǎng)系統(tǒng)動力性能通過接觸力數(shù)理統(tǒng)計值表征，包括最大接觸力、最小接觸力、平均接觸力、接觸力標(biāo)準(zhǔn)偏差。

圖4　剛性接觸網(wǎng)平衡位移Fig.4 Displacement of rigid conductor rail by gravity

圖5　弓頭運行位移Fig.5 Top four mode shapes

圖6　接觸力時間歷程Fig.6 Time history curves of contact force

圖7　某點位移時間歷程Fig.7 Displacement history curves of rigid conductor rail at some point

圖8　不同速度等級下接觸力時間歷程Fig.8 Time history curves of contact force at different speeds

文獻(xiàn)[17]中給出單因素變化對系統(tǒng)振動響應(yīng)的影響分析，但在實際工作中，常常需要同時考察 3個或3個以上的試驗因素，若進(jìn)行全面試驗，則試驗的規(guī)模將很大，往往因試驗條件的限制而難于實施。正交試驗設(shè)計就是安排多因素試驗、尋求最優(yōu)水平組合的一種高效率試驗設(shè)計方法。正交試驗設(shè)計的基本特點是用部分試驗來代替全面試驗，通過挑選具有代表性水平組合的部分試驗結(jié)果分析，了解全面試驗的情況。

研究剛性接觸網(wǎng)參數(shù)變化對弓網(wǎng)動力性能的敏感性，設(shè)定研究因素為4項，綜合考慮表1中剛性接觸網(wǎng)材料和設(shè)計參數(shù)的變化，分別在既有結(jié)構(gòu)參數(shù)上下浮動，符合工程設(shè)計邏輯，每個因素具有3個水平，見表3，正交試驗其他參數(shù)，見表1。根據(jù)正交試驗方法，設(shè)計一個L9(34)的正交試驗表，該表從27個全面試驗中挑選9個試驗組合代表全部試驗，見表4。弓網(wǎng)振動響應(yīng)的重要評價指標(biāo)是接觸力標(biāo)準(zhǔn)偏差，代表了接觸力分布的離散性，故以其作為正交試驗的評價指標(biāo)。

表3　剛性接觸網(wǎng)正交試驗因素水平

表4　剛性接觸網(wǎng)正交試驗表及試驗結(jié)果

4結(jié)論

1)利用剛性接觸網(wǎng)的結(jié)構(gòu)特點，假設(shè)為彈性支撐連續(xù)梁，建立其微分動力方程，通過罰函數(shù)法耦合弓網(wǎng)接觸力，得到與受電弓的統(tǒng)一微分動力方程組，式(2)，(3)，(4)和(12)，利用紐曼積分進(jìn)行數(shù)值求解，并給出編程過程。

2)該方法與有限元法進(jìn)行對比，發(fā)現(xiàn)計算結(jié)果基本一致，驗證該方法的有效性。

3)從剛性接觸網(wǎng)、受電弓弓頭、接觸力的計算結(jié)果看，需要減少接觸網(wǎng)首跨的弛度，首跨弛度對弓網(wǎng)動力性能的影響較大。

4)利用該方法，結(jié)合正交試驗理論，研究剛性接觸網(wǎng)多因素組合變化對弓網(wǎng)耦合振動響應(yīng)的敏感性分析，分析結(jié)果表明：剛性接觸網(wǎng)跨距、定位點剛度是影響弓網(wǎng)動力性能的顯著參數(shù)，在工程設(shè)計中建議宜采用小跨距剛性接觸網(wǎng)、剛度較小的定位線夾。

參考文獻(xiàn)

[1] Paulin J. Development of a new high-performance overhead conductor rail using simulation models, and their validation through field testing [C]// World Congress on Railway Research, 2006, Montreal.

[2] Vera C. Improved design of an overhead rail current conductor for application in underground lines [C]// The Eight International Conference on Maintenance & Renewal of Permanent Way; Power & Signaling; Structures & Earthworks, London, U.K, 2005.

[3] Vera C. Simulation model for the study of overhead rail current collector systems dynamics, focused on the design of a new conductor rail [J]. Vehicle System Dynamics, 2006，44(8)：595-614.

[4] Kobayashi T. Transition structures between rigid conductor line and catenary overhead contact line [C] // World Congress on Railway Research 2008, Seoul, Korea.

[5] Masatoshi Shimizu. Development of transition structures between overhead rigid conductor line and catenary type contact line [J]. QR of RTRI, 2008,49(2):103-107.

[6] Ankur Saxena. Insulated overlap type neutral section for rigid overhead catenary in underground system [C]//Pantograph Catenary Interaction Framework for Intelligent Control, 2011, France.

[7] 韓柱先.剛性接觸網(wǎng)的不平順分析[J].鐵道工程學(xué)報,2007,103(4):61-64.

