數(shù)學(xué)“難”題教學(xué)的化“易”過程

呂燕飛

【摘 要】從四個(gè)方面闡述數(shù)學(xué)“難題”教學(xué)的化“易”方法：引入具體感性材料，有效降低教學(xué)難度；劃分若干教學(xué)層次，有效降低教學(xué)難度；提煉普遍思想方法，有效降低教學(xué)難度；科學(xué)設(shè)計(jì)課后練習(xí)，有效降低教學(xué)難度。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué) “難”題化“易” 感性材料 教學(xué)層次 思想方法 設(shè)計(jì)練習(xí)

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2016）01B-0110-02

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)進(jìn)入高中階段之后，知識(shí)內(nèi)容的難度明顯提升了。這給教學(xué)活動(dòng)的高效開展帶來了挑戰(zhàn)，也被學(xué)生所感知，使其學(xué)習(xí)心理產(chǎn)生了一定變化。很多學(xué)生進(jìn)入高中學(xué)習(xí)后，沒有做好學(xué)習(xí)狀態(tài)的轉(zhuǎn)化與銜接，導(dǎo)致對(duì)新的知識(shí)結(jié)構(gòu)與難度級(jí)別很不適應(yīng)，學(xué)習(xí)效果欠佳，最終對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生畏懼，甚至是厭惡的心理。這嚴(yán)重阻礙高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)效的提升。因此，教師有必要尋找一些合理的方式，在不改變預(yù)設(shè)教學(xué)內(nèi)容的前提下降低教學(xué)難度，為學(xué)生的知識(shí)學(xué)習(xí)降低門檻鋪平道路。

一、引入具體感性材料，有效降低教學(xué)難度

學(xué)生對(duì)某個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)難度的感知，往往是從第一次接觸到這個(gè)知識(shí)內(nèi)容的時(shí)候便開始了。正如同一個(gè)人給大家留下的第一印象，會(huì)在很大程度上影響人們對(duì)他的看法一樣。如果學(xué)生在剛剛開始和一個(gè)知識(shí)打交道時(shí)便感到很困難，接下來要想輕松地學(xué)習(xí)也就無從談起了。因此，降低高中數(shù)學(xué)教學(xué)難度的第一步，就是在知識(shí)內(nèi)容的引入階段降低難度，以學(xué)生喜聞樂見并容易接受的方式將其呈現(xiàn)出來。

例如，在對(duì)指數(shù)函數(shù)的內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)時(shí)，筆者先向?qū)W生引入了這樣一個(gè)實(shí)際情景。已知，一張白紙的厚度是0.1毫米，將它反復(fù)對(duì)折15次之后，其厚度可以超過一個(gè)身高2米的人！對(duì)于這個(gè)判斷，學(xué)生都表示難以置信。于是，筆者帶領(lǐng)大家依據(jù)題意列出算式：將白紙對(duì)折一次的厚度是 0.1×2=0.2（毫米），對(duì)折兩次的厚度是 0.1×22=0.4（毫米），對(duì)折到第十五此時(shí)，其厚度便應(yīng)該是 0.1×215。通過計(jì)算器輔助計(jì)算，最終結(jié)果竟然是 3276.8毫米！這個(gè)出人意料的結(jié)果讓學(xué)生非常直接地從感性上對(duì)指數(shù)函數(shù)y=ax的形式與內(nèi)涵都進(jìn)行了初步感知，為全面教學(xué)提供了一個(gè)很好的開端。

將知識(shí)內(nèi)容的呈現(xiàn)難度降低的方式多種多樣，上述案例所闡述的是通過引入具體感性材料的方式來降低教學(xué)難度。所謂感性材料，就是與抽象的概念理論相對(duì)的，能被大家實(shí)際感知到的事物。具體感性材料的運(yùn)用，能夠很好地將看似遙不可及的數(shù)學(xué)知識(shí)變得觸手可及，大大縮短抽象理論與現(xiàn)實(shí)生活之間的距離，讓知識(shí)內(nèi)容具體化、實(shí)際化。這樣一來，學(xué)生在初次接受知識(shí)內(nèi)容時(shí)，便不會(huì)被晦澀的理論語言嚇到。入門難度降低了，下面的教學(xué)開展自然順利很多。

