利用多級弦長彎曲度復函數(shù)構(gòu)建復雜面實體綜合形狀相似度量模型

陳占龍，覃夢嬌，吳　亮，謝　忠

1. 中國地質(zhì)大學(武漢)信息工程學院，湖北 武漢 430074； 2. 地理信息工程國家重點實驗室，陜西 西安 710054

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利用多級弦長彎曲度復函數(shù)構(gòu)建復雜面實體綜合形狀相似度量模型

陳占龍1,2，覃夢嬌1，吳亮1，謝忠1

1. 中國地質(zhì)大學(武漢)信息工程學院，湖北 武漢 430074； 2. 地理信息工程國家重點實驗室，陜西 西安 710054

Foundation support： The National Natural Science Foundation of China (No. 41401443); The National Key Technology Research and Development Program of the Ministry of Science and Technology of China (No. 2011BAH06B04); Open Research Fund of State Key Laboratory of Geography Information Engineering (No.SKLGIE2013-Z-4-1); Open Research Fund of State Key Laboratory of Information Engineering in Surveying, Mapping and Remote Sensing (No. 13I02); Research Funds for the Central Universities Basic Special Projects (No.CUGL130260)

摘要：介紹了一種復雜帶洞面實體空間對象的幾何相似度度量方法。該方法提取面實體的中心距離、輪廓線的多級弦長、彎曲度及凸凹性等特征，構(gòu)造多級彎曲度半徑復函數(shù)對其局部和整體特征進行描述，并通過傅里葉變換得到傅里葉形狀描述子對面實體間的形狀相似性進行度量。同時根據(jù)場景完整度和相似性度量模型計算復雜帶洞多邊形中每個場景的匹配度,利用多級特征完成復雜面實體間的幾何相似性度量。對不同空間復雜度的面實體的幾何相似性的度量試驗表明，該方法簡單可行且不失精度，結(jié)果符合人類認知。

關(guān)鍵詞：復雜帶洞面實體；完整度；多級彎曲度；中心距離

同一地物在不同的數(shù)據(jù)來源中通常存在著差異，如何快速而準確地進行同名實體的識別對于空間數(shù)據(jù)的更新以及對多源、多類型、多尺度空間數(shù)據(jù)的有效集成和融合都有著重要意義[1-3]。近年來，關(guān)于同名實體識別的研究越來越多，也越來越深入，但是大多集中于對相同或相近比例尺中單個實體間的識別，例如文獻[4—8],通過實體圖形的空間位置、形狀、大小等特征構(gòu)建綜合度量模型來對相近比例尺中的實體進行識別和匹配，但是對于復雜結(jié)構(gòu)的空間數(shù)據(jù)匹配并不適用，且在全局檢索中相較于復雜面實體的匹配效率較低。

鑒于實體匹配方法中拓撲匹配和語義匹配的局限性[9-10]，常用幾何匹配的方法來對同名實體進行識別。如今已使用的方法有正切空間形狀描述法、傅里葉變換描述法[11-12]、基于曲率的形狀描述法、矩描述法[13]、小波描述法等，這些方法都取得了較好的效果。然而，正切空間形狀描述法[14-15]在對復雜面實體進行匹配時需要對其提取的特征點進行簡化，可能會導致某些重要局部特征的缺失；基于曲率的形狀描述法只能較好地反映局部特征[16]；小波描述法對起始點具有過度依賴性[17]。而復雜帶洞多邊形相似性度量的關(guān)鍵在于要對幾何圖形的整體和局部特征都能較好地進行描述，且要滿足穩(wěn)健性以及起始點的獨立性。

