線陣衛(wèi)星遙感影像外方位元素對(duì)偶四元數(shù)求解法

余岸竹，姜　挺，龔　輝，郭文月，江剛武

1. 信息工程大學(xué)地理空間信息學(xué)院，河南 鄭州 450052； 2. 西安測(cè)繪研究所，陜西 西安 710054

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線陣衛(wèi)星遙感影像外方位元素對(duì)偶四元數(shù)求解法

余岸竹1，姜挺1，龔輝2，郭文月1，江剛武1

1. 信息工程大學(xué)地理空間信息學(xué)院，河南 鄭州 450052； 2. 西安測(cè)繪研究所，陜西 西安 710054

Foundation support： The National Natural Science Foundation of China (Nos.41201477;41471387;41301526)

摘要：基于對(duì)偶四元數(shù)可統(tǒng)一描述位置與姿態(tài)的特點(diǎn)，提出了利用對(duì)偶四元數(shù)求解線陣衛(wèi)星遙感影像外方位元素的方法。該方法使用對(duì)偶四元數(shù)的實(shí)部描述傳感器的姿態(tài)，并利用對(duì)偶部和實(shí)部共同描述成像傳感器的位置。通過對(duì)位置和姿態(tài)的內(nèi)插建立了基于對(duì)偶四元數(shù)的外方位元素模型。為減少運(yùn)算，將球面線性插值進(jìn)行化簡(jiǎn)，進(jìn)而建立了基于線性插值的成像幾何模型。為求解外方位元素，首先對(duì)共線條件方程進(jìn)行了線性化，然后通過矩陣微分運(yùn)算推導(dǎo)了線元素的虛擬觀測(cè)方程，并根據(jù)誤差傳播定律確定其權(quán)值，最終采用具有約束條件的參數(shù)平差法求解外方位元素。試驗(yàn)結(jié)果表明本文方法正確可靠，與采用歐拉角和單位四元數(shù)的外方位元素求解方法相比，有更高的參數(shù)解算精度，同時(shí)也表明了準(zhǔn)確的初值和虛擬觀測(cè)方程對(duì)外方位元素求解的必要性。

關(guān)鍵詞：對(duì)偶四元數(shù)；線陣遙感影像；虛擬觀測(cè)方程；外方位元素；單位四元數(shù)

空間后方交會(huì)是衛(wèi)星攝影測(cè)量幾何處理中的重要環(huán)節(jié)，是衛(wèi)星遙感影像幾何定位、區(qū)域網(wǎng)平差和自檢校光束法平差等計(jì)算的關(guān)鍵步驟，其基本思想是利用合適的外方位元素模型描述成像傳感器的位置與姿態(tài)，建立線陣影像的成像幾何模型，對(duì)共線條件方程進(jìn)行線性化后迭代求解外方位元素。當(dāng)前，大多數(shù)衛(wèi)星采用線陣CCD傳感器成像，傳感器在一定時(shí)間內(nèi)的外方位元素通常被描述為某一成像行關(guān)于時(shí)間的多項(xiàng)式函數(shù)形式[1-3]，或者若干離散成像時(shí)刻外方位元素的插值形式[4-6]。對(duì)于運(yùn)行比較平穩(wěn)的衛(wèi)星，這兩類模型均可較好地描述成像傳感器的成像位置與姿態(tài)，參數(shù)之間的相關(guān)性成為影響后方交會(huì)精度的主要因素，其成因是線陣傳感器的焦距較大、CCD線陣較短，使得成像時(shí)刻傳感器的瞬時(shí)視場(chǎng)角較小，共線條件方程經(jīng)線性化后產(chǎn)生了線元素和角元素的相關(guān)。

