數(shù)學史融入定積分概念的教學案例

于金青 鄧 碩

（1.石家莊郵電職業(yè)技術學院基礎部，河北 石家莊050021；2.河北地質大學數(shù)理學院，河北 石家莊050031）

數(shù)學史融入定積分概念的教學案例

于金青1鄧 碩2

（1.石家莊郵電職業(yè)技術學院基礎部，河北 石家莊050021；2.河北地質大學數(shù)理學院，河北 石家莊050031）

定積分是高等數(shù)學中一個非常重要的工具，能否把握定積分的思想直接影響后期定積分的應用。本文將數(shù)學史融入到定積分概念的教學中，設計具體的教學方案，使得學生能夠理解其中所體現(xiàn)的數(shù)學思想，方便以后的應用。

定積分；分割；近似；求和；取極限

16、17世紀，天文學、光學的發(fā)展，航海的需要，礦山的開發(fā)，火藥、槍炮的制作提出了一系列物理和數(shù)學問題[1]。例如面積和變速直線運動的路程，當時直線形的面積不難求出，但曲線圍成的面積就比較困難，如行星的矢徑掃過的面積，同樣，勻速直線運動的路程容易求出，而變速直線運動的路程不易求出?！盁o限細分、無限求和”的積分思想在古代就已經(jīng)萌芽，最早可以追溯到希臘由阿基米德等人提出的計算面積和體積的方法。后來也逐步得到了一系列求面積（積分）的重要結果，但這些結果都是孤立的、不連貫的[2]。直到17世紀，牛頓和萊布尼茲在許多數(shù)學家工作的基礎上和科學積累的基礎上發(fā)現(xiàn)了微分與積分互為逆運算，從而創(chuàng)立了微積分。

在講授定積分概念時，結合數(shù)學史，用當時求面積和路程的方法求曲邊梯形的面積和變速運動的路程[3]，從而引入定積分的概念。

1 具體問題

1．1 曲邊梯形的面積

先介紹曲邊梯形的數(shù)學定義：由連續(xù)曲線y=f（x）（f（x）≥0）、x軸與兩條直線x=a、x=b所圍成的圖形是曲邊梯形。接下來舉一個具體的例子：由連續(xù)曲線y=x2、x軸與兩條直線x=0、x=1所圍成的曲邊梯形。

當時人們并沒有像現(xiàn)在這樣的定積分工具，就無法套用現(xiàn)成的面積公式求出精確值。那么如何求由連續(xù)曲線y=x2、x軸與兩條直線x= 0、x=1所圍成的曲邊梯形的面積？沒有現(xiàn)成的公式，那么能否退一步，先求出它的近似值？當時可以用的公式是矩形的面積公式，是否可以用矩形近似表示曲邊梯形呢？整個的曲邊梯形不能用矩形近似表示，那么就把曲邊梯形切分。

具體來說，當時的人們是按照下面的步驟進行求解的。

分割：

對于上面給的具體的曲邊梯形，在區(qū)間[0,1]內插入n個等分點0==1，這樣就把區(qū)間[0，1]分成了n個小區(qū)間每個小區(qū)間的長度為，從而曲邊梯形分成了n個小窄曲邊梯形

近似：

求和：

曲邊梯形面積的近似值為：

接下來，用多媒體展示當分割無限加細時，矩形面積的和無限接近曲邊梯形面積的精確值。也就是說當n無限增大時，近似值就無限接近于精確值，這正好就是極限概念的敘述。因此要想得到精確值，就得對近似值求極限。

取極限：

因此，曲邊梯形面積的精確值為：

1.2 變速運動的路程

設某物體作直線運動，已知速度v=v（t）=t2+2是時間間隔[0，1]上t的一個連續(xù)函數(shù)，求物體在這段時間內所經(jīng)過的路程s。

同樣，當時人們并沒有像現(xiàn)在這樣的定積分工具，無法套用現(xiàn)成的公式求出精確值。那么能否退一步，先求出它的近似值？當時可以用的是勻速直線運動的路程公式，是否可以用勻速運動近似表示變速運動呢？整個的變速運動的路程不能用勻速運動的路程近似表示，那么就把變速運動的路程切分。

具體來說，當時的人們是按照下面的步驟進行求解的。

分割：

對于上面給的具體的變速運動，在區(qū)間[0,1]內插入n個等分點，=1，這樣就把區(qū)間[0,1]分成了n個小區(qū)間每個小區(qū)間的長度為，從而變速運動的路程分成了n個變速運動的路程

