巧用導(dǎo)數(shù)求最值

姚士長(zhǎng)

導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)內(nèi)容，它的引入對(duì)函數(shù)的單調(diào)性、極值、最大（?。┲档难芯块_辟了一條捷徑，也為數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)增添了色彩。它能使比較復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，使數(shù)學(xué)問題與實(shí)際應(yīng)用更加緊密。導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用已成為高考的一個(gè)熱點(diǎn)，下面我們將探討導(dǎo)數(shù)在求最值方面的應(yīng)用。

例題：已知函數(shù)f（x）=ax-lnx（a∈R）

（1）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f（x）在x=2處切線的斜率；

（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（3）當(dāng)a>0時(shí)，求f（x）在區(qū)間（0，e]上的最小值。

解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x-lnx，f ′ （x）= （x>0）

故曲線y=f（x）在x=2處切線的斜率為 。

（2）f ′（x）=a- = （x>0）

當(dāng)a≤0時(shí)，由于x>0，故ax-1<0，f ′（x）<0。所以f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+∞）。

當(dāng)a>0時(shí)，由f ′（x）=0，得x= 。在（0， ）上，f ′（x）<0，在（ ，+∞）上，f ′（x）>0。

所以，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0， ），單調(diào)遞增區(qū)間為（ ，+∞）。

綜上所述，當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+∞）；

當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0， ），單調(diào)遞增區(qū)間為（ ，+∞）。

（3）根據(jù)（2）得到的結(jié)論：

當(dāng) >e，即0

當(dāng) ≤e，即a≥ 時(shí)，f（x）在區(qū)間（0，e]上的最小值為f（ ），f（ ）=1-ln =1+lna

綜上所述，當(dāng)0

當(dāng)a≥ ，f（x）在區(qū)間（0，e]上的最小值1+lna

解析：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用。利用導(dǎo)數(shù)求最值的步驟。求函數(shù)f（x）的極值的步驟：（1）確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù)f ′（x）。（2）求方程f ′（x）=0的根。（3）用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間，并列成表格，檢查f ′（x）在方程根左右的值的符號(hào)。如果左正右負(fù)，那么f （x）在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f （x）在這個(gè)根處取得極小值；如果左右不改變符號(hào)即都為正或都為負(fù)，則f （x）在這個(gè)根處無極值。（4）將f （x）的各極值與區(qū)間端點(diǎn)值f（a）、f（b）比較得出函數(shù)f （x）在[a，b]上的最值。

編輯 溫雪蓮