為了解決此類問題，學(xué)者們?cè)噲D從方程解算方法和外方位元素建模這兩個(gè)方面來提高外方位元素的求解精度與穩(wěn)定性。在方程解算方面，文獻(xiàn)[7]使用廣義嶺估計(jì)法求解外方位元素；文獻(xiàn)[8]采用嶺-壓縮組合估計(jì)的方法進(jìn)行了參數(shù)解算；文獻(xiàn)[9—10]對(duì)虛擬觀測(cè)方程中權(quán)值的確定進(jìn)行了改進(jìn)。以上文獻(xiàn)中均利用歐拉角描述角元素，因而這些算法僅能提高參數(shù)解算的精度，卻無法消除或者降低參數(shù)之間的相關(guān)性。在外方位元素建模方面，文獻(xiàn)[11]使用姿態(tài)四元數(shù)代替了歐拉角，建立了基于四元數(shù)球面線性(spherical linear interpolation,SLERP)的線陣影像外方位元素模型，實(shí)現(xiàn)了外方位元素的高精度解算；文獻(xiàn)[12]利用四元數(shù)微分理論，提出了一種基于四元數(shù)微分方程(quaternion differential equation,QDE)的外方位元素模型，使用Tikhonov正則化法進(jìn)一步提高了外方位元素求解的精度；文獻(xiàn)[13]利用信噪比定量比較了各種四元數(shù)外方位元素模型在參數(shù)求解中的差異。雖然利用四元數(shù)可以有效降低參數(shù)之間的相關(guān)性，但仍是將平移與旋轉(zhuǎn)分開考慮，位置與姿態(tài)之間沒有嚴(yán)格的約束條件。

近些年，部分學(xué)者引入對(duì)偶四元數(shù)對(duì)外方位元素進(jìn)行描述，利用其同時(shí)描述平移與旋轉(zhuǎn)的特性，已在遙感影像幾何處理中取得了初步的成果：文獻(xiàn)[14]利用對(duì)偶四元數(shù)實(shí)現(xiàn)了面陣影像的空間后方交會(huì)；文獻(xiàn)[15]驗(yàn)證了對(duì)偶四元數(shù)在區(qū)域網(wǎng)平差求解中的優(yōu)勢(shì)；文獻(xiàn)[16]利用對(duì)偶四元數(shù)進(jìn)行了面陣影像的直接定向；文獻(xiàn)[17]利用線性蒙皮混合算法進(jìn)行外方位元素建模，提高了GeoEye-1衛(wèi)星遙感影像的立體定位結(jié)果，但是該衛(wèi)星隱藏了定軌和定姿數(shù)據(jù)，因而該文獻(xiàn)未研究定軌、定姿數(shù)據(jù)在后方交會(huì)中的應(yīng)用，難以保證迭代在真值附近進(jìn)行。

實(shí)際上，線陣衛(wèi)星遙感影像的后方交會(huì)計(jì)算依賴于未知數(shù)的初值[18]，應(yīng)當(dāng)在外方位元素準(zhǔn)確建模的基礎(chǔ)上，充分利用衛(wèi)星定軌、定姿設(shè)備的觀測(cè)結(jié)果，準(zhǔn)確給定各類觀測(cè)方程的權(quán)值[19]，才能確保外方位元素的正確求解。本文試圖利用對(duì)偶四元數(shù)同時(shí)描述成像傳感器的位置和姿態(tài)，引入虛擬觀測(cè)方程，進(jìn)一步提高外方位元素的求解精度。

1對(duì)偶四元數(shù)

對(duì)偶四元數(shù)由單位四元數(shù)和對(duì)偶數(shù)理論發(fā)展起來，其定義為

q=r+εs

(1)

(2)

因此對(duì)偶四元數(shù)中僅有6個(gè)自由度，與平移和旋轉(zhuǎn)未知數(shù)的數(shù)量相同。利用對(duì)偶四元數(shù)的性質(zhì)[20]，旋轉(zhuǎn)矩陣R與平移矢量t可利用對(duì)偶四元數(shù)的實(shí)部與對(duì)偶部分別表示為[16]

(3)

(4)

(5)

式(5)與單位四元數(shù)[11]所構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)矩陣是一樣的。同理可知，平移矢量t的具體表達(dá)式為

2Trs=t

(6)

式中，(XS,YS,ZS)T為平移矢量的3個(gè)分量，在傳統(tǒng)攝影測(cè)量中表示線元素。當(dāng)線元素和姿態(tài)歐拉角已知時(shí)，對(duì)偶四元數(shù)實(shí)部r可按歐拉角計(jì)算單位四元數(shù)的方法確定[21]，對(duì)偶部s可由利用矢量t和r計(jì)算為

(7)

