利用變步長(zhǎng)Runge-Kutta法分析換流變壓器油紙絕緣結(jié)構(gòu)瞬態(tài)電場(chǎng)

岳嘯鳴，范輝，李慧奇，劉剛

（1.河北省電力建設(shè)調(diào)整試驗(yàn)所，河北石家莊 050021；2.華北電力大學(xué)河北省輸變電設(shè)備安全防御重點(diǎn)試驗(yàn)室，河北保定 071003）

利用變步長(zhǎng)Runge-Kutta法
分析換流變壓器油紙絕緣結(jié)構(gòu)瞬態(tài)電場(chǎng)

岳嘯鳴1，范輝1，李慧奇2，劉剛2

（1.河北省電力建設(shè)調(diào)整試驗(yàn)所，河北石家莊 050021；2.華北電力大學(xué)河北省輸變電設(shè)備安全防御重點(diǎn)試驗(yàn)室，河北保定 071003）

換流變壓器極性反轉(zhuǎn)瞬態(tài)電場(chǎng)仿真往往采用定步長(zhǎng)方法，為了保證計(jì)算精度，往往采用較小的時(shí)間步長(zhǎng)，計(jì)算量較大．為了有效地降低換流變壓器極性反轉(zhuǎn)瞬態(tài)電場(chǎng)仿真分析時(shí)的計(jì)算代價(jià)，根據(jù)各時(shí)步的局部截?cái)嗾`差，提出采用變步長(zhǎng)顯式Runge-Kutta法分析極性反轉(zhuǎn)瞬態(tài)電場(chǎng)．并用所提方法對(duì)換流變壓器閥側(cè)繞組典型模型在極性反轉(zhuǎn)電壓下的瞬態(tài)電場(chǎng)進(jìn)行了分析，計(jì)算結(jié)果表明本文提出的方法可以有效地降低計(jì)算代價(jià)，能夠用于換流變壓器極性反轉(zhuǎn)瞬態(tài)電場(chǎng)的分析計(jì)算．

換流變壓器；極性反轉(zhuǎn)；瞬態(tài)電場(chǎng)；Runge-Kutta法；變步長(zhǎng)

換流變壓器和絕緣套管是直流輸電工程中的重要設(shè)備，它們安全運(yùn)行直接關(guān)系到系統(tǒng)的穩(wěn)定．在直流輸電系統(tǒng)需要潮流反轉(zhuǎn)時(shí)，送段換流變壓器的閥側(cè)繞組電壓極性將在短時(shí)間內(nèi)迅速改變，稱為極性反轉(zhuǎn)．在極性反轉(zhuǎn)過程中，換流變壓器閥側(cè)繞組端部油紙復(fù)合絕緣中會(huì)出現(xiàn)局部高場(chǎng)強(qiáng)，從而使換流變壓器出現(xiàn)絕緣故障，嚴(yán)重影響了系統(tǒng)的安全運(yùn)行．因此研究極性反轉(zhuǎn)過程中的電場(chǎng)分布成為換流變壓器研制開發(fā)的關(guān)鍵[1-2]．

極性反轉(zhuǎn)電場(chǎng)分析往往采用2種方法，即靜態(tài)法和瞬態(tài)法．采用靜態(tài)法時(shí)，假設(shè)外施電壓瞬間完成極性反轉(zhuǎn)，此時(shí)由于外加電壓的容性電場(chǎng)躍變，而空間電荷及其電場(chǎng)保持不變，因此可用阻性電場(chǎng)疊加兩倍負(fù)容性電場(chǎng)得到極性反轉(zhuǎn)的瞬間電場(chǎng)，這是一種理想的極端情況，但由于設(shè)備的限制，電壓極性反轉(zhuǎn)往往需要一定時(shí)間才能完成（往往需要1～2m in），因此需要考慮短時(shí)反轉(zhuǎn)過程中電荷的重新分布及其反轉(zhuǎn)完成時(shí)刻電場(chǎng)分布的影響．