二、劃分若干教學(xué)層次，有效降低教學(xué)難度

同樣的教學(xué)內(nèi)容，以不同的形式在課堂上予以呈現(xiàn)，所體現(xiàn)出的教學(xué)難度是具有較大差異的。也就是說，教師需要通過變換知識(shí)的展現(xiàn)與推進(jìn)方式，來改善學(xué)生在面對(duì)知識(shí)內(nèi)容時(shí)的心理狀態(tài)和對(duì)難易程度的實(shí)際感受。筆者在實(shí)際教學(xué)過程當(dāng)中，對(duì)引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)畏難情緒的原因進(jìn)行了深入分析，最終發(fā)現(xiàn)，最為根本的因素還是在于教學(xué)內(nèi)容的難度提升過于突兀，學(xué)生從心理上來不及適應(yīng)。因此，想要降低教學(xué)難度，就要把重點(diǎn)放在縮短知識(shí)難度臺(tái)階的高度上。較為理想的方式就是將教學(xué)內(nèi)容劃分難度梯度逐一呈現(xiàn)。

例如，在學(xué)習(xí)平面幾何知識(shí)時(shí)，筆者曾經(jīng)向?qū)W生提出過這樣一個(gè)問題：已知橢圓的左焦點(diǎn)是F（-c，0），離心率是 ，點(diǎn)M在橢圓上且位于第一象限，直線 FM被圓所截得的線段長度是 c，。那么，設(shè)動(dòng)點(diǎn) P 在該橢圓上，若直線 PF 的斜率大于，則直線 OP（O是原點(diǎn)）的斜率的取值范圍如何？這個(gè)問題對(duì)于學(xué)生來講的難度著實(shí)不小，大家一時(shí)間不知該從何方向切入思考。于是，筆者請(qǐng)大家在解答這個(gè)問題前，先嘗試分別求出直線 FM 的斜率以及橢圓的方程。這個(gè)簡單的提示，將求解本題的求解難度大大降低了，前兩個(gè)問題就像是為學(xué)生所搭建起來的突破難度的解題平臺(tái)，讓大家得以在求解中得到啟發(fā)，為最終的最高難度問題的思考提供支撐。

當(dāng)我們想要登上一個(gè)很高的地方時(shí)，可以借助臺(tái)階，將一個(gè)較大的高度分為幾個(gè)小高度分步完成。接連邁幾個(gè)高度適中的臺(tái)階，其難度遠(yuǎn)遠(yuǎn)要比一下子邁上一個(gè)能力范圍以外的高度要輕松多了，同樣是達(dá)到了相等的高度，效率卻提高了很多。劃分難度層次進(jìn)行課堂教學(xué)，正是運(yùn)用了這個(gè)道理。與其要求學(xué)生一步到位去接受難度很大的知識(shí)內(nèi)容，不如將較高的難度進(jìn)行分割。分層次予以接受，學(xué)生的思維壓力自然減輕很多，教學(xué)效果也就隨之提升了。

三、提煉普遍思想方法，有效降低教學(xué)難度

高中階段出現(xiàn)的很多難題，其主要難在學(xué)生缺乏對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的掌握。從具體知識(shí)內(nèi)容當(dāng)中尋找思想方法的影子，并將之抽象提煉出來，形成針對(duì)某一類問題的解答方式，是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)區(qū)別于從前的一大特點(diǎn)。也就是說，想要把高中數(shù)學(xué)學(xué)好，重點(diǎn)在對(duì)思想方法的宏觀把握上，這也是降低解題難度的關(guān)鍵。掌握了方法，以之調(diào)控整個(gè)思維發(fā)展，再復(fù)雜的題目都可以得出清晰的思路，反之，學(xué)生會(huì)被大量的知識(shí)內(nèi)容擾亂思路，導(dǎo)致解題無從下手。

例如，在對(duì)線性規(guī)劃的內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)時(shí)，筆者并沒有直接告知學(xué)生應(yīng)當(dāng)如何解決相關(guān)問題，而是先請(qǐng)學(xué)生嘗試解答一道比較典型的題目：

已知，變量 x，y 滿足約束條件，那么，z=2x-y 的最小值是多少？

很多學(xué)生看到這個(gè)問題毫無解答思路。于是，筆者不斷啟發(fā)學(xué)生結(jié)合不等式的含義，嘗試將已知條件在平面直角坐標(biāo)系當(dāng)中予以體現(xiàn)。大家開始大膽以圖形的方式對(duì)題目條件展開“翻譯”，最終成功找到了 z=2x-y 所代表的區(qū)域（如圖1所示）。在這部分內(nèi)容的教學(xué)過程中，之所以花時(shí)間讓學(xué)生親身來感受，不僅為了教會(huì)大家解答線性規(guī)劃問題本身，而是將數(shù)形結(jié)合的重要思想植根于學(xué)生頭腦當(dāng)中。這種思想方法將是學(xué)生日后學(xué)習(xí)解題的有力武器，具有普遍的適用意義。