由式(5)和式(6)可知，兩個(gè)坐標(biāo)系之間的旋轉(zhuǎn)矩陣R可以用由對(duì)偶四元數(shù)的實(shí)部r計(jì)算得到，坐標(biāo)系原點(diǎn)之間的平移矢量t可由實(shí)部r與對(duì)偶s共同計(jì)算得到，因而利用對(duì)偶四元數(shù)建立線陣影像的外方位元素模型是可行的。

2基于對(duì)偶四元數(shù)的外方位元素求解

2.1基于對(duì)偶四元數(shù)的成像幾何模型

設(shè)q1=r1+εs1和q2=r2+εs2分別為影像首行和末行外方位元素所對(duì)應(yīng)的對(duì)偶四元數(shù)，rk=[r0krxkrykrzk]T與sk=[s0ksxksykszk]T(k=1,2)分別表示影像首行和末行外方位元素的實(shí)部和對(duì)偶部。在衛(wèi)星成像過程中，衛(wèi)星的位置和姿態(tài)變化比較平穩(wěn)，可利用低階插值計(jì)算第i個(gè)成像行的外方位元素為

(8)

式中，pt=i/n，n為首末兩行之間成像行的數(shù)量；t1與t2分別表示首末兩行的外方位線元素；C1和C2為四元數(shù)的插值系數(shù)。為了實(shí)現(xiàn)四元數(shù)在插值時(shí)角度勻速變化[6,11]，通常采用四元數(shù)球面線性插值，即

顯然球面插值會(huì)導(dǎo)致C1和C2中包含三角函數(shù)與反三角函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算，使得線性化求解外方位元素的表達(dá)式過于復(fù)雜。由于衛(wèi)星平臺(tái)運(yùn)行較為平穩(wěn)，首末兩行的姿態(tài)四元數(shù)差異很小，因而θ→0+，sinθ與θ是等價(jià)無窮小，此時(shí)插值系數(shù)可化簡(jiǎn)為

(9)

式(9)表明，當(dāng)衛(wèi)星運(yùn)行比較平穩(wěn)，兩成像行的成像間隔不太長(zhǎng)時(shí)，可利用線性插值代替球面線性插值計(jì)算任意成像行的姿態(tài)。本文將利用式(9)所示的線性表達(dá)式構(gòu)建的外方位元素模型稱為線性插值的對(duì)偶四元數(shù)模型(linear interpolation based dual quaternion model,LDQ)，將利用球面線性插值構(gòu)建的外方位元素模型稱為球面線性插值的對(duì)偶四元數(shù)模型(SLERP based dual quaternion model,SDQ)。

本文以LDQ模型為例推導(dǎo)求解外方位元素的誤差方程式。不考慮主點(diǎn)偏移與焦距變化時(shí)，第個(gè)成像行的瞬時(shí)構(gòu)像方程可以寫成

(10)

式中，f為相機(jī)焦距；(X,Y)為像點(diǎn)坐標(biāo)，可利用傳感器沿軌道方向的指向角ψX和垂直于軌道方向的指向角ψY表示為(-ftanψY,ftanψX)；系數(shù)aji、bij、cji(j=1,2,3)為該行對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矩陣中的元素，可內(nèi)插計(jì)算ri后，由式(5)計(jì)算旋轉(zhuǎn)矩陣得到；ti=[XsiYsiZsi]T是成像行攝影中心在物方坐標(biāo)系內(nèi)的坐標(biāo)，可由式(6)和式(8)聯(lián)立計(jì)算得到。式(10)即為利用LDQ模型構(gòu)建的線陣影像成像幾何方程。

為求解外方位元素，將式(10)在初值處展開至一次項(xiàng)，可得誤差方程為

(11)

(12)

誤差方程(11)的矩陣形式為

V=CX-lE

(13)

此外，影像首行和末行對(duì)應(yīng)的對(duì)偶四元數(shù)均滿足式(2)，對(duì)該式進(jìn)行線性化并寫成矩陣形式可得

BX+W=0

(14)