HAN Zhuxian. Unevenness analysis of overhead rigid suspension catenary[J]. Journal of Railway Engineering Society, 2007,103(4):61-64.

[8] 劉峰濤.剛性接觸網(wǎng)懸吊結(jié)構(gòu)的等效模型[J].電氣化鐵道,2009(1):28-32.

LIU Fengtao. Equivalent model of rigid catenary suspension structure[J]. Electric Railway, 2009(1):28-32.

[9] 王勝.剛性懸掛自由振動特性分析[J].城市軌道交通,2005(2):10-12.

WANG Sheng. Free vibration analysis of rigid suspension[J]. Urban Mass Transit, 2005(2):10-12.

[10] 張洋洋.剛性懸掛接觸網(wǎng)弓網(wǎng)耦合動態(tài)仿真研究[D].成都：西南交通大學(xué),2012.

ZHANG Yangyang. Dynamic simulation study on the rigid suspension pantograph-catenary system[D]. Chengdu: Southwest Jiaotong University, 2012.

[11] 王國梁.接觸網(wǎng)剛性懸掛振動特性研究[D].成都：西南交通大學(xué),2005.

WANG Guoliang. Research on vibration characteristics of overhead rigid conductor line[D].Chengdu: Southwest Jiaotong University, 2005.

[12] 郭鳳平.受電弓-剛性解除懸掛系統(tǒng)受電弓特性分析[D]. 成都：西南交通大學(xué),2007.

GUO Fengping. Analysis on current collecting features of rigid overhead contact system[D]. Chengdu: Southwest Jiaotong University, 2007.

[13] 王愛竟.雙弓-剛性懸掛接觸網(wǎng)耦合系統(tǒng)動力響應(yīng)分析[D]. 天津:天津大學(xué),2007.

WANG Aijing. Dynamic response analysis of double pantograph rigid suspension catenary coupling system[D]. Tianjin :Tianjin University, 2007.

[14] 韓輝.架空剛性懸掛的研究及應(yīng)用[D]. 天津:天津大學(xué),2007.

HAN Hui. Study on rigid suspension catenary system and application[D]. Tianjin :Tianjin University, 2007.

[15] 畢繼紅.剛性懸掛接觸網(wǎng)/受電弓系統(tǒng)動力分析[J].沈陽理工大學(xué)學(xué)報,2007,26(4):91-94.

BI Jihong. The analysis to dynamic response of rigid suspension catenary- pantograph system[J]. Transactions of Shenyang Ligong University, 2007,26(4):91-94.

[16] 襲金真.剛性懸掛弓網(wǎng)系統(tǒng)的動態(tài)仿真研究[D]. 天津:天津大學(xué),2007.

XI Jinzhen. Dynamic simulation study on the rigid suspension pantograph catenary system[D]. Tianjin :Tianjin University, 2007.

[17] 梅桂明.剛性懸掛接觸網(wǎng)動力學(xué)研究[J].鐵道學(xué)報,2003,25(2):24-29.

MEI Guiming. Study on dynamics of rigid suspension catenary[J]. Journal of the China Railway Society, 2003,25(2):24-29.

[18] 關(guān)金發(fā).高速接觸網(wǎng)導(dǎo)高偏差對弓網(wǎng)動態(tài)性能的影響[J].電氣化鐵道,2014(6):5-10.

GUAN Jinfa. The significance of tTechnical specifications of european railway to chinese pantograph-catenary standards[J]. Electric Railway, 2014(6):5-10.

(編輯陽麗霞)

Dynamic coupling equations between pantograph and overhead rigid conductor rail by using numerical method

GUAN Jinfa, WU Jiqin

(Department of Electrical Engineering, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China)

Abstract：Great interaction between pantographs and overhead rigid conductor rail system(ORCR) can ensure reliable current collecting. To research the dynamic response, it is necessary to figure out the mechanism of their dynamics. According to the characteristics of pantographs and ORCR, dynamic equations of pantographs and rigid suspension of ORCR were set up, in which partial differential equations of ORCR can be change to ordinary differential equations by Ritz method. Numerical solution of these equations can be got by Newman Integrate. Case in the paper shows that the sag of first span, the length of span and the stiffness of supporting points would affect dynamic performance seriously. In addition, comparing to finite element method, the two results are similar which verifies the validity of this method.

Key words：pantograph; overhead rigid conductor rail; dynamic equations; numerical solution

中圖分類號：N945.12

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1672-7029(2016)02-0362-07

通訊作者：關(guān)金發(fā)(1986-)，男，廣東中山人，博士研究生，從事鐵路弓網(wǎng)動力行為的研究；E-mail:kwanjinfa@163.con

基金項目：中國鐵路總公司科技開發(fā)計劃項目(2013J010-B)

收稿日期：2015-07-18