為此，本文采用一種基于多級弦長彎曲度復函數(shù)的傅里葉形狀描述算子來對實體之間的幾何形狀相似性進行度量。面實體在邊界線上某點兩側(cè)割線的夾角可以很好地反映邊界線在該點的彎曲度，從而達到描述實體外形特征的目的，而多級弦長的引入可以通過調(diào)節(jié)相關(guān)參數(shù)刻畫圖形的整體和局部特征，而轉(zhuǎn)化成向量進行相似性度量可以滿足起始點的獨立性。同時根據(jù)場景完整度和相似性度量模型計算復雜帶洞多邊形中每個場景的匹配度，利用多級特征完成復雜面實體間的幾何相似性度量，對不同空間復雜度的面實體的幾何相似性進行度量。

1復雜面實體

從應(yīng)用的觀點出發(fā)，空間應(yīng)用處理更多的是復合的幾何結(jié)構(gòu)，而不是當前空間數(shù)據(jù)庫系統(tǒng)，空間查詢語言和GIS中常見的簡單點、線、面。開放地理信息聯(lián)盟(OGC)在OGC抽象規(guī)范及地理標記語言GML中提出了簡單要素的幾何結(jié)構(gòu)，對這些被稱為MultiPoint、MultiLineString和MultiPolygon的幾何結(jié)構(gòu)進行了非正式的描述。

復合面狀對象A是由n(n≥1)個區(qū)域組成，這些區(qū)域或分離，或相交于一個或多個邊界點，或帶洞，即A={A1∪A2∪…∪An}，如圖1所示。

圖1　復雜面狀實體AFig.1　Complex geometric objects A

2面實體輪廓的多級弦長彎曲度描述

2.1多級弦長描述

本文采用文獻[5]中提出的多級弦長的概念，將面實體的輪廓表示為一組有序點集:C={Pi=(xi,yi)|i=1,2,…,N}，如圖2所示，選取點P0為起始點，則沿輪廓線逆時針方向所得到的弧P0Pi的長度si可以表示為以Pi為自變量的函數(shù)，從Pi出發(fā)，沿逆時針將C按弧長等分為M個弧段(M>1)。Ht(t=1,2,…，M-1)是對應(yīng)的等分點。連接Pi和Ht可以得到M-1條弦PiH1,PiH2,…,PiHM-1，用Lt(Pi)表示Pi對應(yīng)的第t條弦PiHt的弦長。又由于Pi和si一一對應(yīng)，所以可以將si作為因變量，得到M-1個弦長函數(shù)L1(si),L2(si),…，LM-1(si),這里si∈[0,S],其中S為輪廓線周長。由此，輪廓線可以由自變量si和因變量Lt(si)來描述。對于輪廓線的凸凹性在3.1節(jié)中會詳細描述。

圖2　多級弦長Fig.2　Multilevel chord length

將有序集合A={L1(si),L2(si),…，LM-1(si)}稱之為si的多級弦長函數(shù)，函數(shù)Lt(si)為多級弦長函數(shù)A中的第t級函數(shù)。由于t越小，Lt(si)越能更好地描述輪廓的局部特征，故引入零級弦長的概念，用來更好地描述輪廓線的局部特征。零級弦長的定義如下：將有序點集C={Pi=(xi,yi)|i=0,1,2,…,N}和Pi對應(yīng)的等分點集D={Ht=(xt,yt)|t=1,2,…，M-1}合并為有序點集F={Rj=(xj,yj)|j=1,2,…，M+N-1}，順時針方向、逆時針方向離Pi最鄰近的兩點為Rj1和Rj2，則弦長Rj1Pi、Rj2Pi均記為Pi的零級弦長。

因為平移和旋轉(zhuǎn)并不改變等分點在輪廓線上的相對位置，所以多級弦長函數(shù)滿足旋轉(zhuǎn)和平移的不變性，但是并不滿足縮放不變性，因此用輪廓線的周長S對弧長進行歸一化，用各級弦長的平均值對函數(shù)值進行歸一化，得到的M個弦長函數(shù)滿足平移、旋轉(zhuǎn)和縮放不變的特性。

2.2多邊形輪廓彎曲度

輪廓線的表示方法同3.1節(jié)，此處不再贅述，設(shè)點O為幾何圖形輪廓線的幾何中心點，則

(1)