式中

誤差方程(13)與條件方程(14)構(gòu)成了外方位元素計(jì)算的基本平差模型。

2.2對(duì)偶四元數(shù)虛擬觀測(cè)方程的建立

虛擬觀測(cè)方程在攝影測(cè)量中有很高的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，在線陣影像的后方交會(huì)和光束法平差中被廣泛采用。由于該方法可以將外方位元素的改正數(shù)限制在一個(gè)合理的范圍內(nèi)，因而于有偏估計(jì)這種方法更為嚴(yán)密[18]。當(dāng)前大多數(shù)衛(wèi)星可以提供高精度的定軌數(shù)據(jù)，而定姿數(shù)據(jù)通常含有系統(tǒng)誤差，且誤差的構(gòu)成較為復(fù)雜[22]。本文僅對(duì)線元素設(shè)置虛擬觀測(cè)方程，適當(dāng)放寬姿態(tài)改正數(shù)的限制。

對(duì)式(6)求微分可得

dt=2×[MrMs]X

(15)

式中，Mr和Ms的表達(dá)式分別為

對(duì)線元素增設(shè)的虛擬觀測(cè)方程可表示為

(16)

式中，PM為虛擬觀測(cè)方程的權(quán)矩陣。本文在迭代過程中動(dòng)態(tài)調(diào)整權(quán)值[18]，即先利用驗(yàn)前權(quán)值進(jìn)行預(yù)平差，并進(jìn)行方差分量估計(jì)值，然后計(jì)算第次迭代中參數(shù)di在虛擬觀測(cè)方程中的權(quán)值為

(17)

(18)

利用nG個(gè)地面控制點(diǎn)，按照式(18)總共可以列出2nG+6個(gè)誤差方程和4個(gè)條件方程，應(yīng)有nG≥3。當(dāng)nG<6時(shí)，式(18)實(shí)質(zhì)上是將定軌數(shù)據(jù)作為控制條件參與方程的求解，僅在精確給定初值時(shí)正確收斂，通常情況下應(yīng)有nG≥6。利用約束條件的參數(shù)平差方法可求得改正數(shù)X，通過迭代即可求得利用對(duì)偶四元數(shù)描述的外方位元素值。

3試驗(yàn)與分析

為驗(yàn)證提出方法的正確性與有效性，本文將使用兩組高分辨率衛(wèi)星遙感影像進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)驗(yàn)證。第1組試驗(yàn)數(shù)據(jù)(影像Ⅰ)為河南某地SPOT-5 HRS立體影像，共有13 376條掃描行，每個(gè)掃描行有12 000個(gè)像元，影像內(nèi)包含25個(gè)平面高程控制點(diǎn)(圖1(a))。第2組試驗(yàn)數(shù)據(jù)(影像Ⅱ)為中國(guó)西部某地丘陵地區(qū)的SPOT-5 HRS立體影像，影像內(nèi)共有12 000條掃描行，共包含10個(gè)平高控制點(diǎn)(圖1(b))。

3.1試驗(yàn)1——影像I的外方位元素求解

本試驗(yàn)用于比較對(duì)偶四元數(shù)外方位元素模型、歐拉角外方位模型和單位四元數(shù)外方位元素模型在外方位元素求解中的差異。為了驗(yàn)證式(9)的合理性，本試驗(yàn)還將比較SDQ模型和LDQ

模型在后方交會(huì)計(jì)算中的區(qū)別。試驗(yàn)評(píng)價(jià)指標(biāo)有兩種：一是利用求解出的外方位元素反算地面點(diǎn)的像點(diǎn)坐標(biāo)，并計(jì)算像點(diǎn)重投影誤差的中誤差；二是利用兩張影像的外方位元素進(jìn)行空間前方交會(huì)，計(jì)算三維坐標(biāo)殘差的中誤差。試驗(yàn)中分別采用6、7、14和20個(gè)控制點(diǎn)求解外方位元素。表1和表2為不同控制點(diǎn)數(shù)量時(shí)檢查點(diǎn)的像點(diǎn)坐標(biāo)重投影的中誤差及單位權(quán)方差統(tǒng)計(jì)結(jié)果；表3和表4為求解外方位元素值按空間前方交會(huì)計(jì)算地面點(diǎn)的三維坐標(biāo)，計(jì)算檢查點(diǎn)坐標(biāo)殘差的誤差統(tǒng)計(jì)結(jié)果。

圖1　SPOT-5 HRS影像控制點(diǎn)分布示意圖　Fig.1　Distribution of ground control points for SPOT-5 HRS images

