構(gòu)造斜率求恒成立問題中參數(shù)的取值范圍

何方璇

在各省市的高考題中，常將導(dǎo)數(shù)作為壓軸題的考查對象，而導(dǎo)數(shù)中多涉及不等式的恒成立的證明或求解問題，本文以解決不等式恒成立問題的兩種方法比較為突破點，發(fā)現(xiàn)一類恒成立問題，采用構(gòu)造動函數(shù)分類討論往往很困難，但若巧妙地構(gòu)造斜率可以有效地降低題目的思維量和運算量，達到事半功倍的效果。

一、一道高考題的兩種解法

【2012全國大綱卷理科第20題】設(shè)函數(shù)f（x）=ax+cosx，

x∈[0，π]

（1）討論f（x）的單調(diào)性；（2）設(shè)f（x）≤1+sinx，求a的取值范圍。

解：（1）略

解法1：ax+cosx≤1+sinx，x∈[0，π]等價轉(zhuǎn)換為ax+cosx-1-sinx≤0，

令g（x）=ax+cosx-1-sinx，要使g（x）≤0成立，只需使gmax（x）≤0

g′ （x）=a-cosx-sinx=a- sin（x+ ），

∵x∈[0，π]，∴ sin（x+ ）∈[-1， ]

①當(dāng)a≥ 時，g′ （x）≥0，g（x）在x∈[0，π]上單調(diào)遞增，

gmax（x）=g（π）=aπ-2≤0

即a≤ ，所以a∈？準(zhǔn)

②當(dāng)a≤-1時，g′ （x）≤0，g（x）在x∈[0，π]上單調(diào)遞減，gmax（x）=g（0）=0≤0

即a∈R，所以a≤-1

③當(dāng)-1

g（x）單調(diào)遞減，x∈（x0，π]，g′ （x）>0，g（x）單調(diào)遞增。所以gmax（x）為g（0）和g（π）的最大值。

g（0）≤0g（π）≤0得a≤ ，所以-1

④當(dāng)-1≤a< 時，令g′（x）=0，？堝x1∈（0， ），x2∈（ ， ），

當(dāng)x∈[0，x1），g′ （x）>0，g（x）單調(diào)遞增，因為g（0）=0，？堝x3∈[0，x1）使g（x3）≥g（0）=0

所以1≤a< 不成立。

綜上所述a的取值范圍為a≤ 。

解法2：ax+cosx≤1+sinx

①當(dāng)x=0時，a∈R

②當(dāng)x∈（0，π]時，a≤ ，

令g（x）=sinx-cosx+1= sin（x- ）+1，g（0）=0

則上式轉(zhuǎn)化為a≤ =k，其中k為函數(shù)圖象上點（x，

g（x））與點（0，g（0））連線的斜率。

由三角函數(shù)知識g（x）= sin（x- ）+1的函數(shù)性質(zhì)。

在（0， ]上g（x）為下凸的單調(diào)遞增函數(shù)，在[ ， ]上g（x）為上凸的單調(diào)遞增函數(shù)，在[ ，π]g（x）為上凸的單調(diào)遞減函數(shù)。故k為先遞增后遞減的函數(shù)。

所以kmin（x）為k（π）和 k（x）中取得，

其中 k（x）為函數(shù)在點（0，g（0））處切線的斜率，

k（x）=g′（0）=1，k（π）=

∵k（π）< k（x）∴kmin（x）=k（π）= ，∴a≤

綜上所述a的取值范圍是a≤ 。

解法1構(gòu)造含參數(shù)的動函數(shù)，此法的難點在于就參數(shù)a進行分類討論。若采用分離常數(shù)構(gòu)造定函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求最值的辦法，需要二階求導(dǎo)和洛必達法則，超出了高中生的理解范圍。

解法2采用了分離常數(shù)構(gòu)造割線和切線斜率的辦法，有效地規(guī)避了分類討論，也降低了求導(dǎo)的繁瑣程度。

二、高考中的應(yīng)用舉例

1.與原點連線斜率： 型

例1.【2008全國Ⅱ】

設(shè)函數(shù)f（x）= .

（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）如果對任何x≥0，都有f（x）≤ax，求a的取值范圍。

解：（1）增區(qū)間（2kπ- ，2kπ+ ）（k∈Z）；減區(qū)間（2kπ+ ，2kπ+ ）（（k∈Z））.