在以前的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生的學(xué)習(xí)重點(diǎn)始終集中在對(duì)一個(gè)個(gè)具體知識(shí)點(diǎn)的理解上，很少將其上升到系統(tǒng)方法的高度上。對(duì)普遍思想方法的提煉，實(shí)現(xiàn)了高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思維科學(xué)高效的升華。在這個(gè)過程中，教師需要起到積極的引導(dǎo)啟發(fā)作用，幫助學(xué)生找到方法提煉的訣竅，得以自主降低問題解答的難度。

四、科學(xué)設(shè)計(jì)課后練習(xí)，有效降低教學(xué)難度

每次知識(shí)教學(xué)完成之后，課后練習(xí)都是必不可少的一個(gè)環(huán)節(jié)。這不僅是鞏固所學(xué)知識(shí)的有效途徑，而且更是降低教學(xué)難度的有力輔助。筆者通過加強(qiáng)對(duì)課后練習(xí)的科學(xué)設(shè)計(jì)，讓學(xué)生在完成作業(yè)的過程中，更加靈活、深刻地理解了知識(shí)。有此作為基礎(chǔ)，相關(guān)教學(xué)開展的難度自然得到降低。

例如，筆者曾經(jīng)在課后作業(yè)中為學(xué)生布置了這樣一道練習(xí)題：已知，實(shí)數(shù)x，y 滿足，那么，x的取值范圍是什么？這道題目看似簡單，但其解答過程當(dāng)中卻實(shí)現(xiàn)了多種知識(shí)方法的結(jié)合。學(xué)生需要先令，對(duì)已知條件進(jìn)行換元，通過化簡變換最終得出的結(jié)論。隨后，還需要以此得出，點(diǎn)（a，b）的軌跡是以（1，2）為圓心，為半徑的圓在 a，b≥0 的部分（如圖2）。由此，題目所求可以根據(jù)圖象所示順利得出。一道作業(yè)題中，卻同時(shí)包含了對(duì)學(xué)生多種知識(shí)內(nèi)容與解題方法的考察。對(duì)這道題的理解與把握，無疑是對(duì)既有所學(xué)的深入推進(jìn)。

在設(shè)計(jì)課后練習(xí)時(shí)，筆者經(jīng)常會(huì)有意識(shí)地將習(xí)題形式進(jìn)行創(chuàng)新設(shè)計(jì)，盡可能地讓知識(shí)練習(xí)密度增加，節(jié)約練習(xí)時(shí)間。同時(shí)將練習(xí)內(nèi)容設(shè)計(jì)得靈活且有深度，讓大家在最少的作業(yè)中得到最大的能力提升。堅(jiān)實(shí)的知識(shí)基礎(chǔ)是順利學(xué)習(xí)的根本驅(qū)動(dòng)力。以作業(yè)的途徑為隨后新知識(shí)的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)，對(duì)于降低整個(gè)教學(xué)過程的難度來講是很有必要的。

不少師生認(rèn)為，高中階段數(shù)學(xué)教學(xué)難度的提升是由知識(shí)內(nèi)容本身的難易程度決定的，只要按照計(jì)劃內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)，就沒辦法左右這個(gè)難度。實(shí)則不然。經(jīng)過長時(shí)間的教學(xué)實(shí)踐后發(fā)現(xiàn)，決定教學(xué)難度的因素除了知識(shí)內(nèi)容本身之外，還有教師的教學(xué)方法。通過采取科學(xué)巧妙的方式，將知識(shí)內(nèi)容生動(dòng)靈活、循序漸進(jìn)地呈現(xiàn)出來，并由教師及時(shí)點(diǎn)撥，對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行升華與鞏固。學(xué)生在接受知識(shí)的過程中感到順利很多的同時(shí)，還能夠很快站在更高的學(xué)習(xí)視角上看待知識(shí)內(nèi)容，實(shí)現(xiàn)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的優(yōu)質(zhì)和高效。這種教學(xué)思路不僅適用于某一道難題的解答，而且更應(yīng)當(dāng)將之普及于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過程里，讓學(xué)生得以在最低的思維難度中最好地掌握知識(shí)。

（責(zé)編 盧建龍）