式中，(xi,yi)為輪廓線上點的坐標。

將輪廓線上任意一點Pi到幾何中心點O的距離稱為輪廓線在該點的中心距離，記為ri，則有

(2)

將Pi沿輪廓線順時針方向和逆時針方向分別掃描弧長為s(s∈[0,S])，其中S為輪廓線周長，得到輪廓線上兩點Pi1、Pi2，記向量PiPi1和向量PiPi2的夾角為θi、θi即稱為輪廓線在Pi處的彎曲度[4]，如圖2所示。θi的計算公式為

(3)

圖3　多級彎曲度Fig.3　Multilevel bending degree

由于僅憑θi的值無法判斷輪廓線在該點的凹凸性，因此，需計算幾何中心點到向量Pi1Pi2的距離h,若ri>h，則輪廓線在該點是外凸的；若ri

圖4　面實體輪廓線彎曲度Fig.4　The bending degree of geometric objects’ boundary line at one point

復數(shù)的幾何形式為z=a+bi，指數(shù)形式為z=reiθ。輪廓線在Pi處的中心距離為ri，第t級彎曲度為θt(t=0,1,2,…,M/2)，由此可得復數(shù)zi=rieiθt。當si改變時，Pi的位置也隨之發(fā)生改變，從而zi也發(fā)生改變，因此，可以設(shè)以si為自變量，以zi為因變量的復函數(shù)Z(si)為多級弦長彎曲度復函數(shù)，為方便理解，將其記為Zt(si)(t=0,1,2,…,M/2)。

2.3多級彎曲度函數(shù)描述能力

圖5　多級彎曲度半徑復函數(shù)描述能力測試Fig.5　The descriptive power test of the multilevel bending radius complex function

上述方法只是對曲線進行大致比較，并沒有對兩面實體的相似程度進行精確計算，為使相似度的度量滿足起始點的獨立性以及采樣點個數(shù)的不一致性，并對面實體間的相似程度進行定量計算，對輪廓線上的點進行等間隔重采樣m個點(近似表達輪廓線，其中m=2j，j是滿足2j>n的最小值)。對每一個Zt(si)進行快速傅里葉變換，公式為

(4)

(5)

S(A,B)=1-Dshape(A,B)

(6)

式中，D(A,B)∈[0,1],S(A,B)∈[0,1]。

3復雜面實體形狀相似度綜合度量模型

3.1復雜面實體的平均相似度

由于復雜面實體由n(n≥1)個區(qū)域組成，為了更加有效地計算復雜面實體的匹配度，引入了幾何特征向量的平均相似度。單個實體間的相似度Si(Ai,Bi)(i=1,2,…,n)，設(shè)Si的權(quán)重為Wi，則可得復雜面實體的平均相似度為

(7)

3.2復雜面實體形狀完整度

當待匹配的兩個復雜面實體An和Bm所包含的實體數(shù)目不相同(即n≠m)時，通過復雜面實體形狀完整度QA和QB來分別表示An和Bm的完整度，則

(8)

(9)

3.3形狀相似性綜合度量模型

(10)

(11)

至此，式(10)可以改進為式(12)，即

(12)

4試驗與分析

4.1復雜面實體形狀匹配步驟

設(shè)待匹配的兩個復雜面實體分別為A={A1,A2,…,An}和B={B1,B2,…,Bm}，在整體的匹配過程中，采用雙向匹配法，即首先在B中查找和A中每一個復雜面實體匹配的目標，然后對B中未被匹配的復雜面實體，在A中查找與其匹配的目標[18]。復雜面實體的匹配采用三原則：先外后內(nèi)，先上后下，先左后右。其中，先外后內(nèi)是指對于帶洞的面實體，首先對外圈的相似性進行度量，若相似度高于一定值再比較內(nèi)圈的相似度，否則即可與下一個候選實體進行匹配，這樣可以節(jié)省大量的時間，提高匹配效率。復雜面實體的匹配是以單個實體間的匹配為基礎(chǔ)的，單個實體間的匹配步驟如下：