現(xiàn)有文獻(xiàn)在用瞬態(tài)法分析極性反轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)，幾乎都采用定步長(zhǎng)方式[3-8]．一般說來，步長(zhǎng)越小，截?cái)嗾`差就越?。牵S著步長(zhǎng)的縮小，瞬態(tài)過程分析所需的時(shí)步數(shù)就會(huì)增加．時(shí)步數(shù)的增加，不但引起計(jì)算量和數(shù)據(jù)存儲(chǔ)量的增大，而且可能導(dǎo)致舍入誤差的嚴(yán)重積累．因此在實(shí)際計(jì)算時(shí)，需要選擇適當(dāng)?shù)牟介L(zhǎng)，在滿足精度要求的前提下，盡可能地減小計(jì)算步數(shù)．一種有效的措施就是在計(jì)算過程中，根據(jù)外施激勵(lì)變化的不均勻性，在計(jì)算過程中自動(dòng)地調(diào)整步長(zhǎng)，即自適應(yīng)算法．文獻(xiàn)[9]嘗試根據(jù)外施電壓的特點(diǎn)分段定義步長(zhǎng)，這種人為設(shè)定步長(zhǎng)的方式雖然減少了計(jì)算量，但與通常根據(jù)（截?cái)啵┱`差實(shí)現(xiàn)自動(dòng)變步長(zhǎng)的自適應(yīng)算法明顯不同．

文獻(xiàn)[10]根據(jù)各時(shí)步的局部截?cái)嗾`差，采用C-N（Crank-Nilcoson）法實(shí)現(xiàn)自動(dòng)變步長(zhǎng)的算法，并在分析極性反轉(zhuǎn)電壓特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，利用后向歐拉法，成功的解決了極性反轉(zhuǎn)電壓導(dǎo)數(shù)不連續(xù)點(diǎn)的時(shí)步振蕩情況，但該算法在每次極性反轉(zhuǎn)完成后的步長(zhǎng)增長(zhǎng)緩慢，計(jì)算的時(shí)步數(shù)較多，計(jì)算代價(jià)仍較大．

文獻(xiàn)[11]在分析±500 kV換流變壓器極性反轉(zhuǎn)過程時(shí)，假設(shè)極性反轉(zhuǎn)瞬間，并采用定步長(zhǎng)四階顯式Runge-Kutta法分析了線性、非線性及非線性各向異性條件下的極性反轉(zhuǎn)電場(chǎng)．由于采用定步長(zhǎng)測(cè)量，使得具有較高精度的四階Runge-Kutta法的計(jì)算效率較低．

在保證計(jì)算精度的前提下，本文根據(jù)文獻(xiàn)[10]的思路，即根據(jù)當(dāng)前時(shí)步的截?cái)嗾`差決定下一時(shí)步的時(shí)步長(zhǎng)，擬采用變步長(zhǎng)顯式Runge-Kutta法采取變步長(zhǎng)策略，以達(dá)到減少計(jì)算時(shí)步數(shù)，降低計(jì)算代價(jià)的目的．

為了簡(jiǎn)化分析，本文暫不考慮油紙電導(dǎo)率同電場(chǎng)強(qiáng)度的非線性和紙板電導(dǎo)率各向異性的影響，給出根據(jù)局部截?cái)嗾`差得到自適應(yīng)變步長(zhǎng)的顯式Runge-Kutta法．并用變步長(zhǎng)顯式Runge-Kutta法對(duì)換流變壓器閥側(cè)繞組典型模型的極性反轉(zhuǎn)反轉(zhuǎn)過程進(jìn)行了計(jì)算，對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了簡(jiǎn)要分析．

1 有限元狀態(tài)方程

換流變壓器油紙絕緣結(jié)構(gòu)中的瞬態(tài)電場(chǎng)為電準(zhǔn)靜態(tài)場(chǎng)，油紙中的電位滿足如下初邊值問題[10]

表1 定步長(zhǎng)布徹表Tab.1 Fixed time-step's Butcher table

2 變步長(zhǎng)顯式Runge-Kutta法

在下面的仿真分析中，采用Merson法，其相應(yīng)的布徹表的參數(shù)如表3所示．

表2 變步長(zhǎng)布徹表Tab.2 Varible time-step's Butcher table

3 極性反轉(zhuǎn)電壓

完整的極性反轉(zhuǎn)試驗(yàn)需要進(jìn)行2次反轉(zhuǎn)過程，電壓波形如圖1示，具體變化過程如下：1）在30 s內(nèi)由0電位降到U0，保持90m in；2）在一定時(shí)間tPR內(nèi)由U0上升到+U0，并保持90m in；3）在一定時(shí)間tPR內(nèi)由+U0下降到U0，并保持45min；4）在30 s內(nèi)均勻變化到0．