近似：

求和：

變速運動路程的近似值為：

當n無限增大時，近似值就無限接近于精確值，即：近似值的極限就是精確值。

取極限：

因此，變速直線運動的路程的精確值為：

2 一般問題

2.1 一般曲邊梯形面積的求法

分割：

針對一般的曲邊梯形，在區(qū)間[a,b]內插入n個等分點，a=a+=b，這樣就把區(qū)間[a,b]分成了n個小區(qū)間每個小區(qū)間的長度為，從而曲邊梯形分成了n個小窄曲邊梯形

近似：

求和：

曲邊梯形面積的近似值為：

同樣，當n無限增大時，近似值就無限接近于精確值，這正好就是極限概念的敘述。因此要想得到精確值，就得對近似值求極限。

取極限：

2.2 一般的變速直線運動路程的求法

設某物體作直線運動，已知速度v=v（t）是時間間隔[T1，T2]上t的一個連續(xù)函數(shù)，求物體在這段時間內所經(jīng)過的路程s。

分割：

針對一般的變速運動的路程，在區(qū)間[T1，T2]內插入n個等分點，，這樣就把區(qū)間[T1，T2]分成了 n個小區(qū)間每個小區(qū)間的長度為△ti=，從而變速運動的路程分成了n個變速運動的路程

近似：

求和：

變速運動路程的近似值為：

同樣，當n無限增大時，近似值就無限接近于精確值。因此要想得到精確值，就得對近似值求極限。

取極限：

3 定積分的概念

很多問題都與上述兩個問題存在著共同之處：解決問題的方法步驟相同，所求量的極限結構式相同。這樣就逐漸產生了定積分的一般概念：假設f（x）在[a，b]上有界，分割[a，b]：a=x0＜x1＜x2＜…＜xn=b，（n=2,3,…），其中（i=1，2，3，…，n）.在每個小區(qū)間[xi-1，xi]任取一點ξi，構造和式，如果當n→∞時，下述極限存則f（x）稱在[a，b]上的積分存在，并稱這個極限值為f（x）在[a，b]上的定積分。記為：

可以看出，上述定積分的定義與現(xiàn)行教科書中的定義不一樣。定積分概念有兩個任意，實際上，可以將區(qū)間分割方式的任意性要求取消，改為對區(qū)間進行等分[4]。事實上，上述定義與現(xiàn)行教科書中的黎曼積分定義是等價的。

［1］李文林．數(shù)學史概論(第二版)[M]．高等教育出版社，2003.

［2］[美]莫里斯·克萊因．古今數(shù)學思想（第二冊）[M]．上海科學技術出版社,2009．

［3］[美]H.伊夫斯.數(shù)學史概論[M]．歐陽絳,譯．山西經(jīng)濟出版社，1993.

［4］郭鏡明,韓云瑞,張棟恩．美國微積分教材精粹選編[M].高等教育出版社，2012．

［責任編輯：李書培］

2.2.1 參數(shù)的動態(tài)顯示

模擬量使用動態(tài)棒圖顯示，當參數(shù)超過高限或低于底限時相應的指示燈亮同時發(fā)出聲音報警信號，開關量使用指示燈表示，紅色表示斷開，綠色表示接通。

2．2．2 通信操作部分

“接收”按鈕完成參數(shù)的手動接收，通信操作通過下拉菜單選擇通信使用的串口號，通信狀態(tài)CD、DTR用來顯示單片機和上位機是否準備就緒。

3 結束語

本文通過CH341USB轉串口功能完成了USB接口標準下的數(shù)據(jù)采集，基于USB接口的數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)由于具有使用簡單、即插即用、開放性、高速、穩(wěn)定、可靠性高等優(yōu)點，因此特別適用于儀器儀表、虛擬儀器、數(shù)據(jù)采集、數(shù)據(jù)采集設備和監(jiān)控設備等場合。

【參考文獻】

［1］胡漢才.單片機原理及其接口技術[M].北京:清華大學出版社,1996.48-95.

［2］曹桂琴.數(shù)據(jù)采集基礎[M].大連:大連理工大學出版社,2002:39-41.

［3］葉玉明,姚伯威,彭偉.基于USB總線數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)研究[J].中國測試技術報, 2003(1):7-8.

［責任編輯：李書培］

于金青（1976—），女，河北石家莊人，石家莊郵電職業(yè)技術學院基礎部，講師，研究方向為近現(xiàn)代數(shù)學史。

鄧碩（1987—），女，河北石家莊人，河北地質大學數(shù)理學院，助教，研究方向為代數(shù)編碼理論。