超空間系統(tǒng)上的族等度連續(xù)與族等距

但建軍，金渝光

（重慶師范大學數(shù)學科學學院，重慶401331）

超空間系統(tǒng)上的族等度連續(xù)與族等距

但建軍，金渝光

（重慶師范大學數(shù)學科學學院，重慶401331）

設f是緊度量空間X上的連續(xù)自映射且f-是由f誘導的超空間系統(tǒng)（K（X），f-）上的連續(xù)自映射，其中K（X）表示由X的所有非空緊子集賦予Hausdorff度量所得空間.主要討論了在Furstenberg族意義下超空間系統(tǒng)與底空間系統(tǒng)等度連續(xù)及等距的相關性質.

超空間系統(tǒng)；Furstenberg族；等度連續(xù)；等距

用Z+表示非負整數(shù)集，動力系統(tǒng)是指偶對（X，f），其中（X，d）為緊度量空間，且f：X→X為連續(xù)映射，表示由f誘導的超空間上的連續(xù)映射，其中K（X）表示由X的所有非空緊子集構成的集族，稱（X，f）為底空間系統(tǒng)，稱為超空間系統(tǒng).

族的概念最早可以追溯到在數(shù)理邏輯和一般拓撲中濾子的使用，族具有向上遺傳性.1981年，Harry Furstenberg在《Recurrence in Ergodic Theory and Combinatoria1 Number Theory》中將族的思想進行了深刻闡述. 在1997年E.Akin出版的《Recurrence in topo1ogica1 dynamics：Furstenberg fami1ies and E11is actions》一書中完善而系統(tǒng)的總結和發(fā)展了Furstenberg族的使用與方法.他在書中詳細討論了族的定義及一些運算；在族的觀點下討論了非游蕩集；強調了族意義下的混合性和傳遞性；運用所建立的概念和方法討論了dista1和等度連續(xù)的性質.2004年，邵松和葉向東［1］通過族來研究弱不交，得出Weiss-Akin-G1asner定理.2007年，熊金城等［2］定義了全局性F混沌系統(tǒng)和全局性強F混沌系統(tǒng)，并且對于系統(tǒng)（X，f）是否是全局性強F混沌的給出了一個判據(jù).2009年，譚楓和熊金城［3］定義了（F1，F(xiàn)2）混沌，給出一些充分條件使系統(tǒng)（X，f）是（F1，F(xiàn)2）混沌的.2011年，汪火云等［4］引進了族意義下的等度連續(xù)和處處混沌的概念，并得到了相應的結論.2012年，吳新星和朱培勇［5］得出了F敏感和全局性（F1，F(xiàn)2）混沌的一組等價刻畫，還討論了雙Furstenberg族混沌在逆極限系統(tǒng)和乘積系統(tǒng)中的相關性質.2015年，吳新星等［6］討論了超空間系統(tǒng)上F敏感和多重敏感的相關性質.本文主要討論超空間系統(tǒng)與底空間系統(tǒng)族等度連續(xù)及族等距的聯(lián)系.

1 基本定義與預備知識

設（X，d）為緊度量空間，f：X→X為連續(xù)映射，K（X）表示由X的所有非空緊子集構成的集族，在K（X）上賦予Vietoris拓撲，則形如集族的全體構成的K（X）上拓撲的一個基，其中Ai，i=1，2，…，n是X中非空開集.

定義K（X）上由d誘導的Hausdorff度量如下：

dH（A，B）=max｛ρ（A，B），ρ（B，A）｝，其中，任意A，B∈K（X）.

由文獻［7］可知，K（X）上的Vietoris拓撲和Hausdorff度量dH是相容的.

對定義在X上的動力系統(tǒng)（X，f），可以誘導一個超空間系統(tǒng)，對于任意的A是連續(xù)的.更多關于超空間的結果可見文獻［8］.用B（A，ε）表示集合｛F∈K（X）|dH（A，F(xiàn)）＜ε｝.

設P為Z+的所有子集構成的集族.集族F?P為一個Furstenberg族（或者簡稱為族），如果它是向上遺傳的，即F1?F2和F1?F推出F2?F.族F稱為真族，如果它是P的非空真子集，即它既非空又不為P.由遺傳向上性，F(xiàn)為真族當且僅當??F且Z+∈F.

對Furstenberg族F，其對偶kF=｛F∈P：F∩F1≠?對所有的F1∈F成立｝=｛F∈P：Z+＼F?F｝，不難證明，kF也為Furstenberg族.若F為真族，則kF也為真族.

設F1，F(xiàn)2為兩個Furstenberg族，定義F1和F2的乘積為F1·F2=｛F1∩F2：F1∈F1，F(xiàn)2∈F2｝.記B為Z+的所有無限子集構成的集族，族F稱為滿的指它為真的且滿足F·kF?B.