（2）因為對任何x≥0，都有f（x）≤ax，于是a>0

由于函數(shù)f（x）= 是周期為2π的，

且函數(shù)y=ax是增函數(shù)，因此只需研究x∈[0，2π）情形。

又當(dāng)x∈[π，2π]時，f（x）≤0，即只需研究x∈[0，π）情形。

①當(dāng)x=0時，a∈R

②當(dāng)x>0時，令g（x）= ，問題等價變換為a≥ =k，

其中k為函數(shù)圖象上點（x，g（x））與點（0，g（0））連線的斜率。

下面考查g（x）= 的函數(shù)性質(zhì)。

g′（x）= ，g′′ （x）= ≤0

在（0， ]上g（x）為上凸的單調(diào)遞增函數(shù)，在[ ，π]上g（x）為上凸的單調(diào)遞減函數(shù)。

故k為單調(diào)遞減的函數(shù)。

所以k（x）< k（x），其中 k（x）為函數(shù)在點（0，g（0））處切線的斜率。

k（x）=g′ （0）= ∴k（x）< ，所以a的取值范圍為a≥ 。

綜上所述a的取值范圍是a≥ 。

2.非原點連線斜率： 型

例2.已知函數(shù)f（x）=（1+x）lnx；

（1）求f（x）=1處的切線方程。

（2）設(shè)g（x）= ，若對任意x∈（0，1）恒有g(shù)（x）<-2，求實數(shù)a的取值范圍。

解：（1）切線方程為y=2x-2

（2）當(dāng)x∈（0，1）時，f（x）<0，x-1<0，g（x）<-2故a<0；

g（x）<-2可等價變換為a>

令h（x）=（1+x）lnx，則上式轉(zhuǎn)化為a>- · =- k，其中k為函數(shù)圖象上點（x，h（x））與點（1，h（1））連線的斜率。

下面考查h（x）=（1+x）lnx的函數(shù)性質(zhì)。

由h′ （x）=lnx+ +1，h′′ （x）= <0，h′ （x）在（0，1）上單調(diào)遞減，

h′ （x）>h′ （1）=2>0

所以h（x）在（0，1）上是上凸的單調(diào)遞增函數(shù)，故k為單調(diào)遞減的函數(shù)。

所以k（x）> k（x），其中 k（x）為函數(shù)在點（1，h（1））處切線的斜率。

k（x）=h′ （0）=2

∴k（x）>2，- k<-1所以a的取值范圍為a≥-1。

綜上所述a的取值范圍是a∈[-1，0）。

3.代換轉(zhuǎn)化型：

例3.【2011年高考全國新課標(biāo)卷理科21】

已知函數(shù)f（x）= + ，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為x+2y-3=0。

（1）求a、b的值；

（2）如果當(dāng)x>0，且x≠1時，f（x）> + ，求k的取值范圍。

解：（1）a=b=1

（2）當(dāng)x>0，且x≠1時，f（x）> + 等價變換為k< +1

令t=x2，則x= ，1-k> ，設(shè)p（t）= lnt，則1-k> = =m

其中m為函數(shù)圖象上點（t，p（t））與點（1，p（1））連線的斜率。

以下考查p（t）= lnt的函數(shù)性質(zhì)。

p′（t）= （lnt+2），p′′ （t）=- lnt

p（t），p′ （t），p′′ （t）在區(qū)間（0，+∞）上的情況如下：

所以p（t）在（0， ）上為下凸的遞減函數(shù)，在（ ，1）上為下凸的遞增函數(shù)，在（0，+∞）上為上凸的遞增函數(shù)，即m值先增大再減小，在t=1時取最大值。

所以m（t）> m（t），其中 m（t）為函數(shù)在點（1，p（1））處切線的斜率。

m（t）=p′（1）=1∴m>1，1-k>1所以k的取值范圍為k≤0。

綜上所述a的取值范圍是k≤0。

三、教學(xué)反思

在高中數(shù)學(xué)中，有關(guān)函數(shù)和不等式的問題，學(xué)生大多數(shù)想到就是構(gòu)造函數(shù)，通過求導(dǎo)證明單調(diào)性來研究問題。經(jīng)過多年的訓(xùn)練，學(xué)生已經(jīng)形成了思維定勢，很難有新的突破。其實跳出固有思維，利用函數(shù)圖象直觀地理解問題，抓住問題的本質(zhì)，往往可達到柳暗花明的效果。導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)是斜率的極限，從這個意義上來說，斜率更是至關(guān)重要。

參考文獻：

熊欣，徐章韜.拉格朗日中值定理的初等化應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)通訊，2012（07）.

編輯 溫雪蓮