影像控制點(diǎn)數(shù)檢查點(diǎn)數(shù)x/像素y/像素EulerSLERPQDESDQLDQEulerSLERPQDESDQLDQ前視影像6192.7121.7991.7661.7351.7221.5291.5261.4471.5301.5317181.7341.8561.8471.7931.7761.4181.3171.4811.3221.32614112.2021.6671.5981.5181.4691.2561.2571.4521.2611.2622051.1961.3031.2761.2071.1950.7890.7540.7670.7530.752后視影像619不收斂1.5821.4141.5541.538不收斂1.2611.4391.2611.2617181.5761.5171.5361.4951.4811.7681.2381.3351.2381.23814111.6761.6561.4851.6141.5851.5541.4441.4871.4441.4442050.9291.2100.9971.1421.0921.4361.1931.1831.1911.191

注：Euler為利用歐拉角求解外方位元素的算法，SLERP為文獻(xiàn)[11]中利用四元數(shù)球面線性插值求解外方位元素算法，QDE為文獻(xiàn)[12]中的四元數(shù)微分方程算法，下同。

從試驗(yàn)1的結(jié)果可知：

(1) 引入了虛擬觀測(cè)方程后，除6個(gè)點(diǎn)時(shí)Euler算法在后視影像上未能收斂，其余情況下所有算法均可正確收斂。當(dāng)7個(gè)和14個(gè)控制點(diǎn)參與平差時(shí)，Euler算法的立體定位精度較低。主要因?yàn)閭鹘y(tǒng)外方位元素描述中，角元素、線元素之間的相關(guān)性很強(qiáng)，誤差方程系數(shù)矩陣呈現(xiàn)嚴(yán)重病態(tài)。當(dāng)控制點(diǎn)數(shù)量較少時(shí)，方程不能穩(wěn)定求解，使得第1次迭代的改正數(shù)比較大，求解過程未能在初值附近收斂，反而得到臨近區(qū)間的局部最優(yōu)值。這也從側(cè)面表明了合理的初值和虛擬觀測(cè)方程的必要性。

(2) SDQ算法和LDQ算法的立體定位平面精度略高于SLERP算法，三者的高程精度相當(dāng)，僅有厘米級(jí)的差別；在6個(gè)、7個(gè)和14個(gè)控制點(diǎn)參與運(yùn)算時(shí)，三者的立體定位精度均優(yōu)于QDE算法，像點(diǎn)重投影的中誤差相當(dāng)，這表明利用對(duì)偶四元數(shù)描述外方位元素模型正確可靠，且在外方位元素求解中具有一定優(yōu)勢(shì)，主要是因?yàn)閷?duì)偶四元數(shù)的實(shí)部與對(duì)偶部滿足正交關(guān)系，使得r與s之間的相關(guān)性很低，對(duì)參數(shù)求解較為有利。值得注意的是，試驗(yàn)中QDE的計(jì)算精度略低于SLERP算法，這與文獻(xiàn)[13]中結(jié)果有出入，原因是為確保試驗(yàn)變量唯一，本文試驗(yàn)中未使用Tikhonov正則化求解參數(shù)，因而平差結(jié)果有所差異。

(3) SDQ算法和LDQ算法的計(jì)算結(jié)果基本一樣，立體定位的結(jié)果僅有厘米級(jí)的差別，說明利用式(9)簡(jiǎn)化球面線性插值是正確可靠的。同時(shí)，LDQ算法中共線條件方程經(jīng)線性化后的系數(shù)矩陣中不包括三角函數(shù)運(yùn)算，在保證精度的同時(shí)提高了運(yùn)算效率和參數(shù)求解精度，這對(duì)實(shí)際應(yīng)用有重要意義。但是這種近似是有條件的，應(yīng)針對(duì)不同的衛(wèi)星影像和不同成像條件區(qū)分對(duì)待。

(4) 當(dāng)6、7和14個(gè)控制點(diǎn)參與平差解算時(shí)，5種算法立體定位的精度并無明顯提高，直到20個(gè)點(diǎn)參與平差后精度才達(dá)到1個(gè)像元左右。這主要因?yàn)樵囼?yàn)所用控制點(diǎn)均在立體環(huán)境下人工量測(cè)得到，存在一定的辨識(shí)誤差和量測(cè)誤差，并且試驗(yàn)中未針對(duì)系統(tǒng)誤差進(jìn)行處理，欲進(jìn)一步提高立體定位的精度，需要顧及控制點(diǎn)的誤差，引入自檢校參數(shù)進(jìn)行自檢校光束法平差計(jì)算。