定義1［4］設族F?B，稱動力系統(tǒng)（X，f）為F等度連續(xù)的，指對任意的ε＞0，存在δ＞0，當d（x，y）＜δ時，有｛n∈Z+：d（fn（x），fn（y））＜ε｝∈F成立.

定義2 設族F?B，稱一個動力系統(tǒng)（X，f）是F等距的，指對任意的x，y∈X，有｛n∈Z+：d（fn（x），fn（y））=d（x，y）｝∈F成立.

2 主要結論

證明 （?）設（X，f）是F等度連續(xù)的，則對任意ε＞0，存在δ＞0，當d（x，y）＜δ時，有A=｛n∈Z+：d（fn（x），fn（y））＜ε｝∈F成立.

任取l∈A，則對任意ε＞0，存在δ＞0，當d（x，y）＜δ時，有d（fl（x），fl（y））＜ε成立.因為空間X是緊度量空間，所以當d（x，y）≤δ時，此結論仍成立.

因為fl（x）∈fl（K），所以B（fl（x），ε）?B（fl（K），ε）.即

對任意的K1，K2∈K（X），若dH（K1，K2）＜δ，則K1∈B（K2，δ）且K2∈B（K1，δ）.

由族的向上遺傳性可得，對任意ε＞0，存在δ＞0，當dH（K1，K2）＜δ時，有∈F.

任取m∈B，則對任意ε＞0，存在δ＞0，當dH（｛x｝，｛y｝）＜δ時，有

由Hausdorrf度量定義可知，當d（x，y）＜δ時，有d（fm（x），fm（y））＜ε.

根據(jù)族的向上遺傳性得，對任意ε＞0，存在δ＞0，當d（x，y）＜δ時，有成立.即（X，f）是F等度連續(xù)的.

證明 （?）設（X，f）是F等距的，則Q=｛n∈Z+：d（fn（x），fn（y））=d（x，y）｝∈F.

任取l∈Q，則d（fl（x），fl（y））=d（x，y）.

同理：ρ（fl（B），fl（A））=ρ（B，A），

所以，d（fm（x），fm（y））=d（x，y）.

故由族的向上遺傳性得，｛n∈Z+：d（fn（x），fn（y））=d（x，y）｝∈F.即（X，f）是F等距的.

［1］ SHAO S，YE X.F-mixing and weak disjointness［J］.Topo1ogy&Its App1ications，2004，135（1）：231-247.

［2］ XIONG J C，JIE L，Tan F.Furstenberg fami1y and chaos［J］.Science in China，2007，50（9）：1325-1333.

［3］ TAN F，XIONG J C.Chaos via Furstenberg fami1y coup1e［J］.Topo1ogy&Its App1ications，2009，156（3）：525-532.

［4］ WANG H，XIONG J，L JIE.Everywhere Chaosand Equicontinuity via Furstenberg Fami1ies［J］.Advances in Mathematics，2011，40（4）：447-456.

［5］ 吳新星，朱培勇.由雙Furstenberg族誘導的混沌［J］.數(shù)學學報，2012，55（6）：1039-1054.

［6］ WU X，WANG J，CHEN G.F-sensitivity and mu1ti-sensitivity of hyperspatia1 dynamica1 systems［J］.Journa1 of Mathematica1 Ana1ysis&App1ications，2015，15（2）：133-136.

［7］ ENGELKING R.Genera1 topo1ogy［M］.Warszawa：Po1ish Scientif Pub1isher，1997.

［8］ ILLANES A，NADLER S.Hyperspaces：Fundamenta1s and recent advances［M］.CRC Press，1999.

責任編輯：時 凌

EquicontinuitY and Equidistant via Furstenberg Families on the HYPersPace SYstem

DAN Jianjun，JIN Yuguang
（Schoo1 of Mathematica1 Sciences，Chongqing Norma1 University，Chongqing 401331，China）

Let f be a continuous se1f-map defined on a compact metric space X andbe a continuous se1f -map induced by f on the hyperspace system，among them，K（X）is expressed by a11 nonempty compact subsets of X endowed with a Hausdorff metric.In this paper，we main1y discuss the re1ated properties of the equicontinuity and equidistant of the hyperspace system and the basicspace system via Furstenberg fami1ies.

hyperspace system；Furstenberg fami1y；equicontinuity；equidistant

O189.11

A

1008-8423（2016）02-0137-03

10.13501/j.cnki.42-1569/n.2016.06.005

2016-05-18.

國家自然科學基金項目（11471061）；重慶市研究生科研創(chuàng)新項目（CYS16149）.

但建軍（1988-），男，碩士生，主要從事拓撲動力系統(tǒng)的研究.