IEC推薦2次極性反轉(zhuǎn)過程不超過2m in，一般取1m in．本文計(jì)算時(shí)取為tPR=1min．

在用變步長(zhǎng)顯式Runge-Kutta法計(jì)算圖1電壓波形下的極性反轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)，每個(gè)時(shí)間步計(jì)算均需要判斷當(dāng)前時(shí)刻tn累加下一步長(zhǎng)hn+1后，是否會(huì)超過極性反轉(zhuǎn)的開始時(shí)刻（tb）和完成時(shí)刻（te）．假設(shè)tn

表3 Merson法的布徹表Tab.3 Merson's Butcher table

則步長(zhǎng)hn+1保留，否則hn+1值由下式?jīng)Q定

這樣處理后就能保證不會(huì)因?yàn)椴介L(zhǎng)過大而丟失極性反轉(zhuǎn)開始時(shí)刻tb或完成時(shí)刻te的電場(chǎng)信息．

圖1 極性反轉(zhuǎn)電壓波形Fig.1 PR voltage's curve

為了更好的反映極性反轉(zhuǎn)過程中的電場(chǎng)變化情況，往往需要知道更多時(shí)刻的電位（電場(chǎng)強(qiáng)度）值．可以給各時(shí)步的步長(zhǎng)設(shè)定一個(gè)上限值hmax，當(dāng)各下一時(shí)步hn+1的步長(zhǎng)超過hmax時(shí)，hn+1就取hmax．

4 換流變壓器閥側(cè)繞組典型模型

本文采用文獻(xiàn)[10]換流變壓器閥側(cè)繞組典型模型進(jìn)行分析，為了便于本文分析，圖2重新給出了模型，圖中單位為mm．

對(duì)圖2模型采用三角形剖分，共剖分得到1 142個(gè)三角形單元，699個(gè)節(jié)點(diǎn)．單元電位采用線性插值，仿真分析時(shí)，極性反轉(zhuǎn)電壓幅值U0=1 000 V．采用上文變步長(zhǎng)顯式Runge-Kutta法計(jì)算了整個(gè)極性反轉(zhuǎn)過程．

5 計(jì)算結(jié)果及分析

圖2 換流變壓器閥側(cè)繞組典型模型Fig.2 TypicalM odelof the converter transformer’valvew inding

本文首先只用式(13)約束下一時(shí)刻的時(shí)步hn+1，此時(shí)hmax不設(shè)上限，在此假設(shè)下整個(gè)極性反轉(zhuǎn)瞬態(tài)過程只需要59個(gè)時(shí)步，這遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于定步長(zhǎng)算法（步長(zhǎng)為30 s時(shí)需456個(gè)時(shí)間步），計(jì)算量也遠(yuǎn)小于文獻(xiàn)[10]的修正變步長(zhǎng)C-N法．極性反轉(zhuǎn)過程中A點(diǎn)（圖2所示）電位和各時(shí)間步步長(zhǎng)hn+1隨時(shí)間的變化曲線如圖3所示．

圖3 hmax=∞時(shí)的計(jì)算結(jié)果及各時(shí)步的步長(zhǎng)Fig.3 Computational resultsand time-step ofeach time instantat hmax=∞

結(jié)合圖1和圖3可以看出，當(dāng)外施電壓保持恒定時(shí)，時(shí)步長(zhǎng)總體上趨于增加，理論上在各次反轉(zhuǎn)開始時(shí)刻應(yīng)該達(dá)到最大值．但圖3表明，反轉(zhuǎn)開始時(shí)刻的步長(zhǎng)迅速減小，這是由于此時(shí)步長(zhǎng)不是由此時(shí)刻的階段誤差決定，而是由式(14)，式(15)決定．

由圖3可以看出，整個(gè)極性反轉(zhuǎn)過程中各時(shí)步的最大步長(zhǎng)接近400 s．為了更好的反應(yīng)極性反轉(zhuǎn)過程中的電場(chǎng)變化情況，往往需要知道更多時(shí)刻的電位（電場(chǎng)強(qiáng)度）值．本文在hmax取不同值時(shí)重新分析了上述極性反轉(zhuǎn)過程，并將計(jì)算結(jié)果列于表3中，同時(shí)在圖4～6中給出了A點(diǎn)的電位和時(shí)步同時(shí)間的變化曲線．