(1) 對數(shù)據(jù)的坐標系進行統(tǒng)一；

(2) 提取待匹配實體a和b的輪廓線，并對輪廓線上的點進行等間隔重采樣；

(3) 計算各個點的多級弦長彎曲度，并對弧長，各個點半徑和彎曲度進行歸一化處理；

(4) 得到實體的多級彎曲度復函數(shù)，對其進行快速傅里葉變換，并取傅里葉變換系數(shù)的模組成向量，計算兩個實體特征向量的歐氏距離，獲取兩個實體的形狀相似度S(A,B)。

在得到復雜面實體中單個實體之間的相似度后，則需要：

(1) 確定各個權(quán)值及平均完整度的權(quán)重；

(3) 根據(jù)公式求出復雜面實體的完整匹配度S，并與閾值進行比較，看其是否為最佳匹配。

4.2面狀水系和島嶼的形狀相似性度量及影響分析

本文采用德國柏林新湖的矢量化數(shù)據(jù)進行試驗。利用GIS軟件提取新湖及其島嶼的幾何輪廓作為數(shù)據(jù)源，如圖6(c)所示。將原數(shù)據(jù)進行處理，得到與原數(shù)據(jù)總體相似而局部有較大區(qū)別的數(shù)據(jù)圖6(d)。為使實體間的相似性度量滿足起始點的獨立性以及輪廓線點的個數(shù)的不一致性，對圖6(c)、圖6(d)輪廓線上的點分別進行等間隔重采樣，得到圖6(e)、圖6(f)，利用圖6(e)、圖6(f)進行復雜面實體的相似性度量試驗。

圖6　相似性度量實例Fig.6　Similarity measurement examples

對圖6中的兩個復雜面實體A、B進行綜合相似性度量。根據(jù)復雜面實體匹配三原則之一的先外后內(nèi)原則，先對A、B的最外圈面實體A1、B1進行相似性度量，設(shè)定閾值為0.75，即當A1和B1的相似度小于0.75時，則兩個復雜面實體不匹配，不需要對內(nèi)圈進行相似性度量，提高匹配效率；若A1和B1的相似度大于或等于0.75，則需要對內(nèi)圈進行進一步的相似性度量來確定兩個復雜面實體是否匹配。在匹配過程中，由于傅里葉級數(shù)越高，則越不穩(wěn)定，容易受噪聲干擾[20]，取傅里葉描述子階數(shù)為20，弦長級數(shù)為8，即彎曲度級數(shù)為4，后文會對彎曲度級數(shù)的取值進行討論。

表1　A1和B1形狀相似性度量結(jié)果

由表1可看出，A1和B1的形狀相似度為0.808 7，大于閾值0.75，故A1和B1是匹配的，因此，需要對復雜面實體A、B進行進一步的相似性度量。對于內(nèi)圈的匹配，方式與外圈類似。由于無法根據(jù)位置推測哪兩個面實體更可能相互匹配，所以需對A、B中的內(nèi)圈進行兩兩相似性度量，形狀相似度最高且超過閾值的則相互匹配。結(jié)果見圖7。由圖7可以得出，B2與A3相匹配，B3與A2相匹配，B5與A4相匹配，B6與A5相匹配，而B4、A6、A7、A8都沒有可以匹配的面實體。

圖7　復雜面實體A和B內(nèi)圈形狀相似性度量結(jié)果Fig.7　Shape similarity measurement results of holes of A and B