表2影像Ⅰ中不同控制點(diǎn)數(shù)量下平面重投影誤差與單位權(quán)方差統(tǒng)計(jì)結(jié)果

Tab.2Statisticsresultofplanerootmeansquareerrorforre-projectionandunitweightvariancewithdifferentnumbersofGCPsforimageⅠ

影像控制點(diǎn)數(shù)檢查點(diǎn)數(shù)平面/像素^σ0/像素EulerSLERPQDESDQLDQEulerSLERPQDESDQLDQ前視影像6193.1142.3592.2832.3132.3040.3912.5732.0070.9940.9657182.2402.2762.3702.2272.2160.4761.8891.5661.1551.13114112.5362.0872.1591.9731.9370.6771.6351.4801.3041.2992051.4331.5051.4891.4231.4120.8771.7621.5651.3741.358后視影像619不收斂2.0232.0182.0021.989不收斂0.9160.8390.5170.5097182.3681.9582.0351.9411.9310.2240.9980.6680.7390.73614112.2852.1972.1012.1652.1440.4411.0510.9200.8710.8602051.7101.6991.5481.6511.6160.4361.6721.2791.1821.163

表3　影像Ⅰ中不同控制點(diǎn)數(shù)量下求解地面三維坐標(biāo)水平方向誤差統(tǒng)計(jì)

表4　影像Ⅰ中不同控制點(diǎn)數(shù)量下求解地面三維坐標(biāo)平面和高程誤差統(tǒng)計(jì)

3.2試驗(yàn)2——影像Ⅱ外方位元素求解

本試驗(yàn)用于比較本文外方位元素模型和文獻(xiàn)[17]中基于線性蒙皮混合的對(duì)偶四元數(shù)外方位元素模型(linear blending dual quaternion model,BDQ)在后方交會(huì)中的區(qū)別。由于文獻(xiàn)[17]在求解外方位元素時(shí)沒有準(zhǔn)確給定初值，且未增設(shè)虛擬觀測(cè)方程，試驗(yàn)中將對(duì)本文方法與原始BDQ算法、賦初值的BDQ算法和賦初值并增設(shè)虛擬觀測(cè)方程的BDQ算法在求解外方位元素時(shí)的差異。分別使用6、7和8個(gè)控制點(diǎn)求解影像Ⅱ的外方位元素并統(tǒng)計(jì)重投影誤差和立體定位精度，結(jié)果見表5。

表5　影像Ⅱ求解外方位元素的重投影誤差和立體定位精度統(tǒng)計(jì)

由試驗(yàn)2的結(jié)果可知：

(1) 當(dāng)沒有準(zhǔn)確給定初值時(shí)，BDQ算法在3次試驗(yàn)中均不能正確收斂。這是因?yàn)榫€陣衛(wèi)星遙感影像定向參數(shù)的求解過程中通常使用地心地固坐標(biāo)系作為物方坐標(biāo)系[9]，像方坐標(biāo)系和物方坐標(biāo)系之間的旋轉(zhuǎn)矩陣不再近似為單位陣。同時(shí)，傳感器的成像姿態(tài)會(huì)隨著星下點(diǎn)經(jīng)度和緯度的不同而變化，應(yīng)由定軌、定姿數(shù)據(jù)給定外方位元素初值。

(2) 加入初值后，BDQ算法在8個(gè)控制點(diǎn)參與運(yùn)算時(shí)可以收斂，但是重投影誤差較大，立體定位的精度較低。在此基礎(chǔ)上引入虛擬觀測(cè)方程后，BDQ算法在各次試驗(yàn)中均正確收斂，重投影誤差和立體定位結(jié)果也有一定的改善，這表明了求解線陣影像外方位元素時(shí)增設(shè)虛擬觀測(cè)方程的必要性。