從表3可知，當(dāng)限制hmax時(shí)，整個(gè)極性反轉(zhuǎn)過程的計(jì)算量將有所增加，但表3中的A點(diǎn)最大電位值卻相差很小，最大差值僅為0.000 2 V．

從上文分析可看出，即使限制了hmax值，例如hmax=120 s的時(shí)步數(shù)為121，而采用當(dāng)定步長(zhǎng)Runge-Kutta法（或C-N法）的步長(zhǎng)取20 s、30 s和60 s時(shí)，其極性反轉(zhuǎn)瞬態(tài)過程分別需要計(jì)算684、256和228個(gè)時(shí)步，限制后的計(jì)算量仍將比定步長(zhǎng)算法小．對(duì)于相同的極性反轉(zhuǎn)瞬態(tài)過程，文獻(xiàn)[8]雖然采用修正變步長(zhǎng)法，但整個(gè)瞬態(tài)過程仍需要394個(gè)時(shí)步，而文獻(xiàn)[9]根據(jù)極性反轉(zhuǎn)電壓的變化認(rèn)為設(shè)定時(shí)步長(zhǎng)的方法計(jì)算量更大，因此本文的自適應(yīng)變步長(zhǎng)顯式Runge-Kutta方法可以用來快速分析換流變壓器極性反轉(zhuǎn)瞬態(tài)電場(chǎng)問題．

表3 hmax取不同值時(shí)的計(jì)算結(jié)果Tab.3 Computational results of different hmax

圖4 hmax=240 s時(shí)的計(jì)算結(jié)果及各時(shí)步的步長(zhǎng)Fig.4 Computational resultsand time-stepsof each time instantat hmax=240 s

圖5 hmax=180 s時(shí)的計(jì)算結(jié)果及各時(shí)步的步長(zhǎng)Fig.5 Computational resultsand time-stepsof each time instantat hmax=180 s

圖6 hmax=120 s時(shí)的計(jì)算結(jié)果及各時(shí)步的步長(zhǎng)Fig.6 Computational resultsand time-steps of each time instantat hmax=120 s

6 結(jié)論

本文針對(duì)換流變壓器極性反轉(zhuǎn)外施電壓的特點(diǎn)，提出了基于顯式Runge-Kutta法根據(jù)局部截?cái)嗾`差實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)變步長(zhǎng)的算法，并將算法應(yīng)用到換流變壓器極性反轉(zhuǎn)電場(chǎng)分析中，實(shí)際換流變壓器閥側(cè)繞組典型模型計(jì)算結(jié)果表明，采用自適應(yīng)變步長(zhǎng)顯式Runge-Kutta算法后，可以大大減少計(jì)算時(shí)步數(shù)，從而能夠降低計(jì)算量和內(nèi)存需求．

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[責(zé)任編輯 代俊秋]

Variable runge-kuttaalgorithm for the computationof transientelectric field in oil-paper insulation construction of HVDC transformer

YUEXiaom ing1，F(xiàn)AN Hui1，LIHuiqi2，LIU Gang2

(1.HebeiElectric PowerCommissioning Institute,Hebei Shijiazhuang 050021,China;2.HebeiProvincialKey Laboratory of Power Transmission EquipmentSecurity Defense,North China Electric PowerUniversity,Hebei Baoding 071003,China)

The fixed-time stepmethod isoften used to solve the transientelectric field problem of the converter transformerunderpolarity reversalvoltage,whichoften choosessmallersteps in order to ensureaccuracy and causes largeamount of calculation.In order to effectively reduce the com putationalcost,avariablestep-sizeexplicitRunge-Kuttamethod decided by the local truncation errorateach timestep isproposed to analyze the transientelectric field underpolarity reversal voltage.With the proposedmethod,a typicalmodelof the converter transformervalvewinding isanalyzed.The results show that the proposed algorithm isable to effectively reduce the computationalcostand can beused to analyze the transientelectric field of theconverter transformerunder polarity reversalvoltage．

converter transformer；polarity reversal；transientelectric field；Runge-Kuttaalgorithm；variable time stepsize

TM 15

A

1007-2373(2015)02-0005-06

10.14081/j.cnki.hgdxb.2015.02.002

2014-12-10

國(guó)家自然科學(xué)基金（51407075）

岳嘯鳴（1980-），男（漢族），高級(jí)工程師．

數(shù)字出版日期：2015-04-16數(shù)字出版網(wǎng)址：http://www.cnki.net/kcms/detail/13.1208.T.20150416.1100.010.htm l