由于圖7所利用的是實體間的總的形狀相似度，并不能體現(xiàn)出多級彎曲度對實體輪廓局部和整體良好的描述能力，為進一步驗證多級彎曲度級數(shù)越低越能刻畫輪廓的局部特征，越高越適于描述輪廓的整體特征的性質(zhì)，對上述相互匹配的實體對A1-B1、A2-B3、A3-B2、A4-B5、A5-A6分別利用0~4級彎曲度進行形狀相似性度量，結(jié)果如圖8。從圖8中可以看出，當彎曲度級數(shù)為0時，實體對的形狀相似程度最小，說明相匹配的實體對之間的局部差異較大，而隨著級數(shù)的增大，實體對的形狀相似程度也逐漸增加，當為四級彎曲度時，實體對的形狀相似程度達到最大，均接近于1，表明實體對的整體形狀非常相似。驗證結(jié)果與2.3節(jié)描述一致。

圖8　t為4時0~4級彎曲度分別對應(yīng)的形狀相似度Fig.8　Shape similarities of 0~4 levels of bending level 4

在上述形狀相似性度量過程中是以彎曲度級數(shù)t=4為例進行的詳細說明，由于并未確定最佳t的取值，所以在隨后對t=1、2、8、16分別進行了試驗，得到了5組形狀相似度?？紤]到復雜面實體A、B所包含的單個實體并非一一對應(yīng)，存在一些單個實體沒有匹配項的情況，故引入完整度對復雜面實體的相似性度量進行更加詳細的描述。由于完整度的權(quán)重對復雜面實體的綜合相似性度量產(chǎn)生較大的影響，采用不同權(quán)重計算復雜面實體的綜合相似度得到結(jié)果如圖9所示。當完整度的權(quán)重越大時，即對復雜面實體的完整性越重視，綜合相似度越低。

圖9　不同完整度權(quán)重時復雜面實體的綜合相似度Fig.9　General similarities of different weight

仍以上述數(shù)據(jù)作為試驗數(shù)據(jù)，比較當t分別取1、2、4、8、16時實體對的形狀相似程度，得到如圖10所示的結(jié)果。從圖10中可以看出，當t=1、2時，實體對的相似程度較低，且A2-B3與A5-B6當t=1時的相似程度比t=2時大，而A1-B1、A3-B2、A4-B5比t=2時相似程度小，沒有特殊規(guī)律，而當t=4時，相似程度達到最大。當t繼續(xù)增長至8、16時，除了A4-B5在t=16時相似程度達到頂峰，其余的都較t=4時有所減小。在面實體的匹配中，既要保證匹配的正確性，也要使t盡量小以提高匹配的速率，故選擇彎曲度級數(shù)t=4最為合適。

圖10　取不同彎曲度級數(shù)時實體對的形狀相似度Fig.10　Shape similarities of different bending levels of completeness

4.3多尺度數(shù)據(jù)形狀相似性度量

采用重慶市某地區(qū)1∶50 000和1∶250 000的水系數(shù)據(jù)進行多尺度形狀相似性度量。重采樣后的數(shù)據(jù)如圖12。由4.2節(jié)可知，當t=4時既能滿足試驗的正確性又能滿足試驗對效率的要求，故試驗過程中彎曲度級數(shù)t確定為4。

首先對外圈面實體S1和S2進行形狀相似性度量，結(jié)果為0.769 1>0.75，繼續(xù)進行內(nèi)圈相似性度量，度量結(jié)果見表2。

圖11　1∶5萬和1∶25萬水系數(shù)據(jù)Fig.11　The 1∶50 000 and 1∶250 000 data

圖12　重采樣后的水系數(shù)據(jù)Fig.12　The data after resampling

Q1W1Q20.91010.6763W20.67190.7779

由表2可以看出，Q1與Q2相互匹配，W1與W2相互匹配，所以兩復雜面實體的完整度均為1。從而兩個實體的相似度即為平均形狀相似度。若單個面實體的權(quán)重相同，則