(3) 準(zhǔn)確給定初值并加入虛擬觀測(cè)方程之后，BDQ算法與本文方法的精度相近，但是本文方法的精度更高，這種精度的差異是由外方位元素模型的區(qū)別引起的。BDQ算法中的使用插值算法是一種近似算法[23]，對(duì)外方位元素的對(duì)偶部進(jìn)行插值，物理意義并不明確；本文方法依據(jù)衛(wèi)星成像時(shí)運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)的特性，對(duì)線元素進(jìn)行插值來構(gòu)建外方位元素模型，具有明確的物理意義，因而在3組試驗(yàn)中重投影和立體定位的精度更高。

4結(jié)論

本文利用對(duì)偶四元數(shù)構(gòu)建的SDQ模型和LDQ模型可實(shí)現(xiàn)線陣衛(wèi)星遙感影像的外方位元素求解。試驗(yàn)結(jié)果表明，相比于利用歐拉角和利用單位四元數(shù)的外方位元素求解方法，本文方法更具優(yōu)勢(shì)；與已有的對(duì)偶四元數(shù)外方位元素求解方法相比，本文的外方位元素模型與平差手段更為合理，是線陣衛(wèi)星遙感影像外方位元素求解的一條新途徑。然而在試驗(yàn)過程中也發(fā)現(xiàn)了本文方法的局限性，控制點(diǎn)的精度和權(quán)初值會(huì)影響平差計(jì)算的結(jié)果，應(yīng)引入抗差估計(jì)等手段進(jìn)一步提高算法的性能。當(dāng)然，欲將對(duì)偶四元數(shù)實(shí)際應(yīng)用到衛(wèi)星遙感影像的幾何處理當(dāng)中，需要進(jìn)行更為深入和系統(tǒng)的研究，如何利用對(duì)偶四元數(shù)進(jìn)行自檢校區(qū)域網(wǎng)平差計(jì)算和構(gòu)建定向片模型等問題，都是今后研究的重點(diǎn)內(nèi)容。

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(責(zé)任編輯：張艷玲)

修回日期： 2015-08-29

Dual Quaternion Method to Solve Exterior Orientation Parameters for Satellite Linear Array Images

YU Anzhu1,JIANG Ting1,GONG Hui2,GUO Wenyue1,JIANG Gangwu1

1. Institute of Surveying and Mapping, Information Engineering University, Zhengzhou 450052,China； 2. Xi’an Research Institute of Surveying and Mapping, Xi’an 710054, China

Abstract：According to the characteristics that dual quaternion can describe the position and orientation simultaneously, a method using dual quaternion to calculate the exterior orientation parameters for satellite linear array images is proposed. In this method the real part of dual quaternion is used to represent attitude of the sensor, and both the real part and the dual part are used to represent the position of the sensor.The model describing exterior parameters is established by interpolating the position and attitude. To reduce calculation, the simplified spherical linear interpolation algorithm is proposed, and the geometric model is established.In order to calculate the exterior parameters, the collinear equation is linearized at first. Then the virtual observation equations for position parameters are deduced according to the theory of matrix derivative, and the weight of the equation is calculated using error propagation principle. The exterior orientation parameters are calculated iteratively using parameter adjustment with constraints at last. Experimental results indicate that the proposed method is reliable and correct, and the precision of parameter estimation is higher than traditional methods using Euler angles or unit quaternion. The necessity of accuracy initial values and virtual observation equations for calculating exterior parameters is also revealed.

Key words：dual quaternion； linear array images;virtual observation equation; exterior orientation parameters; unit quaternion

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金(41201477；41471387；41301526)

中圖分類號(hào)：P236

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1001-1595(2016)02-0186-08

作者簡(jiǎn)介：第一 陳敏(1986—)，男，博士，講師，研究方向?yàn)槎嘣催b感影像處理與分析。

收稿日期：2015-01-20

First author： CHEN Min(1986—)，male，PhD，lecturer，majors in multi-source remote sensing images processing and analysis.

E-mail： minchen@home.swjtu.edu.cn

引文格式：余岸竹，姜挺，龔輝,等.線陣衛(wèi)星遙感影像外方位元素對(duì)偶四元數(shù)求解法[J].測(cè)繪學(xué)報(bào)，2016,45(2)：186-193. DOI:10.11947/j.AGCS.2016.20140643.

YU Anzhu,JIANG Ting,GONG Hui,et al.Dual Quaternion Method to Solve Exterior Orientation Parameters for Satellite Linear Array Images[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2016,45(2):186-193. DOI:10.11947/j.AGCS.2016.20140643.