0.819 0

5結(jié)論

復雜面實體的匹配是空間數(shù)據(jù)庫的更新和融合的核心問題，復雜面實體的幾何相似性度量是決定匹配的關(guān)鍵。本文結(jié)合多級、彎曲度、中心距離要素，構(gòu)建多級彎曲度半徑復函數(shù)對空間面實體的幾何形狀進行描述，其中，通過級數(shù)t的變化，可以從整體到局部逐級描述形狀，達到了對形狀描述的唯一性。對多級彎曲度半徑復函數(shù)進行快速傅里葉變換，取前20項歸一化后的系數(shù)作為傅里葉描述子，不僅解決了起始點和輪廓點數(shù)不一致的問題，同時也滿足了平移、縮放、旋轉(zhuǎn)等不變性。本文將“多級弦長”和“輪廓彎曲度”兩個概念相結(jié)合，通過“多級彎曲度”來描述面實體的幾何性狀。對復雜面實體進行綜合相似性度量時引入了完整度的概念，以區(qū)分復雜面實體完全匹配和不完全匹配的情況。經(jīng)試驗驗證，本文所構(gòu)建的形狀相似性綜合度量模型能夠很好地實現(xiàn)同名復雜面實體間的匹配，相較于其他研究中單個實體間的匹配更具實用價值。

由于利用多級彎曲度復函數(shù)對面實體的輪廓進行描述，使得歸一化后的系數(shù)作為傅里葉描述子時忽略了面實體的空間位置關(guān)系，為多尺度面實體的相似性度量提供可能，但同時也可能將位于不同地區(qū)但形狀較為相似的面實體進行匹配，增大了誤匹配的可能性。在后續(xù)的研究中將著重于研究復雜面實體中單個實體的相對位置對匹配的影響，提高匹配的正確性和唯一性。

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(責任編輯：張艷玲)

修回日期： 2015-08-20

Establishment of the Comprehensive Shape Similarity Model for Complex Polygon Entity by Using Bending Mutilevel Chord Complex Function

CHEN Zhanlong1,2,QIN Mengjiao1,WU Liang1,XIE Zhong1

1. Department of Information Engineering, China University of Geosciences, Wuhan 430074, China； 2. State Key Laboratory of Geography Information Engineering, Xi’an 710054, China

Abstract：A method about shape similarity measurement of complex holed objects is proposed in this paper. The method extracts features including centroid distance, multilevel chord length, bending degree and concavity-convexity of a geometric object, to construct complex functions based on multilevel bending degree and radius. The complex functions are capable of describing geometry shape from entirety to part. The similarity between geometric objects can be measured by the shape descriptor which is based on the fast Fourier transform of the complex functions. Meanwhile, the matching degree of each scene of complex holed polygons can be got by scene completeness and shape similarity model. And using the feature of multi-level can accomplish the shape similarity measurement among complex geometric objects. Experimenting on geometric objects of different space complexity, the results match human’s perceive and show that this method is simple with precision.

Key words：complex holed objects; completeness; multilevel bending degree; centroid distance

基金項目：國家自然科學基金(41401443)；國家科技支撐計劃(2011BAH06B04)；地理信息工程國家重點實驗室開放基金項目(SKLGIE2013-Z-4-1)；測繪遙感信息工程國家重點實驗室資助項目(13I02)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費專項項目(CUGL130260)

中圖分類號：P208

文獻標識碼：A

文章編號：1001-1595(2016)02-0224-09

作者簡介：第一 曹帆之(1992—)，男，碩士生，研究方向為遙感圖像處理。

收稿日期：2014-12-05

First author： CAO Fanzhi(1992—)，male, postgraduate, majors in remote sensing image processing.

E-mail： 513572289@qq.com

引文格式：陳占龍，覃夢嬌，吳亮,等.利用多級弦長彎曲度復函數(shù)構(gòu)建復雜面實體綜合形狀相似度量模型[J].測繪學報，2016,45(2)：224-232. DOI:10.11947/j.AGCS.2016.20140633.

CHEN Zhanlong,QIN Mengjiao,WU Liang,et al.Establishment of the Comprehensive Shape Similarity Model for Complex Polygon Entity by Using Bending Mutilevel Chord Complex Function[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2016,45(2):224-232. DOI:10.11947/j.AGCS.2016.20140633.